La droite dans R3 Intersections, angles et distances Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Dans cette présentation, nous verrons comment utiliser les vecteurs et le produit scalaire pour calculer : l’angle entre une droite et un plan, l’angle entre deux droites, gauches ou concourantes, la distance d’un point à une droite, la distance entre deux droites gauches, le point d’une droite le plus rapproché d’un point hors de celle-ci. les points les plus rapprochés sur deux droites gauches.

Angle entre une droite et un plan dans R3 Pour calculer l’angle entre une droite ∆ et un plan ∏ dans R3, on doit déterminer un vecteur normal au plan et un vecteur directeur de la droite à partir des équations et calculer l’angle entre ceux-ci. Si l’angle q entre les vecteurs est aigu, l’angle a entre la droite et le plan est l’angle complémentaire de q, soit : a = 90° – q Si l’angle q entre les vecteurs est obtus, l’angle a entre la droite et le plan est donné par: a = q – 90°

Exemple 12.3.1 Trouver l’angle entre le plan ∏: 2x – 3y + 4z – 5 = 0 et la droite x = 2 – 3t y = –5 + 7t z = –3 – 2t ∆ : Le vecteur normal au plan est : N = (2; –3; 4) et le vecteur directeur de la droite est : D = (–3; 7; –2). S S N  D  • = –35 29 62 On a alors : cos q = 29 62 –35 et : q = arccos = 145,63° Puisque 90° < q < 180°, on a a = q – 90° = 145,63° – 90° = 55,63° et l’angle entre la droite et le plan est de 55,63°.

Angle entre une droite et un plan dans R3 Procédure pour trouver l’angle entre une droite et un plan dans R3 1. Déterminer un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal au plan. 2. Utiliser le produit scalaire pour calculer l’angle entre ces vecteurs. 3. Déterminer l’angle entre la droite et le plan à partir de l’angle entre les vecteurs. Remarque a = 90° – q, si 0° ≤ q ≤ 90° On peut ramener ces deux cas à un seul en prenant la valeur absolue du produit scalaire avant de calculer l’arccosinus. a = q – 90°, si 90° ≤ q ≤ 180°

Exercice Trouver l’angle entre le plan ∏: 3x – 5y + 2z – 12 = 0 et la droite x = 4 + 5t y = –2 – 3t z = 7 + 4t ∆ : Le vecteur normal au plan est : N = (3; –5; 2) et le vecteur directeur de la droite est : D = (5; –3; 4). S S N  D  • = 38 50 On a alors : cos q = 38 50 et : q = arccos = 29,33° Puisque 0° < q < 90°, on a a = 90° – q = 90° – 29,33°= 60,66° et l’angle entre la droite et le plan est de 60,66°.

Angle entre deux droites dans R3 Pour calculer l’angle entre deux droites ∆1 et ∆2 dans R3, on doit déterminer des vecteurs directeurs à partir des équations et calculer l’angle entre ceux-ci. Dans R3, deux droites coplanaires, peuvent être concourantes ou parallèles. Des droites non-coplanaires, sont appelées droites gauches. L’angle entre deux droites est défini même si les droites sont gauches, et c’est l’angle aigu formé par les vecteurs directeurs de ces droites. Remarque L’angle entre deux droites, concourantes ou gauches, est toujours compris entre 0° et 90°.

Exemple 12.3.2 Trouver l’angle entre les droites suivantes : x = 8 + 6s y = 2 – 2s z = –3 – 3s x = 2 – 3t y = –5 + 7t z = –3 – 2t ∆2 : ∆1 : Le vecteur directeur de ∆1 est : D1 = (–3; 7; –2) et le vecteur directeur de ∆2 est : D2 = (6; –2; –3). S S D1  D2  • = –26 62 49 On a alors : cos q = 62 49 –26 et : q = arccos = 118,15° Puisque 90° < q < 180°, on a a = 180° – q = 180° – 118,15° = 61,85° et l’angle entre les droites est de 61,85°.

