Par Fabre Maxime, Lepot Florian, Salib Jérémy, Urbaneja Dorian Polynôme de degré 5 Par Fabre Maxime, Lepot Florian, Salib Jérémy, Urbaneja Dorian

Présentation Fabre Maxime (20/11/92) Lepot Florian (14/12/91) Salib Jérémy (19/10/92) Urbaneja Dorian (31/01/92) 𝑃 𝑥 = 𝑥 5 − 14𝑥 4 + 19𝑥 3 − 20𝑥 2 +31𝑥+1

Plan Un peu d’histoire… Résolution mathématique Programme Cardan Ferrari Résolution mathématique Première racine Méthode de Ferrari Méthode de Cardan Racines Programme Dichotomie Partie imaginaire

Un peu d’histoire - Cardan 24 septembre 1501 Etudes de médecine 1539, résolution des équations du type x3+px=q, Tartaglia Maître aux jeux de cartes Horoscope du Christ Meurt le 21 septembre 1576 (selon ses prédictions)

Un peu d’histoire - Ferrari Né le 2 février 1522 Issu d’une famille pauvre A 14 ans, secrétaire chez Cardan Talent important Travaille sur la résolution d’équation du 4eme degré Querelle avec Tartaglia Précepteur du sénateur de Milan Empoisonné par sa sœur

Méthode mathématique Dichotomie et division euclidienne Ferrari Cardan Racines

Première racine Obtention par dichotomie (calculatrice) Obtention du polynôme de degré 4 par division euclidienne 𝑥 5 − 14𝑥 4 + 19𝑥 3 − 20𝑥 2 +31𝑥+1 𝑥+0.031594 −( 𝑥 5 + 0.031594𝑥 4 ) −14.031594𝑥 4 + 19𝑥 3 − 20𝑥 2 +31𝑥 +1 −( −14.031594𝑥 4 − 0.4433141808𝑥 3 ) 19.44331418𝑥 3 − 20𝑥 2 +31𝑥 +1 −( 19.44331418𝑥 3 + 0.614292068𝑥 2 ) − 20.61429207𝑥 2 +31𝑥 +1 −(− 20.61429207𝑥 2 −0.6512879436𝑥) 31.65128794𝑥 +1 −(31.65128794𝑥 +1)   𝑋 4 − 14.031594𝑥 3 + 19.44331418𝑥 2 −20.61429207𝑥 +31.65128794

Méthode de Ferrari De la forme 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 3 + 𝑐𝑥 2 +𝑑𝑥 +𝑒 𝑃 𝑥 = 𝑥 4 − 14.031594𝑥 3 + 19.44331418𝑥 2 −20.61429207𝑥 +31.65128794 𝑥 4 − 14.031594𝑥 3 + 19.44331418𝑥 2 −20.61429207𝑥 +31.65128794 De la forme 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 3 + 𝑐𝑥 2 +𝑑𝑥 +𝑒 On pose : x = Y – b/4a puis division par a On obtient : 𝑎(𝑌− 𝑏 4𝑎 ) 4 + 𝑏(𝑌− 𝑏 4𝑎 ) 3 + 𝑐(𝑌− 𝑏 4𝑎 ) 2 + 𝑌− 𝑏 4𝑎 + 𝑒= 𝑌 4 + − 3 𝑏 2 8𝑎 + 𝑐 𝑎 𝑌 2 + 𝑏 2 3 𝑎 3 − 𝑏𝑐 2 𝑎 2 + 𝑑 𝑎 𝑌−3 𝑏 4𝑎 4 + 𝑐 𝑏 4 2 𝑎 3 − 𝑏𝑑 4 𝑎 2 + 𝑒 𝑎 Même équation que la méthode De la forme : 𝑌 4 + 𝐴 𝑌 2 + 𝐵𝑌+𝐶

