Rappels mathématiques et physiques Stage de Pré Rentrée 2011 Rappels mathématiques et physiques

Sommaire 1) Dérivées 2) Intégrales 3) Fonction exponentielle 4) Fonction logarithme 5) Les fonctions sinusoïdales 6) Equations Différentielles 7) Géométrie dans l’espace 8) Les ultiples et sous multiples/unités 9) Conversions

1) Dérivées Elles sont notées f’ en maths. Traduisant , elles permettent d’étudier les variations d’une fonction, de construire des tangentes à des courbes… Elles se calculent normalement de la façon suivante: Pour tout x et x0 qui appartiennent à l’ensemble de définition, Citez l’exemple de la vitesse comme dérivée Plus x se rapproche de x0 , plus la précision sur le coefficient directeur de la droite est important. Source: Wikipedia

Dérivées usuelles de fonctions:

2) Intégrales L’intégration permet de calculer la surface de l’espace délimité par la représentation graphique d’une fonction f ; une intégrale s’écrit de la forme suivante: Avec I =[a,b] Source: Wikipedia

Propriétés des intégrales: Relation de Chasles Linéarité Monotonie

3) Fonction Exponentielle f(x)=ex Caractéristiques fondamentales : Points remarquables : Propriétés : • Limites : • Exponentielle de base b : e^(ln x) = ln(e^x) = x : les courbes exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x

4) Fonction Logarithme Caractéristiques fondamentales : définie sur , Valeurs remarquables : Propriétés: Limites : Logarithme de base b : ln (a*b) = ln(a) + ln(b)

5) Les fonctions sinusoïdales Parité cos(x) = cos(-x) → paire sin(x) = -sin(-x) → impaire Périodicité cos(x + 2π) = cos(x) sin(x + 2π ) = sin(x) sin(π - y) cos(x) cos(-x) sin(y) sin(x) cos(π-x) sin(-x) Complémentarité sin( - x) = cos(x) cos( - x) = sin(x) → traduit le déphasage de du sinus et du cosinus. cos(π –x) = -cos(x) sin(π –x) = sin(x) cos(π +x) = -cos(x) sin(π +x) = -sin(x) Relation fondamentale cos2 (x) + sin2 (x) = 1

Sinus et cosinus : valeurs remarquables x sin(x) cos(x) 1 /2 1 /3 1/2 /4 /6 1/2 cos sin

6) Equations différentielles • Résolution de y’ = a*y y (x) = k* où k est une constante réelle. Pour trouver k, on prend les conditions à l’origine, c’est-à-dire pour x = 0. y (0) = k* = k donc y (x) = y (0) * • Résolution de y’ = a*y + b y (x) = k* - où k est une constante réelle Pour trouver la constante k, on prend les conditions à l’origine, c’est-à dire pour x = 0. y (0) = k* - = k - ↔ k = y (0) +

7) Géométrie dans l’espace Produit scalaire Si deux vecteurs et sont orthogonaux, Si deux vecteurs et sont colinéaires, , et . Ainsi, . linéarité et distributivité : commutativité : Principe de la projection orthogonale : rappeler que le produit scalaire d'un vecteur u par un vecteur v de norme 1 est la longueur de la projection de u sur la direction de v : ||v|| =1 => u.v = u. cos theta = projection de u sur v

b) Produit vectoriel Le produit vectoriel est un vecteur tel que est orthogonal à et donc Attention ! Le produit vectoriel n’est pas commutatif: Si deux vecteurs et sont colinéaires, alors = .

• Sens du produit vectoriel : + • Sens du produit vectoriel : On se place dans un repère orthonormal direct. Ici, l’angle orienté est positif donc est dans le même sens que par rapport à et . Inversement, si l’angle orienté est négatif, le produit vectoriel est orienté dans le sens opposé à par rapport à et . → cf règle du « tire-bouchon ».

8) Les multiples et sous-multiples Tera T 1012 Giga G 109 Mega M 106 Kilo K 103 Mili m 10-3 Micro μ 10-6 Nano n 10-9 Pico p 10-12 Fento f 10-15 atto a 10-18

9)Conversions Les unités de volume: • Convertir une surface de 134 mm2 en unité du SI: → 134 mm2 = 134 (10-3m)2 = 134. (10-3)2m2 = 134.10-6 m2 = 1,34. 10-4 m2 • Convertir une vitesse angulaire de 5 tours/minute en rad.s-1 (2π rad = 1 tour = 360 degrés): → m3 dm3 cm3 mm3 1000 L 1 kL 1 L 10-3 L 1 mL 10-6 L 1 μL

Les unités « inverses »: ATTENTION: Ne vous trompez pas de sens lors de la conversion d’unités « inversées ». Ex: 1 mol.L-1 = 1 mol.dm-3 = 103 mol.m-3 = 10-3 mol.cm-3. (et non pas 10-3 mol.m-3 … ce n’est pas une dillution!). La dillution: Pour éviter la confusion avec la conversion des unités inversées, pensez en « volume initial → volume final ». Ex 1: Dillution de 100 mL d’une solution de 1 mol.L-1 dans 900 mL d’eau pure: Cf = = 0,1 mol.L-1. Ex 2: Dillution de 100 mL d’une solution de 1 mol.L-1 dans 1 L d’eau pure: Cf = = 0,09 mol.L-1.