Tangentes Nombre dérivé

1 § Approche intuitive d’une tangente. Voici la courbe de la fonction f définie sur R par : La courbe de cette fonction passe par le point A (- 2 ; 2)

On s’intéresse aux droites qui passent par le point A . En voici 9 ! Parmi toutes ces droites, une seule a le droit de se nommer tangente à la courbe au point d’abscisse 2 … Laquelle ?

Cette droite est la seule qui suit la courbe au voisinage du point A. Pour bien montrer cette notion, voici un zoom du voisinage du point A.

On admet :  il ne peut y avoir au plus qu’une seule tangente pour une courbe en un point donné. Par contre, il peut ne pas y avoir de tangente en un point.  La tangente est une droite qui suit la courbe au voisinage d’un point, cette droite peut couper la courbe en plusieurs points. Voici quelques situations qui illustrent ces notions.

Plusieurs tangentes par courbe mais une tangente par point …

Aucune tangente en un point donné … Voici la courbe de la fonction f définie sur R par : 2 demi-tangentes … mais aucune tangente !

Une tangente peut couper une courbe en plusieurs points …

2 § Nombre dérivé et tangente. On a admis que pour une courbe, il y a une seule tangente en un point A de la courbe donné. Cette tangente est donc caractérisée uniquement par son coefficient directeur. En effet, cette droite doit passer par le point de la courbe fixé. Mais comment déterminer ce coefficient directeur ? … Pour cela, intéressons nous aux droites (AM) où M est un point quelconque de la courbe. Soyons plus précis : A est le point de coordonnées M est le point de coordonnées

M se rapproche de A ? Le coefficient de la droite (AM) est : Mais que se passe-t-il quand M se rapproche de A ?

Ainsi, la position limite de cette droite quand M se rapproche de A représente la droite tangente à la courbe au point d’abscisse x0 . Il en vient que le coefficient directeur de la tangente est : Si la courbe de f admet une tangente au point d’abscisse x0 , on dit que la fonction f est dérivable en x0 et on note f ‘ (x0) le nombre dérivé en x0 . On a :

coefficient directeur x0 tangente de coefficient directeur f ‘ (x0)

Exemple : Déterminer le nombre dérivé de la fonction f suivante au point d’abscisse x0 = 2. Exemple : Déterminer le nombre dérivé de la fonction f suivante au point d’abscisse x0 = 2. Le nombre dérivé de la fonction f au point d’abscisse x0 = 2 est donc : f ‘ (2) = 1.

La tangente au point d’abscisse 2 à la courbe de f a donc pour coefficient directeur 1. Comme cette droite passe par le point A de coordonnées (2 ; - 2) , l’équation de la tangente est donc : y = x – 4.