Angle entre deux droites dans R3 La procédure pour calculer l’angle entre deux droites de R3 est analogue à celle pour calculer l’angle entre deux droites de R2. Procédure pour trouver l’angle entre deux droites dans R3 1. Déterminer un vecteur directeur de chacune des droites. 2. Utiliser le produit scalaire pour calculer l’angle entre ces vecteurs. 3. Déterminer l’angle entre les droites à partir de l’angle entre les vecteurs. Remarque a = q, si 0° ≤ q ≤ 90° On peut ramener ces deux cas à un seul en prenant la valeur absolue du produit scalaire avant de calculer l’arccosinus. a = 180° – q, si 90° ≤ q ≤ 180°

Exercice ∆2 : ∆1 : S S Trouver l’angle entre les droites suivantes : x = 3 – 4s y = 2 + 5s z = –5 – 2s x = 6 – 8t y = –4 + 2t z = 7 + 3t ∆2 : ∆1 : Le vecteur directeur de ∆1 est : D1 = (–8; 2; 3) et le vecteur directeur de ∆2 est : D2 = (–4; 5; –2). S S D1  D2  • = 46 77 45 On a alors : cos q = 77 45 46 et : q = arccos = 38,60° Puisque 0° < q < 90°, on a a = q = 38,60° et l’angle entre les droites est de 38,60°

Distances dans R3 Distance d’un point Q à une droite dont on connaît un vecteur directeur. On détermine un point R de la droite ainsi que le vecteur RQ. La distance cherchée est alors la hauteur du parallélogramme construit sur les vecteurs RQ et D. Le module du produit vectoriel donne l’aire de ce parallélogramme et on divise par la longueur de la base, soit le module du vecteur directeur. Distance d’un point Q à une droite dont on connaît deux points R et P. On procède de la même façon en considérant D = RP.

Exemple 12.3.3 S S x = 3 + 2t y = 6 – 3t z = –5 + 4t Trouver la distance du point Q(7; –2; 5) à la droite ∆ : Le vecteur directeur de ∆ est :  D  = (2; –3; 4) En posant t = 0 dans l’équation de ∆, on obtient le point R(3; 6; –5). On a alors le vecteur RQ = (7;–2; 5) – (3; 6; –5 ) = (4; –8; 10). Le produit vectoriel donne : i j k RQ ´D = = (–32 + 30) i – (16 – 20) j + (–12 + 16) k 4 –8 10 2 –3 4 = –2 i + 4 j k S S La distance est alors donnée par : RQ  D  ´ D   = 6 29 d(Q, ∆) = ≈ 1,11 La distance du point au plan est donc d’environ 1,11 unités.

Distance d’un point à une droite de R3 Procédure pour trouver la distance d’un point Q à une droite dans R3 1. Déterminer le vecteur directeur de la droite. 2. Construire le vecteur allant d’un point R quelconque de la droite au point Q. 3. Calculer l’aire du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs (module du produit vectoriel). 4. Diviser l’aire du parallélogramme par la longueur de sa base (module du vecteur directeur) pour en obtenir la hauteur qui est la distance cherchée. Remarque : Lorsque deux points de la droite sont connus, on peut déterminer un vecteur directeur en considérant le vecteur dont l’origine est un de ces points et dont l’extrémité est l’autre point.

Exercice S S x = 8 – 5t y = 2 – 6t z = 3 + 7t Trouver la distance du point Q(5; 4; –7) à la droite ∆ : Le vecteur directeur de ∆ est :  D  = (–5; –6; 7) En posant t = 0 dans l’équation de ∆, on obtient le point R(8; 2; 3). On a alors le vecteur RQ = (5; 4; –7) – (8; 2; 3).= (–3; 2; –10). Le produit vectoriel donne : i j k RQ ´D = = (14 – 60) i – (–21 – 50) j + (18 + 10) k –3 2 –10 –5 –6 7 = –46 i + 71 j k + 28 S S La distance est alors donnée par : RQ  D  ´ D   = 7 941 110 d(Q, ∆) = ≈ 757,14 La distance du point au plan est donc d’environ 757,14 unités.

Le point le plus près dans R3 Méthode vectorielle Nous savons trouver la distance d’un point Q à une droite, mais comment déterminer le point de la droite qui est le plus proche de Q? Le point R d’une droite ∆ le plus proche d’un point Q hors de celle-ci est le pied de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. On peut développer diverses stratégies pour trouver les coordonnées de ce point. Nous verrons d’abord comment utiliser les opérations d’addition vectorielle et de produit scalaire pour déterminer le point le plus près, puis nous verrons comment procéder en déterminant l’intersection de lieux géométriques.

