Chapitre 5 Prévisions

Les méthodes de lissage

1. Le lissage exponentiel simple (LES) C’est une technique très simple de prévision à t + 1. Elle s’applique à des SC sans tendance. Le principe consiste à donner plus d’importance aux dernières observations. On ne prolonge pas une série comme on le ferait avec une régression simple (Mco) mais on cherche à obtenir une valeur lissée en t pour la reporter tout simplement en t + 1. Elle est plus réactive que les Moyennes Mobiles ou les modèles utilisant la régression car elle prend rapidement en compte une modification de tendance.

1. Le lissage exponentiel simple (LES) On note la formule de la façon suivante  La présentation de cette formule est déstabilisante puisque t est le moment où la prévision a été faite et non celui où elle doit se réaliser. Le coefficient α, compris entre 0 et 1, s’applique à la dernière réalisation. α s’appelle la constante de lissage (ou coefficient de lissage). Évidemment, si elle est égale à 1, on ne fait que reporter en t + 1 l’observation de la période t. Le coefficient (1 – α) s’applique quant à lui à la prévision précédente.

1. Le lissage exponentiel simple (LES) La formule peut se réécrire : En choisissant α = 0,3, la dernière observation est donc pondérée à 30 %, la précédente à 0,3 × 0,7 = 21 %, celle d’avant à 14,7 % et ainsi de suite jusqu’au début de la série L'un des avantages de cette présentation est de comprendre pourquoi on appelle ce lissage EXPONENTIEL (décroissance exponentielle des pondérations lorsqu'on remonte dans le temps). Enfin, La prévision n'a pour horizon que t + 1. Toutes les prévisions à horizon plus lointain seraient exactement les mêmes.

1. Le lissage exponentiel simple (LES) La prévision initiale En raison de la formule récurrente du LES, on est obligé de CHOISIR une valeur à partir de laquelle les prévisions seront effectuées. Cette valeur n’a que peu d’importance si la série est longue. On prend souvent la moyenne des deux ou trois premières observations mais ce choix est arbitraire. On peut également prendre la première valeur.

1. Le lissage exponentiel simple (LES) Le choix de la constante de lissage On peut confronter les observations avec ce qu’aurait donné un LES utilisant une constante de lissage de 0,1 puis 0,2 puis 0,3 et ainsi de suite.  On se donne un indicateur d’écart pour comparer les séries (On va prendre la somme des carrés des erreurs).

1. Le lissage exponentiel simple (LES) La valeur lissée initiale est la moyenne entre les deux premières observations (520). On remarque que, des trois constantes étudiées, la plus adaptée est α = 0,7.

1. Le lissage exponentiel simple (LES) Exemple : La série a été initialisée à 27, moyenne des deux premières observations. Le nombre de commandes prévu pour le second mois de février est estimé à : 25,8 = (0,4 × 25) + (0,6 × 26,37)

2. Le lissage exponentiel double (LED) Le LES permet d’établir une prévision à t + 1 lorsqu’il n’existe pas de tendance. Lorsqu’il y en a une, on peut effectuer un LED. Lorsqu’on souhaite établir une prévision par lissage sur une série avec tendance, on doit alors établir les paramètres d'une tendance linéaire y = at + b. Celle-ci ne résume pas les valeurs d'une SC de façon indifférenciée comme le fait les MCO. Selon le principe du lissage exponentiel, les dernières valeurs ont un poids plus important que les plus anciennes. Du coup, la prévision est recalculée pour chaque observation supplémentaire.

2. Le lissage exponentiel double (LED) La prévision en h : Le LED nécessite une constante de lissage α, comprise entre 0 et 1, qui permet de plus ou moins pondérer la dernière observation par rapport aux précédentes.

2. Le lissage exponentiel double (LED) Comment déterminer les paramètres a et b ? 1. L’estimation de la « constante » b est égale à deux fois la première valeur lissée moins une fois la seconde valeur lissée. 2. Le coefficient a est égal à la différence entre les deux valeurs lissées (la première moins la seconde), multipliée par un coefficient α / (1 – α). Ces paramètres sont déterminés par minimisation des carrés des erreurs Pour initialiser le lissage double, on utilise les deux premières valeurs.

2. Le lissage exponentiel double (LED) Exemple : 63,4=0,4*65+0,6*62,4. 61,8=0,4*63,4+0,6*60,7. 1,08=(0,4/0,6)*(63,4-61,8) 65,1=(2*63,4)-61,8 ; 65,2=64,1+1,11; 66,1=65,1+1,08, etc.

3. Lissage de Holt Tout comme le LED, le lissage de Holt permet d’établir une fonction de prévision linéaire Avec

3. Lissage de Holt Exemple :α=0,4 et γ=0,6 B (dec): 238,2=0,4*239+0,6*(236,7+1,0) A (dec) :1,3=0,6*(238,2-236,7)+0,4*1,0 La prévision est la somme de a et b le mois précédent

4. Lissage de Winters Le lissage de Winters a l’avantage d’intégrer la saisonnalité On établit une fonction localement linéaire dont la pente et le niveau sont tous deux estimés à partir de réalisations passées et de prévisions. Ces dernières sont établies à l’aide de constantes de lissage alpha et gamma (comme précédemment) On rajoute simplement une troisième constante de lissage pour tenir compte de la saisonnalité (delta)

4. Lissage de Winters La formule est la suivante La pente et le niveau sont calculés de la même façon qu’avec un lissage de Holt mais le niveau est appliqué à une donnée CVS. Avec

4. Lissage de Winters Exemple (première étape) : données trim, α = 0,4, γ = 0,2 et δ = 0,5 Initialisation : b (moyenne des obs de la première année) ; a =0 ; la saisonnalité : obs-la valeur de b; prev=a+b+s du trim (-1,475)

4. Lissage de Winters Exemple (deuxième étape) : α = 0,4, γ = 0,2 et δ = 0,5 Calcul de b : 66,375=0,4*(70-(-1,475))+0,6*(62,975+0) Calcul de a : 0,68=0,2*(66,375-62,975)+0,8*0 Calcul de s : 1,075=0,5*(70-66,375)+0,5*(-1,475) Prev : 67,28=66,375+0,68+0,225

4. Lissage de Winters Exemple (troisième étape) : Prev(17) : 92,0=86,9+1,6+3,399 Prev(18) : 92,6=86,9+(2*1,6)+2,455 Prev (19) :85,4= 86,9+(3*1,6)-6,455, etc.

4. Lissage de Winters Le graphique associé

Exercice 1 : lissage exponentiel simple

Exercice 1 Résultats

Exercice 2 : prévoir les obs pour 2007 Quelle méthode ? α=0,3 ; γ=0,6 ; δ=0,5 .

Résultats