Triangle rectangle et cercle Triangle rectangle, cercle circonscrit, médiane Distance d’un point à une droite Points d’une bissectrice Cercle et tangente mode d'emploi

Triangle rectangle cercle circonscrit médiane

Définition de la médiatrice d’un segment Rappels Définition de la médiatrice d’un segment A M B La médiatrice d ’un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu.

Construction de la médiatrice d’un segment Rappels Construction de la médiatrice d’un segment A B

Rappels Vocabulaire du triangle rectangle Dans un triangle rectangle l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C A B à copier

ABC est un triangle rectangle en B On trace le cercle circonscrit à ce triangle Le point d’intersection des médiatrices de [BC] de [AC] est le centre du cercle circonscrit au triangle. C A On constate que c’est le milieu de [AC], hypoténuse du triangle ABC. B

Propriétés Si un triangle est rectangle alors le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de l’hypoténuse. A C B M ou encore Si un triangle est rectangle alors la longueur de l’hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit.

Comment tracer un triangle rectangle sans réquerre ni rapporteur mais avec un compas ? On trace le segment [RS], le cercle de diamètre RS, quelque soit la position du point T sur le cercle, le triangle RST est rectangle en T. triangle rectangle cercle

Propriété Si, dans un cercle, un triangle a pour sommet les extrémités d’un diamètre et un point du cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point. C A B à copier

Rappels Définition de la médiane d’un triangle Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet. A C B M (AM) est la médiane issue de A dans le triangle ABC.

Traçons la médiane issue de B dans le triangle ABC. C’est un rayon du cercle circonscrit M C donc la moitié du diamètre AC A donc la moitié de l’hypoténuse du triangle ABC. B

Propriété Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse. A C B M

Propriété Si, dans un triangle, une médiane issue d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle est rectangle en ce sommet. A C B M à copier

Distance d’un point à une droite

Définition Soit une droite (d) et un point A qui n’appartient pas à (d). A (d) Le point le plus proche de A est le point H tel que la droite (AH) est perpendiculaire à (d). H AH est appelé la distance du point A à la droite (d). M Pour tout point M non confondu avec H, on a AH<AM à copier

Points d’une bissectrice

Rappels B A C Définition de la bissectrice d’un angle La bissectrice d'un angle est la droite qui passe par le sommet de l'angle et qui le partage en 2 angles de même mesure. B A C

Construction de la bissectrice d’un angle Rappels B Construction de la bissectrice d’un angle A Je dessine le cercle de centre A et de rayon quelconque. C

Construction de la bissectrice d’un angle Rappels B Construction de la bissectrice d’un angle D A E D et E sont les points d’intersection de [AB) et de [AC) avec le cercle. C

Construction de la bissectrice d’un angle Rappels B Construction de la bissectrice d’un angle D E A Je dessine le cercle de centre D qui passe par A. C

Construction de la bissectrice d’un angle Rappels B Construction de la bissectrice d’un angle D E A Je dessine le cercle de centre E qui passe par A. C

Construction de la bissectrice d’un angle Rappels B Construction de la bissectrice d’un angle D E G A G est le 2ème point d’intersection de ces 2 cercles. C

Construction de la bissectrice d’un angle Rappels B Construction de la bissectrice d’un angle D E G A C Je dessine la droite (AG).

Construction de la bissectrice d’un angle Rappels B Construction de la bissectrice d’un angle G A C Je code la figure

Que peut-on dire de la distance d’un point de la bissectrice d’un angle aux côtés de cet angle ? Utilisons Cabri géomètre

Propriété Si un point est sur la bissectrice de l’angle, alors il est équidistant des côtés de cet angle. B M A C

Propriété réciproque B A C Si un point M est équidistant des côtés d’un angle de sommet A, alors [AM) est la bissectrice de cet angle. B M A C

Une autre propriété Dans tout triangle, les bissectrices sont concourantes, elles se rencontrent en un même point. à copier

Cercle et tangente

(d) est la tangente au cercleC en A. Définition La tangente à un cercle en un point est la droite perpendiculaire au rayon qui passe par ce point. (d) (d) est la tangente au cercleC en A. O C A Rq : la tangente à un cercle coupe ce cercle en un seul point.

Cercle inscrit dans un triangle Dans tout triangle, les bissectrices sont concourantes. Leur point d’intersection est le centre du cercle tangent aux 3 côtés du triangle. Ce cercle est appelé cercle inscrit dans le triangle. à copier

fin

Triangle rectangle et cercle 1) Triangle rectangle cercle circonscrit médiane a) Médiatrice et triangle rectangle Définition de la médiatrice d’un segment La médiatrice d ’un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu. A B Vocabulaire du triangle rectangle A C B Dans un triangle rectangle l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. retour

Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de l’hypoténuse. A C B M Propriété 2 : Si un triangle est rectangle alors la longueur de l’hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit. Propriété 3 : Si, dans un cercle, un triangle a pour sommet les extrémités d’un diamètre et un point du cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point. retour

b) Médiane et triangle rectangle Définition de la médiane d’un triangle Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet. (AM) est la médiane issue de A dans le triangle ABC. A C B M

Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse. A C B M Propriété 2 : Si, dans un triangle, une médiane issue d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle est rectangle en ce sommet. retour

Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de l’hypoténuse. A C B M Propriété 2 : Si un triangle est rectangle alors la longueur de l’hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit. Propriété 3 : Si, dans un cercle, un triangle a pour sommet les extrémités d’un diamètre et un point du cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point. retour

b) Médiane et triangle rectangle Définition de la médiane d’un triangle Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet. (AM) est la médiane issue de A dans le triangle ABC. A C B M

Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse. A C B M Propriété 2 : Si, dans un triangle, une médiane issue d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle est rectangle en ce sommet. retour

2) Distance d’un point à une droite Soit une droite (d) et un point A qui n’appartient pas à (d). A (d) Le point le plus proche de A est le point H tel que la droite (AH) est perpendiculaire à (d). H AH est appelé la distance du point A à la droite (d). M Pour tout point M non confondu avec H, on a AH<AM retour

3) Points d’une bissectrice a) Définition de la bissectrice d’un angle La bissectrice d'un angle est la droite qui passe par le sommet de l'angle et qui le partage en 2 angles de même mesure. B A

b) Propriétés Si un point est sur la bissectrice de l’angle, alors il est équidistant des côtés de cet angle. B M A C Si un point M est équidistant des côtés d’un angle de sommet A, alors [AM) est la bissectrice de cet angle.

Dans tout triangle, les bissectrices sont concourantes, elles se rencontrent en un même point. retour

(d) est la tangente au cercleC en A. 4) Cercle et tangente a) Définition La tangente à un cercle en un point est la droite perpendiculaire au rayon qui passe par ce point. (d) (d) est la tangente au cercleC en A. O C A Rq : la tangente à un cercle coupe ce cercle en un seul point.

Ce cercle est appelé cercle inscrit dans le triangle. b) Cercle inscrit dans un triangle Dans tout triangle, les bissectrices sont concourantes. Leur point d’intersection est le centre du cercle tangent aux 3 côtés du triangle. Ce cercle est appelé cercle inscrit dans le triangle. retour

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