Exemple 12.3.4 (Méthode vectorielle) x = 8 + 3t y = –1 – 2t z = –2 + t le point le plus rapproché du point Q(3; 8; 3). Trouver sur la droite ∆ : On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. La direction de PR est alors la même que celle du vecteur directeur de la droite. D = (3; –2; 1) et PR = aD = a(3; –2; 1). PQ = (3; 8; 3) – (8; –1; –2) = (–5; 9; 5) La multiplication scalaire des deux membres de cette équation vectorielle par le vecteur directeur donne : Remarque Sachant que b = –2, on peut déterminer le vecteur position du point R, puisque : Notre démarche a consisté à déterminer que, pour parvenir au point R à partir du point P, il fallait se déplacer dans la même direction et dans le sens contraire du vecteur directeur et parcourir une distance qui est le double de la longueur du vecteur directeur. D • (aD + RQ ) = D • PQ En déterminant la valeur de a, il nous sera possible de connaître le vecteur position du point R. On connaît déjà le point P(8; –1; –2) sur la droite. OR = OP + PR a ( D • D) + D • RQ = D • PQ Par l’addition vectorielle, on a : Puisque les vecteurs sont orthogonaux, on a D • RQ = 0, et : Cela donne : OR = (8; –1; –2) – 2(3; –2; 1) = (2; 3; –4) S S S S Dans l’illustration, les vecteurs ont même sens, mais l’illustration est faite avant d’effectuer les calculs pour aider à conceptualiser la procédure. a D 2 D • PQ = Le point le plus rapproché est donc R(2; 3; –4). Ce qui donne : 14a = (3; –2; 1) • (–5; 9; 5) = –15 – 18 – 5 = –28 et b = – 2. PR + RQ = PQ aD + RQ = PQ

Le point le plus près dans R3 Méthode vectorielle Procédure pour déterminer le point R d’une droite le plus rapproché d’un point Q hors de cette droite par une approche vectorielle 1. Déterminer un point P quelconque de la droite. 2. Écrire l’équation vectorielle du triangle PQR : PR + RQ = PQ aD + RQ = PQ 3. Déterminer le produit scalaire des deux membres de l’équation par le vecteur directeur. 4. Calculer la valeur du scalaire, a, dans l’équation scalaire obtenue par ce produit. 5. Utiliser ce scalaire pour déterminer le vecteur position du point R cherché. OP + PR = OR

Exercice S S S x = 7 – 4t y = –4 + 2t z = –2 + 3t le point le plus rapproché du point Q(–2; 8; 7). Trouver sur la droite ∆ : On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. La direction de PR est alors la même que celle du vecteur directeur de la droite. D = (–4; 2; 3) et PR = aD = a(–4; 2; 3) PQ = (–2; 8; 7)– (7; –4; –2) = (–9; 12; 9) La multiplication scalaire des deux membres de cette équation vectorielle par le vecteur directeur donne : En déterminant la valeur de a, il nous sera possible de connaître le vecteur position du point R. On connaît déjà le point P(7; –4; –2) sur la droite. Sachant que b = 3, on peut déterminer le vecteur position du point R, puisque : D • (aD + RQ ) = D • PQ Par l’addition vectorielle, on a : OR = OP + PR a ( D • D) + D • RQ = D • PQ S S Puisque les vecteurs sont orthogonaux, on a D • RQ = 0, et : Cela donne : OR = (7; –4; –2) + 3(–4; 2; 3) = (–5; 2; 7). S PR + RQ = PQ a D 2 D • PQ = Le point le plus rapproché est donc R (–5; 2; 7). Ce qui donne : 29a = (–4; 2; 3)• (–9; 12; 9) = 36 + 24 + 27 = 87 et b = 3. aD + RQ = PQ

Le point le plus près dans R3 Méthode de l’intersection de lieux Le point d’une droite le plus près d’un point Q hors de cette droite dont on connaît un vecteur directeur (description paramétrique). Le point cherché est le pied de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. Cette droite est dans un plan ∏ perpendiculaire à ∆ et passant par le point Q. Le vecteur directeur de la droite ∆ est donc un vecteur normal au plan ∏. On peut donc déterminer une équation cartésienne du plan ∏ et trouver son intersection avec la droite ∆.

