Traitement de signal

Traiter un signal c'est extraire de l'information de mesures effectuées par des capteurs en vue d'atteindre un but donné: de la compréhension du monde physique (les physiciens, les météorologues, les géologues, les chimistes ou les biologistes, etc...) à l'action sur ce monde (en robotique, dans les applications militaires, etc...) en passant par la reconstruction d'un message transmis au moyen d'un médium physique, comme une onde, utilisé pour le transporter (c'est le cas des sons, des signaux de télécommunications, des signaux sonar ou radar).

dès qu'on utilise un capteur pour mesurer une quantité, on est amené à effectuer un traitement.

domaines d'application l'émission et la réception des signaux de communication sur câbles électriques, sur fibres optiques ou par ondes hertziennes, l'analyse, la synthèse et la compréhension du signal vocal ou des signaux musicaux, l'analyse des signaux biomédicaux (électrocardiogramme, électroencéphalogramme, ...), des signaux sonar en acoustique sous-marine.

autre domaine important Celui des signaux radar où le signal émis est déformé par une cible ou un obstacle avant d'être mesuré par le capteur. C'est la déformation du signal par l'obstacle qui donnera une information utile sur cet obstacle.

Deux théories sont fondamentales pour la formulation des problèmes de traitement du signal. La première est liée aux hypothèses faites sur la propagation des signaux, et plus généralement des ondes dans un milieu: c'est la théorie des systèmes linéaires, plus particulièrement , celui des systèmes linéaires invariants dans le temps. Cet outil permet de prévoir la réponse d'un système à l'entrée ou à la commande qui lui est appliquée.

Processus stochastiques La seconde, liée au caractère aléatoire des phénomènes étudiés est la théorie des probabilités. Elle permet de représenter correctement et d'extraire au mieux les informations fournies par un phénomène aléatoire.

Introduction

Un signal est la représentation d’une grandeur physique Définition Un signal est la représentation d’une grandeur physique Elle dépend d’un ou plusieurs paramètres Il est en général caractérisé par l’évolution temporelle de la grandeur physique On parlera principalement de signal électrique (technologie électronique)

Signal aléatoire Un signal est aléatoire si on est incapable de le décrire par des lois simples Un signal aléatoire de type permanent peut être décrit par des lois de probabilité

Signal déterministe L’évolution en fonction du temps peut être modélisée par une fonction mathématique dite certaine Un tel signal est parfaitement déterminé à chaque instant par cette fonction

Porteur d’information noté s(t) et d’énergie, sa puissance est s2(t) Signal analogique Une grandeur physique traduite par un capteur dépend d’un ou plusieurs paramètres dont le temps Signaux à temps continu: définis pour toute valeur de la variable temps Modèles mathématiques ne reproduisent pas la réalité mais se prêtent à l’étude Porteur d’information noté s(t) et d’énergie, sa puissance est s2(t)

La variable de la fonction ne peut prendre que des valeurs entières k Signal à temps discret La variable de la fonction ne peut prendre que des valeurs entières k Pour la variable temps, k représente un multiple d’une durée T qui permet l’échantillonnage et la quantification des signaux analogiques

Signaux définis par une somme Le signal initial en produit d’autres sous forme d’intégrales Les systèmes physiques sont des intégrateurs ou sommateurs Dans le cas d’interaction de signaux

Approche d’une intégrale par une somme L’intervalle d’intégration est partagé en k intervalles de durée identique D f(x) est approchée par un polynôme P sur un intervalle donné, on ajoute les résultats des intervalles successifs Méthode des rectangles: P est de degré 0, l’erreur cumulée commise est de l’ordre de D Méthode des trapèzes: P est de degré 1, l’erreur cumulée commise est de l’ordre de D2

Signaux définis par une différence De nombreuses lois physiques apparaissent sous forme différentielle Approche par différence (polynôme P degré 1) l’erreur commise est de l’ordre de D

Fonction porte ou fenêtre: Signaux tests Fonction porte ou fenêtre: p 1 t -T T

Fonction échelon unité ou de Heaviside 1 t

Fonction impulsion de Dirac Recherche de limite Représentation de cette limite Théorie des distributions d 1/e t -e/2 e/2

La loi d’évolution doit vérifier: La fréquence de récurrence: Fonction périodique La loi d’évolution doit vérifier: La fréquence de récurrence: Valeur moyenne: Valeur efficace:

Remarque dans la plupart des ouvrages anglo-saxons, il n’ y a pas de différence entre « pulsation » et fréquence, qui représentent des données identiques avec des unités différentes: les radians par seconde dans le premier cas ou le nombre de périodes ou de tours par seconde dans le second cas.

