Régression linéaire (STT-2400) Section 3 Distributions des formes quadratiques Version: 12 février 2007

STT-2400; Régression linéaire Introduction L’objectif de cette section est de cerner les distributions de probabilité de quantités telle De plus, on sera en mesure d’établir les distributions statistiques des différentes sommes de carrés dans la table d’ANOVA. On va justifier la distribution F du test global dans la table d’ANOVA. STT-2400; Régression linéaire

Remarque: hypothèse de normalité Afin d’obtenir les distributions exactes on doit présumer: Pour un vecteur aléatoire on considère sa norme: La loi de la norme est telle que: C’est un exemple de distribution khi-carrée centrée: STT-2400; Régression linéaire

Distribution des estimateurs des moindres carrés Considérons: On a vu que l’estimateur des moindres carrés est: STT-2400; Régression linéaire

STT-2400; Régression linéaire Régions de confiance Puisque la matrice X’X est symétrique, inversible et par conséquent définie positive, on peut écrire: On rappelle que contient les valeurs propres de la matrice X’X. STT-2400; Régression linéaire

On rappelle: Ainsi: Ceci implique que:

Région de confiance quand la variance est connue Considérons l’ensemble suivant: L’ensemble précédent est appelé une région de confiance de niveau de confiance 1 – a. En général il est difficile de représenter les régions de confiance graphiquement. Les régions de confiance sont des ellipsoïdes. STT-2400; Régression linéaire

Définition: distribution chi-carrée décentrée Définition: Soit un vecteur aléatoire où le vecteur constant La loi de est une chi-carrée à n degrés de liberté et paramètre de décentralité On note STT-2400; Régression linéaire

Définition: distribution F de Fisher décentrée Définition: Considérons U et V deux variables aléatoires indépendantes: La loi de la variable aléatoire: est dite une loi de Fisher décentrée de degrés de liberté (m,n) et paramètre de décentralité l. On note STT-2400; Régression linéaire

STT-2400; Régression linéaire Propriété 3.10 Soit . Soit A une matrice symétrique. Considérons la forme quadratique: Alors nous avons le résultat suivant: Dans un tel cas . STT-2400; Régression linéaire

Propriété 3.11: Indépendance entre deux formes quadratiques Soit . Soient A1 et A2 deux matrices symétriques. Considérons les deux formes quadratiques suivantes: On a alors le résultat suivant: STT-2400; Régression linéaire

Propriété 3.12: Théorème de Cochran Soit . Considérons les p formes quadratiques suivantes: où: Le Théorème de Cochran affirme que sont mutuellement indépendantes, STT-2400; Régression linéaire