Calcul littéral Identités remarquables Chapitre 5 Calcul littéral Identités remarquables

Objectifs : Simplifier une écriture littérale Développer et factoriser une expression Savoir utiliser les identités remarquables Utiliser le calcul littéral pour résoudre des problèmes

I. Réduction et simplification de parenthèses Définition : Réduire une expression littéral, c’est l’écrire avec le moins de termes possibles. Remarque : On regroupe les nombres ensembles, les 𝑥 ensemble, les 𝑥² ensembles…

Exemples : Réduis les expressions suivantes : A = 8𝑥 −5+2𝑥+10 A = 10𝑥+5 B = 3𝑥²+5𝑥 −6+4𝑥 −7 −9𝑥² B = −6 𝑥 2 +9𝑥 −13

Règle 1 : (Suppression de parenthèses) Lorsque dans une expression, on a un signe + devant une parenthèse ou une parenthèse en début de calcul, on peut supprimer cette parenthèse. Exemples : C = 10 + ( 4 + a ) = 10 + 4 + a = 14 + a D = 5 + ( - 𝑥 + 7 ) = 5 – 𝑥 + 7 = - 𝑥 + 12 E = ( 3 + y ) + 2y = 3 + y + 2y = 3 + 3y

Règle 2 : (Suppression de parenthèses) Lorsque dans une expression, on a un signe - devant une parenthèse, on supprime le signe – et les parenthèses mais on écrit l’opposé des nombres qui étaient à l’intérieur de la parenthèse. ( + en – et inversement) Exemples : F = 6 - ( 𝑥 + 4 ) = 6 – 𝑥 – 4 = - 𝑥 + 2 G = 5 - ( - 𝑥 – 4 ) = 5 + 𝑥 + 4 = 9 + 𝑥

k x ( a + b ) = k x a + k x b k x ( a - b ) = k x a - k x b II. Développer un produit Propriété : k x ( a + b ) = k x a + k x b k x ( a - b ) = k x a - k x b Exemples : Développe les expressions : I = − 2 ( 𝑦 + 7 ) I = − 2 × 𝑦 + ( − 2 ) × 7 I = − 2𝑦 – 14

J = −5 𝑥 −4 J = −5 ×𝑥 − −5 ×4 J = −5𝑥+20

( a + b ) ( c + d ) = a x c + a x d + b x c + b x d Propriété : ( a + b ) ( c + d ) = a x c + a x d + b x c + b x d Exemples : Développe les expressions : K = 𝑥 + 7 3𝑥+2 K = 𝑥 ×3𝑥+𝑥 ×2+7 ×3𝑥+7 ×2 K = 3 𝑥²+2𝑥+21𝑥+14 K = 3 𝑥²+23𝑥+14

L = 𝑥 −4 2𝑥+5 On va transformer les signes – en signes + L = 𝑥+(−4) ( 2𝑥+5 ) L = 𝑥 ×2𝑥+𝑥 ×5+ −4 ×2𝑥+ −4 ×5 L = 2𝑥²+5𝑥 −8𝑥 −20 L = 2𝑥² −3𝑥−20

( a + b )² = a² + 2ab + b² ( a - b )² = a² - 2ab + b² Propriétés : (Identités remarquables) ( a + b )² = a² + 2ab + b² ( a - b )² = a² - 2ab + b² ( a + b ) ( a – b ) = a² - b²

Exemples : Développe les expressions : M = 𝑥 +2 ² M = 𝑥²+2×𝑥×2+2² M = 𝑥²+4𝑥+4 N = 2𝑥 −3 ² N = 2𝑥 2 −2×2𝑥×3+3² N = 4𝑥²−12𝑥+9

O = 3𝑥+2 (3𝑥 −2) O = 3𝑥 2 −2² O = 9𝑥² −4 Applications Calcule astucieusement : 13 × 99 = 13 × (100 − 1) = 13 × 100 − 13 × 1 = 1300 − 13 = 1287 25 × 104 = 25 ×( 100 + 4 ) = 25 × 100 + 25 × 4 = 2500 + 100 = 2600 101² = ( 100 + 1 )² = 100² + 2 × 100 + 1² = 10000 + 200 + 1 = 10201 19² = ( 20 − 1 )² = 20² − 2 × 20 + 1² = 400 − 40 + 1 = 361 39 × 41 = ( 40 − 1 ) ( 40 + 1 ) = 40² − 1² = 1600 − 1 = 1599

III. Factoriser une somme Vocabulaire : Factoriser une somme algébrique revient quand c'est possible à transformer une somme algébrique en un produit de facteurs. Il suffit donc de lire les formules de développement en lisant l'égalité de droite à gauche.

Exemples : A =5𝑥+6𝑥 −2𝑥 A =𝑥 5+6−2 A = 9𝑥 B =9𝑥+9𝑥² B =9𝑥 ×1+9𝑥 ×𝑥 B =9𝑥 1+𝑥 C = 𝑥+1 𝑥+2 +(𝑥+1)(2𝑥+4) C = 𝑥+1 [ 𝑥+2 + 2𝑥+4 ] C = 𝑥+1 𝑥+2+2𝑥+4 C = 𝑥+1 3𝑥+6

Exemples : D =𝑥²+2𝑥+1 D =𝑥²+2×𝑥×1+1² D = 𝑥+1 2 E =4𝑥²−8𝑥−4 E = 2𝑥 2 −2×2𝑥× 2− 2 2 E =(2𝑥−2)² F =𝑥²−16 F =𝑥²− 4 2 F = 𝑥−4 (𝑥+4)