Méthode de Ferrari 𝑌 2 + 𝑢 2 2 = 𝑌 4 + 𝑢𝑌 2 + 𝑢 2 4 𝑌 4 − 54.38879714 𝑌 2 −229.5313502𝑌−255.6697884=0 𝑌 2 + 𝑢 2 2 = 𝑌 4 + 𝑢𝑌 2 + 𝑢 2 4 On impose les conditions u A et on force D = 0, où D est le discriminant de l'équation en X du second membre 𝑢 3 −𝐴 𝑢 2 −4𝐶 𝑢+4𝐴𝐶−𝐵 2 =0

Méthode de Cardan 𝑢 3 + 54.38879714𝑢 2 +1022.679154𝑢+2937.648325=0 𝑙 𝑢 3 + 𝑚𝑢 2 +𝑛𝑢+𝑜=0 On pose 𝑢=𝑇− 𝑚 3𝑙 𝑙 𝑇 3 + −𝑚+𝑚 𝑇 2 + 𝑚 2 3𝑙 − 2 𝑚 2 3𝑙 +𝑛 𝑇+ − 𝑚 3 27 𝑙 2 + 𝑚 3 9 𝑙 2 − 𝑚𝑛 3𝑙 +𝑜 = 0, puis division par l 𝑇 3 + 𝑛 𝑙 − 𝑚 2 3 𝑙 2 𝑇+ 2 𝑚 3 27 𝑙 3 + 𝑜 𝑙 − 𝑚𝑛 3 𝑙 2 =0 On a donc une équation de la forme: 𝑇 3 +𝑝𝑇+𝑞=0 𝑝 =36.63206922 et 𝑞=−3685.355836 𝑇 3 +36.63206922𝑇−3685.355836=0

Méthode de Cardan - Racine On pose : 𝑇=𝑣+𝑤 𝑣 3 + 𝑤 3 =−𝑞=3685.355836 𝑣 3 . 𝑤 3 = − 𝑝 3 27 On pose: 𝐷= 𝑞 2 4 + 𝑝 3 27 = 3397282.534 On a : 𝐷 >0, on a donc l’unique solution : 𝑇1=𝑣+𝑤= 3 − 𝑞 2 + 𝑞 2 4 + 𝑝 3 27 + 3 − 𝑞 2 − 𝑞 2 4 + 𝑝 3 27 𝑇1=14.65657529 𝑢=𝑇− 𝑏 3𝑎 =𝑇1− 54.38879714 3 =−3.47302376 𝑢 3 + 54.38879714𝑢 2 +1022.679154𝑢+2937.648325=0

Racines 𝑌 2 + 𝑢 2 2 = 𝑢−𝐴 𝑌−𝑧 2 𝑧= 𝐵 2(𝑢−𝐴) =−2.25402989 𝑌 2 + 𝑢 2 2 = 𝑢−𝐴 𝑌−𝑧 2 𝑧= 𝐵 2(𝑢−𝐴) =−2.25402989 𝑌 2 + −3.47302376 2 2 = 50.91577338 𝑌+2.25402989 2 2 équations: (4) 𝑌 2 − 3.47302376 2 = 50.91577338 𝑌+2.25402989 = 𝑌 2 −7.135528949𝑌−17.82020741=0 𝑌 2 + −3.47302376 2 =− 50.91577338 𝑌+2.25402989 = 𝑌 2 + 7.135528949𝑌+14.34718365= 0 On remplace Y par 𝑥+ 𝑏 4𝑎 dans les 2 expressions pour arriver à du 2e degré

Racines (4): 𝑥 2 −14.15132595𝑥+19.51585578=0 Delta= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 (4): 𝑥 2 −14.15132595𝑥+19.51585578=0 Delta= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 𝑥1=1.54853436 𝑥2=12.60279159 (5): 𝑥 2 +0.119731949𝑥+1.62182424=0 𝑥3= −0.0598659745−1.272100745𝑖 𝑥4= −0.0598659745+1.272100745𝑖 Constat

Méthode informatique Dichotomie Division euclidienne Ferrari Cardan Racines

Conclusion