Exemple 12.3.4 (Intersection de lieux) x = 8 + 3t y = –1 – 2t z = –2 + t le point le plus rapproché du point Q(3; 8; 3). Trouver sur la droite ∆ : On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. Or, cette droite est dans un plan perpendiculaire à ∆. L’équation cartésienne du plan passant par Q et perpendiculaire à ∆ est : (3; –2; 1) • (x – 3; y – 8; z – 3) = 0, d’où : 3x – 2y + z + 4 = 0 En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient : En substituant les équations paramétriques de la droite dans l’équation du plan ∏, on obtient : x = 8 + 3 ´(–2) = 2 y = –1 – 2 ´(–2) = 3 z = –2 + 1 ´(–2) = –4 3(8 + 3t) – 2(–1 – 2t) + (–2 + t) + 4 = 0 S S S D’où : 24 + 9t + 2 + 4t – 2 + t + 4 = 0 Le point le plus rapproché est donc R(2; 3; –4). Cela donne : 14t + 28 = 0 et t = –2

Le point le plus près dans R3 Intersection de lieux Procédure pour déterminer le point R d’une droite le plus rapproché d’un point Q hors de cette droite par une intersection de lieux 1. Déterminer le vecteur directeur de la droite. 2. Déterminer l’équation cartésienne du plan passant par le point Q et perpendiculaire au vecteur directeur de ∆. 3. Substituer les équations paramétriques de la droite dans l’équation cartésienne du plan et calculer la valeur du paramètre au point d’intersection. 4. Substituer la valeur du scalaire dans les équations paramétriques de la droite pour trouver les coordonnées du point de rencontre.

Exercice (Intersection de lieux) x = 7 – 4t y = –4 + 2t z = –2 + 3t le point le plus rapproché du point Q(–2; 8; 7). Trouver sur la droite ∆ : On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite ∆. Or, cette droite est dans un plan perpendiculaire à ∆. ∏ L’équation cartésienne du plan passant par Q et perpendiculaire à ∆ est : (–4; 2; 3) • (x + 2; y – 8; z – 7) = 0, d’où : –4x + 2y + 3z – 45 = 0 En substituant les équations paramétriques de la droite dans l’équation du plan ∏, on obtient : En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient : x = 7 – 4 ´3 = –5 y = –4 + 2 ´3 = 2 z = –2 + 3 ´3 = 7 –4(7 – 4t) + 2(–4 + 2t) + 3(–2 + 3t) – 45 = 0 S S S D’où : –28 + 16t – 8 + 4t – 6 + 9t – 45 = 0 Cela donne : 29t – 87 = 0 et t = 3 Le point le plus rapproché est donc R(–5; 2; 7).

Distances dans R3 Distance entre deux droites gauches (Longueur de la projection). Deux droites gauches sont toujours contenues dans des plans parallèles. On considère un point P de l’une des droites et un point R de l’autre droite pour construire le vecteur PR. On détermine un vecteur normal aux deux plans en effectuant le produit vectoriel des vecteurs directeurs des droites gauches. La distance cherchée est alors la longueur de la projection du vecteur PR sur le vecteur normal N.

Exemple 12.3.5 (Longueur de la projection) Trouver la distance entre les droites suivantes : x = 2 – 3t y = –5 + 7t z = –3 – 2t x = 8 + 6s y = 2 – 2s z = –3 – 3s ∆1 : ∆2 : Les vecteurs directeurs sont : D1 = (–3; 7; –2) et D2 = (6; –2; –3). On a P(2; –5; –3) sur ∆1 et R(8; 2; –3) sur ∆2, d’où : PR = (6; 7; 0). Le produit vectoriel des vecteurs directeurs donne : i j k D1 ´ D2 = = (–21 – 4) i – (9 + 12) j + (6 – 42) k –3 7 –2 6 –2 –3 = –25 i – 21 j k –36 = N La distance est alors donnée par : S S PR  N  • N   = (6; 7; 0) • (–25; –21; 4) (–25)2 + (–21)2 + (–36)2 = –297 2 362 d(∆1, ∆2) = ≈ 6,11 La distance entre les droites est donc d’environ 6,11 unités.

