TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE THEOREME DE PYTHAGORE I MEDIATRICE Rappel 1° Définition La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. 2° Construction Géoplan

3° Propriété a)Tracer un segment [AB] et sa médiatrice d Placer sur d 4 points D, E, F, G. Mesurer AD et DB AE et EB AF et FB AG et GB Si un point appartient à la médiatrice d’un segment Alors il est équidistant des extrémités du segment Géoplan

b) Tracer un segment [AB] de longueur 6 cm et placer les points E, F, G tels que AE = EB = 5 cm ; AF = FB = 4cm ; AG = GB = 3,5 cm Si un point est équidistant des extrémités d’un segment Alors il appartient à la médiatrice du segment. Géoplan

4° Cercle circonscrit à un triangle. Tracer un triangle ABC quelconque et les médiatrices des trois côtés. Les médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit . Géoplan

II TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE Géoplan 1° Activité a) Tracer un triangle rectangle et son cercle circonscrit Faire une conjecture. Conjecture : Il semble que le centre du cercle circonscrit soit le milieu de l’hypoténuse b) propriété Dans un triangle rectangle le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.

2° Inversement a) activité ACB ADB AEB AFB AGB AHB AKB ALB AMB ATB Il semble que les points situés sur le cercle forment un angle droit avec les points du diamètre

b) Démonstration. Soit C un point du cercle de diamètre [AB] et de centre O. On construit le point D symétrique de C par rapport à O On a : ♦ O milieu de [CD] ( symétrie centrale ) ♦ O milieu de [AB] ( énoncé) Donc ACBD est un parallélogramme. C On a : AB = CD car ce sont deux diamètres d’un même cercle. Donc Le parallélogramme ACBD à les diagonales de même longueur. C’est un rectangle. O B A Conclusion : ACB = 90° D

Si C est un point du cercle de diamètre [ AB] c) Propriétés. Si C est un point du cercle de diamètre [ AB] alors le triangle ABC est rectangle en C. b) Dans un triangle si le milieu d’un côté est équidistant des trois sommets alors ce triangle est rectangle.

III THEOREME DE PYTHAGORE 1° Activité Construire les triangles ABC rectangles en A tels que : 1) AB = 4 cm et AC = 3cm 2) AB = 4,8 cm et AC = 6,4 cm 3) AB = 8,1 cm et AC = 10,8 cm 3) 1) 2) BC = 5 cm BC = 8 cm BC = 13,5 cm

Triangle 1 AB = 4 cm AB2 = AB2 + AC2 = AC = 3 cm AC2 = BC = BC2 = 25 16 9 5 cm 25 25 Triangle 2 AB = 4,8 cm AB2 = AB2 + AC2 = AC = 6,4 cm AC2 = BC = BC2 = 64 23,04 40,96 8 cm 64 64 Triangle3 AB = 8,1 cm AB2 = AB2 + AC2 = AC = 10,8 cm AC2 = BC = BC2 = 65,61 182,25 116,64 13,5 cm 182,25 182,25

Si ABC est un triangle rectangle en A alors AB² + AC² = BC² 2) Théorème de Pythagore B A C Si ABC est un triangle rectangle en A alors AB² + AC² = BC² Dans un triangle rectangle le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit

3° Utilisation du théorème. a) Calcul de l’hypoténuse. Soit EDF un triangle rectangle en D tel que DF = 6,3 cm et DE = 8,4 cm. Calculer EF Dans le triangle EDF rectangle en D, d’après le théorème de Pythagore on a : DF² + DE² = EF² 6,3² + 8,4² = EF² Donc EF² = 110,25 On utilise la touche EF = de la calculatrice EF = 10,5 cm

DANGER b) Calcul de l’un des côtés de l’angle droit. Soit MER un triangle rectangle en M tel que ME = 4,8 cm et ER = 7,3 cm. Calculer MR. Dans le triangle MER rectangle en M, d’après le théorème de Pythagore on a : ME² + MR² = ER² 4,8² + MR² = 7,3² DANGER MR² = 7,3² - 4,8² Donc MR² = 30,25 On utilise la touche MR = de la calculatrice MR = 5,5 cm

IV RECIPROQUE DU THEOREME DE PYTHAGORE 1° Activité. Tracer les quatre triangles suivants : 1° T1 est un triangle RST tel que RS = 7,2 cm ST = 5,4 cm et TR = 9 cm. 2° T2 est un triangle RST tel que RS = 8 cm ST = 6 cm et TR = 9 cm. 3° T3 est un triangle RST tel que RS = 3,6 cm ST = 7,7 cm et TR = 8,5 cm. 4° T4 est un triangle RST tel que RS = 6 cm ST = 5 cm et TR = 7 cm. Quels triangles semblent rectangles ? Les triangles T1 et T3 semblent rectangles Compléter le tableau RS ST TR RS2 ST2 RS2 + ST2 TR2 T1 7,2 5,4 9 T2 8 6 T3 3,6 7,7 8,5 T4 5 7 51,84 29,16 81 81 64 36 100 81 12,96 59,29 72,25 72,25 36 25 61 49

Alors le triangle ABC est rectangle en A 2° Énoncé de la réciproque. Dans un triangle ABC, si on a AB² + AC² =BC² Alors le triangle ABC est rectangle en A

3° Exemples d’utilisation Soit BUT un triangle tel que :BU = 8 cm BT = 3,9 cm et UT = 8,9 cm. Le triangle BUT est-il rectangle ? Le plus grand côté est [UT] On calcule SEPAREMENT UT² et BU² +BT² puis on compare UT² = 8,9² = 79,21 On a BU² + BT² = UT² BU² + BT² = 8² + 3,9² = 79,21 Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, Le triangle BUT est rectangle en B

b) Soit CAR un triangle tel que CA = 7,2 cm AR = 6,5 cm et CR = 9,6 cm Le triangle CAR est-il rectangle? Le plus grand côté est [CR] On calcule SEPAREMENT CR² et CA² + AR², puis on compare les résultats CR² = 9,6² = 92,16 On a CA² + AR² ≠ CR² CA² + AR² = 7,2² + 6,5 ² = 94,09 La relation du théorème de Pythagore n’est pas vérifiée, Donc le triangle CAR n’est pas rectangle