Représentation On utilise la représentation complexe plus facile à manipuler que la représentation en sinus et cosinus. Ceci fait intervenir la notion de fréquences négatives qu'on peut interpréter de la manière suivante. La fréquence est associée à la vitesse de rotation d'un point se déplaçant uniformément sur le cercle de rayon unité. Une rotation dans le sens positif correspond à une fréquence positive, une rotation dans le sens négatif correspond à une fréquence négative. Un mouvement sinusoïdal réel sera la combinaison de deux mouvements en sens inverse.

On utilisera en linéaire: Notations On pose: En maths: cartésien En physique En polaire: On utilisera en linéaire:

Transformation cissoïdale

Transformation cissoïdale Notée C(w) est une application de Tw ensemble des fonctions sinusoïdales dans C ensemble des nombres complexes Traitement des problèmes non dans le domaine temporel mais dans espace image

Application: mise en équation Mécanique: Électricité: Sans et avec frottement m k F(t)=F0 sin(wt) R E(t) L

Résolution sans frottement: Équation fondamentale mécanique Application de C(w)

Solutions 2 cas: temporel

Existence de frottement Équation:

Système linéaire à temps invariant SLTI Système linéaire à temps invariant

Simplification Dans de nombreuses applications fondées sur la propagation des ondes, en acoustique ou en électromagnétisme, on simplifie considérablement les problèmes étudiés en faisant des hypothèses sur la manière dont un système déforme un signal. Deux des hypothèses les plus importantes sont la linéarité et l'invariance dans le temps. Elles semblent, du moins à notre échelle, bien représenter le comportement de nombreux systèmes physiques.

Propriétés Lorsqu'un système est linéaire et invariant dans le temps (SLTI), on a les propriétés suivantes: si l'entrée x(t) produit une sortie y(t), quand on applique une entrée k x(t) , la sortie sera k y(t) . Si deux entrées x1(t) et x2(t) engendrent deux sorties y1(t) et y2(t), alors x1(t)+ x2(t) engendrera y1(t) + y2(t) (linéarité).

Propriétés S'il y a invariance dans le temps, une translation de l'entrée x(t) en x(t-t) se traduira par une même translation dans le temps de la sortie y(t) en y(t-t) . La multiplication d'un signal par une fonction du temps est une opération linéaire, mais n'est pas une opération invariante dans le temps.

Réponse impulsionnelle Si les hypothèses de linéarité et d'invariance temporelle sont vérifiées, on peut caractériser le système par sa réponse impulsionnelle soit h(t) . C'est le signal qu'on obtient en sortie si on applique en entrée une impulsion « de Dirac » d(t)

Une propriété importante des Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps Si on applique à un SLTI une entrée sinusoïdale réelle ou complexe de fréquence w , soit la sortie sera une sinusoïde dont l'amplitude et la phase pourront être modifiées mais qui conservera la même forme (une sinusoïde) et la même fréquence:

Série de Fourier

Notion fondamentale de spectre Rôle Électronique Systèmes dynamiques Notion fondamentale de spectre Représentation d’un signal non plus dans le domaine temporel mais fréquentiel Équivalence essentielle entre ces 2 domaines: Temporel Fréquentiel

Décomposition Un signal x(t) périodique de période T peut se décomposer sous la forme d'une somme de signaux sinusoïdaux, les harmoniques dont la fréquence est un multiple de la fréquence fondamentale

Obtention par somme de: Signal périodique De fréquence f De forme quelconque Obtention par somme de: Sinusoïde de fréquence f (fondamental) Sinusoïdes de fréquence multiple de f (harmoniques) Ces sinusoïdes ont des: Amplitudes Phases Appropriées Tout signal récurrent peut être décomposé en une somme de sinusoïdes (fondamental et harmoniques)

Développement d’une fonction périodique Forme d’une série de fonctions trigonométriques: avec: Composante continue: nième harmonique

Représentation complexe Formule d’Euler donne:

Représentation spectrale On pose: On écrit: Un signal périodique (w=2pF=2p/T) peut être considéré comme résultant de l’addition d’une composante continue (valeur moyenne) et d’une infinité de signaux sinusoïdaux (w, 2w, …)