Distance entre deux droites gauches Longueur de la projection Procédure pour déterminer la distance entre deux droites gauches 1. Déterminer les vecteurs directeurs des droites. 2. Déterminer un point sur chacune des droites et le vecteur joignant ces deux points. 3. Effectuer le produit vectoriel des vecteurs directeurs pour déterminer le vecteur normal aux plans parallèles contenant ces droites. 4. Utiliser le produit scalaire pour calculer la longueur de la projection sur le vecteur normal du vecteur joignant les deux points des droites gauches. Cette longueur est la distance cherchée.

Exercice (Longueur de la projection) Trouver la distance entre les droites suivantes : x = 5 + 4t y = 4 – 2t z = –2 + 5t x = 11 – 5s y = 9 + 6s z = 5 – 2s ∆1 : ∆2 : Les vecteurs directeurs sont : D1 = (4; –2; 5) et D2 = (–5; 6; –2). On a P(5; 4; –2) sur ∆1 et R(11; 9; 5) sur ∆2, d’où : PR = (6; 5; 7). Le produit vectoriel des vecteurs directeurs donne : i j k D1 ´ D2 = = (4 – 30) i – (–8 + 25) j + (24 – 10) k 4 –2 5 –5 6 –2 = –26 i – 17 j k + 14 = N S S La distance est alors donnée par : PR  N  • N   (6; 5; 7) • (–26; –17; 14) = (–26)2 + (–17)2 + 142 1 161 = –143 d(∆1, ∆2) = ≈ 4,20 La distance entre les droites est donc d’environ 4,20 unités.

Distances dans R3 Distance entre deux droites gauches (Méthode du produit mixte). On considère un point P de l’une des droites et un point R de l’autre droite pour construire le vecteur PR. Par le produit mixte, on détermine le volume du parallé-lépipède construit sur les vec-teurs D1, D2 et PR. La distance cherchée est la hauteur du parallélépipède que l’on obtient en divisant le volume par le module du produit vectoriel des vecteurs directeurs, puisque celui-ci donne l’aire de la base du parallélépipède.

Exemple 12.3.5 (Produit mixte) Trouver la distance entre les droites suivantes : x = 2 – 3t y = –5 + 7t z = –3 – 2t x = 8 + 6s y = 2 – 2s z = –3 – 3s ∆1 : ∆2 : Les vecteurs directeurs sont : D1 = (–3; 7; –2) et D2 = (6; –2; –3). On a P(2; –5; –3) sur ∆1 et R(8; 2; –3) sur ∆2, d’où : PR = (6; 7; 0). Le produit mixte des vecteurs donne : S S 6 7 = 6(–21 – 4) – 7(9 + 12) + 0(6 – 42) D1 ´ D2 ) = PR • ( –3 7 –2 = 6(–25) – 7(21) + 0(–36) = –297 6 –2 –3 De plus, D1 ´ D2 = –25 i – 21 j k – 36 D1 ´ D2 et 2 362 = La distance est alors donnée par : D1 ´ D2 ) PR • ( D1 ´ D2 2 362 = –297 d(∆1, ∆2) = ≈ 6,11 La distance du point au plan est donc d’environ 6,11 unités.

Distance entre deux droites gauches Produit mixte Procédure pour déterminer la distance entre deux droites gauches 1. Déterminer les vecteurs directeurs des droites. 2. Déterminer un point sur chacune des droites et le vecteur joignant ces deux points. 3. Effectuer le produit mixte des trois vecteurs directeurs et prendre la valeur absolue du produit pour obtenir le volume du parallélépipède. 4. Effectuer le produit vectoriel des vecteurs directeurs et prendre le module de celui-ci pour déterminer l’aire de la surface de la base. 5. Diviser le volume du parallélépipède par l’aire de sa base pour en obtenir la hauteur qui est la distance cherchée.

