Physique mécanique (NYA) Chapitre 2: Les vecteurs

2.1 Scalaire et vecteurs Un scalaire est une grandeur totalement définie par un nombre et une unité. Il a une valeur numérique mais pas d'orientation. Les scalaires obéissent aux lois de l'algèbre ordinaire (Ex. masse, distance, température, volume, densité) Un vecteur est une entité mathématique définie par plusieurs valeurs numériques. Ces valeurs numériques décrivent le module et l'orientation du vecteur. Les vecteurs obéissent aux lois de l'algèbre vectorielle (Ex. déplacement, vitesse, accélération, force, quantité de mouvement). Les vecteurs sont souvent imprimées en caractères gras et/ou surmontées d'une flèche. Un vecteur peut être représenté géométriquement comme un segment de droite orienté de longueur proportionnelle à son module. On le représente par une flèche dont l'orientation est précisée par l'angle. Le module d'un vecteur est un scalaire positif. Lorsqu'on dessine un vecteur, on peut placer son origine en n'importe quel point par rapport aux axes du système de coordonnées. Mais, dans un problème de physique, l'emplacement d'une grandeur vectorielle peut avoir une importance, comme c'est le cas par exemple du point d'application d'une force.

2.1 (suite) L'égalité vectorielle A = B signifie que les vecteurs ont le même module et la même orientation: Multiplier un vecteur par un nombre pur (ou un scalaire) revient simplement à modifier le module du vecteur (Ex. )

2.2 L’addition des vecteurs est la résultante Méthode du polygone

2.2 (suite) Commutativité de l’addition L’addition est commutative:

2.2 (suite) Inverse d’un vecteur Soustraction de vecteurs

2.3 Composantes et vecteurs unitaires Un vecteur A peut être décomposé en ses composantes rectangulaires Ax et Ay. Il est possible d’additionner des vecteurs en additionnant les composantes de ces vecteur. Notez que l’inverse tangente a deux solutions …

2.3 (suite)

2.4 Le produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs est le produit du module du premier par la composante du second dans la direction du premier. Produit scalaire en fonction du module et de l’angle: Produit scalaire en fonction des composantes: Angle entre deux vecteurs:

2.4 (suite) Exemple Calculez l'angle entre les vecteurs M et P. M= ( -30 ; -20 ; +10 ) m/s et P= ( -30 ; -20 ; -10 ) m/s M  P= (-30)(-30) + (-20)(-20) + (10)(-10) = 1200 m²/s² ||M|| = ||P|| = 37,42 m/s (Dans ce cas particulier) MP = 1400,26 m²/s² (Un vecteur sans flèche est synonyme de la grandeur du vecteur) cos() = 1200/1400,26 = 0,85699 (le résultat est adimensionnel)  = 31,02°

2.5 Le produit vectoriel Le module du produit vectoriel de deux vecteurs est le produit du module du premier par la composante du second qui est perpendiculaire au premier. Le produit vectoriel est un vecteur perpendiculaire à A et à B dont le sens est donné par la règle de la main droite ou celle du tire-bouchon. Notez que le produit vectoriel est nul si les deux vecteur sont parallèles et maximal s’ils sont perpendiculaires.

2.5 (suite) Produit vectoriel en fonction des composantes: