Source : philippe.dutarte@ac-creteil.fr Fluctuation d’échantillonnage en pratique dans les programmes de mathématiques de la voie professionnelle Source : philippe.dutarte@ac-creteil.fr

Le parti pris des programmes de la voie professionnelle est celui d’une introduction progressive du formalisme du calcul des probabilités, fondée sur l’expérimentation statistique.

« De façon apparemment paradoxale, l'accumulation d'événements au hasard aboutit à une répartition parfaitement prévisible des résultats possibles. Le hasard n'est capricieux qu'au coup par coup. » Michel SERRES et Nayla FAROUKI, « Le Trésor » - article loi des grands nombres.  

Émile Borel (1871- 1956) Vers 1910 : « Si la notion de vérité statistique devenait familière à tous ceux qui parlent ou écrivent au sujet de questions où la vérité statistique est la seule vérité, bien des sophismes et bien des paradoxes seraient évités. »

Des questions… Est-ce le fruit du hasard ? En 2000 à Xicun (Chine) 4 filles 16 garçons En 2001 à Louvres (Val d’Oise) 70 filles 82 garçons Entre 1999 et 2003 à Aamjiwnaag (Canada) 86 filles 46 garçons

Des questions… Risque ? Le magazine Le Point du 13/09/2002 écrit : « Une crue de la Seine comparable à celle de 1910 se produit en moyenne tous les cent ans et la probabilité d’une telle catastrophe augmente d’année en année ». Que faut-il en penser ?

Des questions… Une petite ville des États-Unis a connu 9 cas de leucémies chez de jeunes garçons en l’espace de 10 années. Doit-on en « accuser le hasard » ?

Des questions… Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture de type « grains ponctuels sur le capot ». Lorsque le processus est sous contrôle, on a 20% de ce type de défauts. Lors du contrôle aléatoire de 50 véhicules, on observe 25% de défauts. Faut-il s’inquiéter ?

Des questions… Comment aux États-Unis, la statistique a-t-elle permis de mettre en évidence une discrimination conduisant à casser un jugement ?

Des questions… Le dernier sondage de 2002 ne prévoyait pas la présence de Jean-Marie Le Pen au second tour. Peut-on croire un sondage ?

Des questions… VRAI OU FAUX ? Il y a peu de risques de tomber en panne de TV entre 2 et 5 ans d’utilisation. On a une chance sur 6 de tomber en panne entre 2 et 5 ans. Sur 360 TV vendues, 10 seront en panne d’ici 5 ans. Si on augmente le nombre de téléviseurs la fréquence des pannes approchera la valeur 0,0278. Il y a plus de risques d’avoir 100 TV en panne sur 3600 vendues que 10 en panne sur 360 vendues.

Des questions… Comment la loi des grands nombres permet-elle d’estimer une probabilité ?

Seconde professionnelle Objectif : Expérimenter la « loi des grands nombres », du point de vue des fluctuations (à taille d’échantillon fixée) et des probabilités (lorsque la taille de l’échantillon augmente).

Fluctuations d’une fréquence L’étude des fluctuations d’une fréquence développe l’esprit critique du citoyen et du professionnel face à des résultats statistiques. Échantillon de taille n = 10 Fréquence des rouges f = 0,7 Fréquence des rouges dans la population p = 0,6

Expérimenter, d’abord à l’aide de pièces, de dés ou d’urnes, puis à l’aide d’une simulation informatique, la prise d’échantillons aléatoires de taille n fixée, extraits d’une population où la fréquence p d’un caractère est connue.

L’expérimentation physique « valide » les simulations virtuelles, mais surtout elle laisse des « images mentales » essentielles.

Jouer à pile ou face

La machine à billes

La bouteille à perles

Simulation avec les TIC 1 rand (générateur de nombres aléatoires) rand + 0.3 int(rand + 0.3) donne 0 ou 1

Avec une calculatrice

Avec un tableur Vide.xls

Avec une pièce de monnaie Problème Suite aux élections de 2008, parmi les 20 mairies d’arrondissement à Paris, 5 maires sont des femmes et 15 des hommes. Peut-on considérer que cette répartition est uniquement due au hasard ? Avec une pièce de monnaie On peut observer si le hasard est une explication « raisonnable » en lançant 20 fois une pièce de monnaie. Avec le tableur On augmente le nombre d’expériences. 20 pile face.xls

Des naissances à pile ou face Xicun 4 filles 16 garçons Louvres 70 filles 82 garçons Aamjiwnaag 86 filles 46 garçons

Brainstorming Xicun Louvres Aamjiwnaag Nombre de naissances 22 152 132 Pourcentage de garçons 80% 53,9% 34,8%

Du jeu de pile ou face à la simulation Énoncé élève  1. Lancer 20 fois une pièce de monnaie et noter le nombre de « pile ». 2. Recommencer l’expérience une dizaine de fois ou regrouper les résultats obtenus dans la classe. 3. Comment peut-on utiliser ces expériences pour commenter les statistiques de Xicun ? 4. Pourquoi l’expérimentation avec des pièces ne permet-elle pas de répondre complètement au problème posé ? naissances pile ou face.xls

Quelles « réponses » ? Ce ne sont que des réponses « statistiques ». Les résultats observés sur les naissances à Xicun et Aamjiwnaag sont « bizarres » (et préoccupants). On a établi une « preuve statistique », rationnelle, qu’il se passe sans doute quelque chose d’inhabituel. Pour le cas de Xicun, la cause probable est l’acquisition dans ce village (en 1999) d’une machine à ultras-sons bon marché permettant aux médecins de déterminer le sexe du fœtus. (Source : Washington Post du 29 mai 2001.) Dans le cas d’Aamjiwnaag, une enquête sanitaire est menée. On connaît en effet, depuis Seveso, le rôle de certains polluants sur les déséquilibres du sex-ratio. (Sources : Science et Vie fév 2006 – Environmenthal Health Perspectives oct 2005.)

Faire preuve d’esprit critique face à une situation aléatoire simple Faire preuve d’esprit critique face à une situation aléatoire simple. (Fluctuations)

Exemple (PISA) Pour déterminer la cote de popularité d’un candidat en vue d’une élection, trois journaux ont mené leur propre sondage dont voici les résultats : * journal 1 : 37,5 % (sondage effectué sur un échantillon de 500 citoyens ayant le droit de vote, tirés au hasard) ; * journal 2 : 41,5 % (sondage effectué sur un échantillon de 1 000 citoyens ayant le droit de vote, tirés au hasard) ; * journal 3 : 45 % (sondage effectué sur 1 000 lecteurs qui ont appelé la rédaction pour voter). À quel journal peut-on le plus se fier pour prévoir le taux d’opinions favorables à ce candidat, si l’élection avait lieu le jour du sondage ?

Probabilités La compréhension de la notion mathématique de probabilité favorise une attitude rationnelle dans un environnement incertain (évaluation des risques, prise de décision). On augmente la taille n de l’échantillon (prélevé avec remise) Fréquence des rouges dans la population p inconnue p ? …

Obtenir la probabilité d’un événement dans le cas d’une situation aléatoire simple.

Exemple Annie aime les bonbons rouges. Le sachet A contient 14 bonbons rouges et 6 bonbons jaunes. Le sachet B contient 6 bonbons rouges et 2 bonbons jaunes. Les sachets sont opaques et Annie ne peut prendre qu’un bonbon au hasard. Dans quel sachet la probabilité de prendre un bonbon rouge est la plus grande ?

Évaluer la probabilité d’un événement à partir des fréquences (stabilisation relative des fréquences vers la probabilité de l’événement quand n augmente).

Le segment aléatoire Segment aleatoire.xls

Problème Un professeur construit un Q.C.M. de 20 questions indépendantes, proposant 3 réponses possibles à chaque question, une seule réponse étant exacte. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 10 bonnes réponses, en répondant au hasard ? QCM 20 questions.xls

7 « pile » consécutifs Question : On lance 7 fois une pièce de monnaie équilibrée, quelle est la probabilité d’avoir 7 fois pile ? 7 piles consécutifs.xls

7 « pile » consécutifs Application au contrôle de qualité : Si l’on constate une série de sept points consécutifs du même côté de la moyenne, surveiller le processus.

Faire preuve d’esprit critique face à une situation aléatoire simple Faire preuve d’esprit critique face à une situation aléatoire simple. (Probabilités)

Exercice (PISA) Au loto, des boules numérotées sont tirées au hasard chaque semaine. Un journal publie les numéros gagnants de la semaine précédente, ainsi qu’une liste des numéros qui ne sont pas sortis depuis longtemps. Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. A – Les informations publiées ne sont d’aucune utilité car toutes les combinaisons ont la même probabilité de sortie. B – Les numéros de la semaine précédente ont davantage de chances de sortir car ils sont « chauds ». C – Les numéros de la semaine précédente ont moins de chances de sortir car il est peu probable qu’un numéro sorte deux fois de suite. D – Les numéros qui ne sont plus sortis depuis longtemps ont davantage de chances de sortir.

Première professionnelle Quantifier la « loi des grands nombres » en mesurant les fluctuations en terme de probabilités.

Calculer le pourcentage des échantillons de taille n simulés, pour lesquels la fréquence relative au caractère étudié appartient à l’intervalle donné [ p – 1/rac(n) ; p + 1/rac(n) ] et le comparer à une probabilité de 0,95.

La « variabilité naturelle » La « variabilité naturelle » ? Lorsque la fréquence f pour un échantillon de taille n se situe dans l’intervalle [p – 1/rac(n) ; p + 1/rac(n)] , la probabilité est supérieure à 0,95.

Problème Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture de type « grains ponctuels sur le capot ». Lorsque le processus est sous contrôle, on a 20% de ce type de défauts. Lors du contrôle aléatoire de 50 véhicules, on observe 25% de défauts. Faut-il s’inquiéter ? carte de controle.xls

Peut-on croire un sondage ? Le dernier sondage de 2002 ne prévoyait pas la présence de Jean-Marie Le Pen au second tour. Peut-on croire un sondage ?

Résultats du premier tour 21/04/02 Dernier sondage B.V.A. , effectué sur 1000 électeurs le vendredi 19/04/02 Jacques Chirac 19 % Lionel Jospin 18 % Jean-Marie Le Pen 14 % Résultats du premier tour 21/04/02 Jacques Chirac 19,88 % Lionel Jospin 16,18 % Jean-Marie Le Pen 16,86 %

Échantillonnage le jour de l’élection

Fourchettes de sondage p

Simulation Election 2002.xls

Terminale professionnelle Pratiquer, en situation, le formalisme du calcul des probabilités.

Passer du langage probabiliste au langage courant et réciproquement * Passer du langage probabiliste au langage courant et réciproquement. * Utiliser arbres, tableaux, diagrammes, pour organiser et dénombrer. * Utiliser les notations et les formules : ; .