Exercice (Produit mixte) Trouver la distance entre les droites suivantes : x = 5 + 4t y = 4 – 2t z = –2 + 5t x = 11 – 5s y = 9 + 6s z = 5 – 2s ∆1 : ∆2 : Les vecteurs directeurs sont : D1 = (4; –2; 5) et D2 = (–5; 6; –2). On a P(5; 4; –2) sur ∆1 et R(11; 9; 5) sur ∆2, d’où : PR = (6; 5; 7). Le produit mixte des vecteurs donne : S S 6 5 7 = 6(4 – 30) – 5(–8 + 25) + 7(24 – 10) D1 ´ D2 ) = PR • ( 4 –2 5 –5 6 –2 = 6(–26) – 5(17) + 7(14) = –143 De plus, D1 ´ D2 = –26 i – 17 j k + 14 D1 ´ D2 et 1 161 = La distance est alors donnée par : D1 ´ D2 ) PR • ( D1 ´ D2 1 161 = –143 d(∆1, ∆2) = ≈ 4,20 La distance entre les droites est donc d’environ 4,20 unités.

Les points les plus rapprochés de deux droites gauches Méthode vectorielle Lorsqu’on a deux droites gauches , il y a toujours des plans parallèles contenant les droites. De plus, on peut déterminer un point P sur l’une des droites et un point R sur l’autre droite et former le vecteur PR. En notant A et B, les points les plus rapprochés, on a alors : PR = PA + AB BR comme une combinaison linéaire des vecteurs directeurs des droites et du vecteur normal aux plans. On peut alors exprimer PR Le produit scalaire avec les vecteurs directeurs donne deux équations dont les inconnues sont les scalaires de la combinaison linéaire.

Exemple 12.3.6 (méthode vectorielle) Trouver les points les plus proches sur les droites gauches suivantes : x = 7 – 2t y = –6 + 4t z = 6 – t x = 1 + s y = –10 – 3s z = 8 + 2s ∆1 : ∆2 : Les vecteurs directeurs sont : D1 = (–2; 4; –1) et D2 = (1; –3; 2). PR = (1; –10; 8) – (7; –6; 6) = (–6; –4; 2). On a alors : Notons A, le point cherché sur la droite ∆1, et B, le point cherché sur la droite ∆2. On peut alors exprimer de la façon suivante : PR donne : D1 La multiplication scalaire par On doit résoudre le système d’équations : OA = OP + PA = OP + a D1 = (7; –6; 6) + 2(–2; 4; –1) = (3; 2; 4) 21a – 16c = –6 Par la méthode de Cramer, on a : a + c PR D2 D1 = • –16a + 14c = 10 OB PA AB BR PR + = = OR + RB = OR – BR = OR – c D2 a(–2; 4; –1)•(–2; 4; –1) + c(–2; 4; –1)•(1; –3; 2) = (–2; 4; –1)•(–6; –4; 2) 21 –16 14 = a PA D1. Puisque P et A sont sur la droite ∆1, on a = 21 ´14 – (–16)´(–16) = 38 = (1; –10; 8) – 3(1; –3; 2) = (–2; –1; 2) donne : D2 La multiplication scalaire par Puisque B et R sont sur la droite ∆2, on a = c BR D2. S S S S S –6 –16 10 14 38 a • D2 PR + c = D1 21 –6 –16 10 38 est perpendiculaire aux deux droites, puisque A et B sont les points les plus proches sur les droites. On a donc De plus, AB = b N. Les points les plus rapprochés sont donc A(3; 2; 4) sur ∆1 et B (–2; –1; 2) sur ∆2. a (1; –3; 2)•(–2; 4; –1) + c (1; –3; 2)•(1; –3; 2) = (1; –3; 2)•(–6; –4; 2) = 76 38 a = = 2 et c = = 114 38 = 3 Cela donne : a D1 PR + b + c = N D2

Les points les plus rapprochés Procédure Méthode vectorielle pour déterminer les points les plus proches sur deux droites gauches , où P est le point connu de ∆1 et R celui de ∆2. 1. Noter A, le point sur ∆1 et B, le point sur ∆2 et déterminer le vecteur PR 2. Exprimer PR comme combinaison linéaire des vecteurs directeurs et du vecteur normal. a D1 PR + b + c = N D2 3. Effectuer la multiplication scalaire des deux membres de l’équation par les vecteurs directeurs pour obtenir un système de deux équations à deux inconnues. 4. Résoudre le système d’équations pour trouver les scalaires a et c. 5. Utiliser les scalaires obtenus pour déterminer le vecteur position des point A et B.

Exercice (méthode vectorielle) Trouver les points les plus proches sur les droites gauches suivantes : x = –4 + 3t y = –10 + 7t z = –11 + 4t x = 1 + s y = 1 – s z = 11 – s ∆1 : ∆2 : Les vecteurs directeurs sont : D1 = (3; 7; 4) et D2 = (1; –1; –1). PR = (1; 1; 11) – (–4; –10; –11) = (5; 11; 22). Notons A, le point cherché sur la droite ∆1, et B, le point cherché sur la droite ∆2. On peut alors exprimer de la façon suivante : PR donne : D1 La multiplication scalaire par On a alors : On doit résoudre le système d’équations : 74a – 8c = 180 OA = OP + PA = OP + a D1 = (–4; –10; –11) + 2(3; 7; 4) = (2; 4; –3) a D1 PR + c = • D2 –8a + 3c = –28 Par la méthode de Cramer, on a : PA AB BR PR + = OB = OR + RB = OR – BR = OR – c D2 Puisque P et A sont sur la droite ∆1, on a a(3; 7; 4)• (3; 7; 4) + c (3; 7; 4)•(1; –1; –1) = (3; 7; 4)•(5; 11; 22) 74 –8 3 = a PA D1. = 74 ´3 – (–8)´(–8) = 158 = (1; 1; 11) + 4(1; –1; –1) = (5; –3; 7) Puisque B et R sont sur la droite ∆2, on a donne : D2 La multiplication scalaire par S S S S S = c BR D2. De plus, est perpendiculaire aux deux droites, puisque A et B sont les points les plus proches sur les droites. On a donc AB = b N. 180 –8 –28 3 158 a D2 PR + c = D1 • Les points les plus rapprochés sont donc A(2; 4; –3) sur ∆1 et B (5; –3; 7) sur ∆2. 74 180 –8 –28 158 a(1; –1; –1)•(3; 7; 4) + c(1; –1; –1)•(1; –1; –1) = (1; –1; –1)•(5; 11; 22) = 316 158 a = = 2 et c = = –632 158 = –4 Cela donne : a D1 PR + b + c = N D2

Les points les plus rapprochés de deux droites gauches Méthode du vecteur normal Lorsqu’on a deux droites gauches, il y a toujours des plans parallèles contenant les droites. En notant A et B, les points les plus rapprochés, on a alors : AB = k N Les coordonnées des points A et B doivent satisfaire aux équations para-métriques de leur droite respective. On peut donc établir un système de contraintes dont les variables sont les paramètres des équations des droites et le scalaire k. En résolvant ce système, on connaîtra la valeur des paramètres aux points les plus rapprochés.

Exemple 12.3.6 (vecteur normal) Trouver les points les plus proches sur les droites gauches suivantes : x = 7 – 2t y = –6 + 4t z = 6 – t x = 1 + s y = –10 – 3s z = 8 + 2s ∆1 : ∆2 : Les vecteurs directeurs sont : D1 = (–2; 4; –1) et D2 = (1; –3; 2) N = (5; 3; 2) En résolvant, on a : Trouvons le vecteur normal : Puisque : Notons A(a; b; c), le point cherché sur la droite ∆1, et B(d; e; f), le point cherché sur la droite ∆2. AB = k N, on a : 1 –3 L1 – 13L3 1 2 –5 6 Les points les plus rapprochés sont donc A(3; 2; 4) sur ∆1 et B (–2; –1; 2) sur ∆2. i j k 1 2 –5 6 (s + 2t – 6; –3s – 4t – 4; 2s + t + 2) = k(5; 3; 2) = (5k; 3k; 2k) L1 ≈ 1 2 N = D1 ´ D2 = L2 + 9L3 = (8 – 3) i – (–4 + 1) j + (6 – 4) k –3 –4 –3 4 ≈ –2 4 –1 Il existe donc des valeurs de t et s telles que : 2 –18 22 L2 + 3L1 1 –1 L3 S 2 1 –2 –2 1 –3 2 –3 = 5 i + 3 j k + 2 8 –14 a = 7 – 2t b = –6 + 4t c = 6 – t L3 – 2L1 d = 1 + s e = –10 – 3s f = 8 + 2s On a donc s = –3 et t = 2, d’où : s + 2t – 5k = 6 –3s – 4t – 3k = 4 2s + t – 2k = –2 S S S D’où l’on tire le système d’équations : 1 13 –16 1 13 –16 L1 – L2 L1 x = 7 – 2 ´2 = 3 y = –6 + 4 ´2 = 2 z = 6 – 2 = 4 x = 1 – 3 = –2 y = –10 – 3 ´(–3) = 1 z = 8 + 2 ´(–3) = 2 ≈ 2 –18 22 ≈ 1 –9 11 A : L2 B : L2 /2 D’où : AB = (d – a; e – b: f – c) = (s + 2t – 6; –3s – 4t – 4; 2s + t + 2) –38 38 1 –1 2L3 + 3L2 L3 /(–38)

Les points les plus rapprochés Procédure Méthode du vecteur normal pour déterminer les points les plus proches sur deux droites gauches 1. Noter A, le point sur ∆1 et B, le point sur ∆2 et déterminer le vecteur , en utilisant les des-criptions paramétriques des droites. AB 2. Déterminer le vecteur normal aux plans parallèles contenant ces droites. 3. Construire un système d’équations en utilisant le fait que AB = k N 4. Résoudre le système d’équations. 5. Utiliser les valeurs obtenus pour déterminer les coordonnées des point A et B.

Exercice (vecteur normal) Trouver les points les plus proches sur les droites gauches suivantes : x = –4 + 3t y = –10 + 7t z = –11 + 4t x = 1 + s y = 1 – s z = 11 – s ∆1 : ∆2 : Les vecteurs directeurs sont : D1 = (3; 7; 4) et D2 = (1; –1; –1) N = (–3; 7; –10) Trouvons le vecteur normal : En résolvant, on trouve : Puisque : Notons A(a; b; c), le point cherché sur la droite ∆1, et B(d; e; f), le point cherché sur la droite ∆2. AB = k N, on a : i Les points les plus rapprochés sont donc A(2; 4; –3) sur ∆1 et B (–2; –1; 2) sur ∆2. j k 1 –3 3 –5 1 10 –3 3 40 –5 (s – 3t + 5; –s – 7t + 11; –s – 4t + 22) = k (–3; 7; –10) = (–3k; 7k; –10k) L1 – 42L3 N = D1 ´ D2 = L1 = (–7 + 4) i – (–3 – 4) j + (–3 – 7) k 3 7 4 ≈ –20 Il existe donc des valeurs de t et s telles que : –1 –7 –7 –11 ≈ –10 –10 –4 –16 L2 + L1 L2 + 4L3 1 –1 –1 = –3 i + 7 j k – 10 S D’où l’on tire le système d’équations : –1 –4 10 –22 L3 –7 1 –1 L3 + L1 d = 1 + s e = 1 – s f = 11 – s 13 –27 a = –4 + 3t b = –10 + 7t c = –11 + 4t On a donc s = 4 et t = 2, d’où : s – 3t + 3k = –5 –s – 7t – 7k = –11 –s – 4t + 10k = –22 10 42 –2 10 42 –2 S S S 10L1 – 3L2 L1 x = –4 + 3 ´2 = 2 y = –10 + 7 ´2 = 4 z = –11 + 4 ´2 = –3 x = 1 + 4 = 5 y = 1 – 4 = –3 z = 11 – 4 = 7 ≈ ≈ –10 –4 –16 –10 –4 –16 A : L2 B : L2 D’où : AB = (d – a; e – b: f – c) = (s – 3t + 5; –s – 7t + 11; –s – 4t + 22) 158 –158 1 –1 10L3 – 7L2 L3 /(–158)

Conclusion Les procédures pour étudier la droite dans l’espace sont analogues à celles utilisées pour l’étude de la droite dans le plan et du plan dans l’espace. On peut, en utilisant les produits de vecteurs et leur interprétation géométrique : calculer des angles et des distances, déterminer les positions relatives de deux lieux géométriques (droites ou plans), déterminer le point d’un lieu géométrique, droite ou plan, le plus près d’un point hors de ce lieu, déterminer les points de deux lieux les plus rapprochés l’un de l’autre.

Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Section 12.3, p.345-353. Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature. Section 12.4, p. 357-358, no. 1 à 8.