les enjeux de l’enseignement des mathématiques la SEGPA au sein des programmes du collège

préambule : LA CULTURE SCIENTIFIQUE AU COLLEGE extrait des programmes

chercher, abstraire, raisonner, expliquer. Faire des mathématiques c'est ? Définition données par les textes et documents officiels pour les enseignants du premier et du second degré : chercher, abstraire, raisonner, expliquer.

maxime n°1 : Avant de faire faire des mathématiques, commençons par faire des mathématiques ! ... histoire d'entretenir et de cultiver son propre rapport à l'apprentissage... et à ses difficultés

chercher si : 1 = 5 2 = 25 3 = 325 4 = 625 alors 5 = ? munissez vous d'un instrument de calcul si : 1 = 5 2 = 25 3 = 325 4 = 625 alors 5 = ?

abstraire 3 niveaux : 15 cartes 2 niveaux : 7 cartes Andréa s’amuse à construire des châteaux avec des cartes à jouer. Elle a construit deux châteaux : le premier a deux niveaux et est fait de 7 cartes ; le deuxième a trois niveaux et est fait de 15 cartes. Combien de cartes Andréa devrait-elle utiliser pour construire un château de 25 niveaux ?

raisonner • Exemple de situation permettant de mettre en œuvre réellement un raisonnement non trivial ( 2 pas successifs: diagonales de même longueur dans un rectangle, caractérisation des points d ’un cercle) • Simplicité et accessibilité des justifications • Variables didactiques : - Donnée de la figure, - donnée de la nature des 2 rectangles (on pourrait remplacer par des données relatives au parallélisme et/ou à l ’orthogonalité), - formes des deux rectangles (les positions de A et B sur le cercle sont plus ou moins suggestives du résultat) • Le vocabulaire intervient naturellement. • C ’est sans doute plus pertinent que  " Souligner en vert deux droites parallèles, en rouge deux perpendiculaires  » ou que la mise en œuvre souvent trop prématurée des théorèmes mettant en jeu 2 perpendiculaires à une même troisième ou à la parallèle à une perpendiculaire à une droite (on pourrait d ’ailleurs les faire fonctionner sur la même configuration!)

expliquer Si je me fie à mon impression immédiate, ces deux figures sont bien les mêmes : elles ont même forme et même taille, même hauteur et même base, et pourtant leur surface n'est pas la même !

Enseigner les mathématiques Des références institutionnelles claires … mais peu connues … au fait, que disent-elles ?

maxime n°2 : mieux vaut les connaître Des références institutionnelles claires Cycle 3 6° maxime n°2 : mieux vaut les connaître

- résoudre des problèmes - aptitude à abstraire, à raisonner ou encore à travailler de façon autonome, à s’organiser, à exprimer un résultat ou une démarche - les maths : des outils pour agir - les maths : un moyen d’expression - un examen critique indispensable - débattre du « vrai » et du « faux » - démarche de mise en perspective historique - véritables situations de recherche - communiquer aux autres - constitution d’une communauté mathématique - mettre en œuvre des pratiques d’argumentation

Au collège, on constate qu’une proportion importante d’élèves s’intéressent à la pratique des mathématiques et y trouvent du plaisir. Il est en effet possible de se livrer, à partir d’un nombre limité de connaissances, à une activité mathématique véritable, avec son lot de questions ouvertes, de recherches pleines de surprises, de conclusions dont on parvient à se convaincre. Une telle activité est ainsi accessible au plus grand nombre et a une valeur formatrice évidente.

Au collège, les mathématiques contribuent, avec d’autres disciplines, à entraîner les élèves à la pratique d’une démarche scientifique. L’objectif est de développer conjointement et progressivement les capacités d’expérimentation et de raisonnement, d’imagination et d’analyse critique. Elles contribuent ainsi à la formation du futur citoyen. À travers la résolution de problèmes, la modélisation de quelques situations et l’apprentissage progressif de la démonstration, les élèves peuvent prendre conscience petit à petit de ce qu’est une véritable activité mathématique : identifier un problème, conjecturer un résultat, expérimenter sur des exemples, bâtir une argumentation, mettre en forme une solution, contrôler les résultats obtenus et évaluer leur pertinence en fonction du problème étudié.

Les méthodes mathématiques s’appliquent à la résolution de problèmes courants. Elles ont cependant leur autonomie propre qui leur permet d’intervenir dans des domaines aussi divers que les sciences physiques, les sciences de la vie et de la terre, la technologie, la géographie... L’enseignement tend à développer la prise de conscience de cette autonomie par les élèves et à montrer que l’éventail des utilisations est très largement ouvert. Au collège, on vise la maîtrise des techniques mathématiques élémentaires de traitement (organisation de données, représentations, mises en équation) et de résolution (calculs et équations bien sûr, mais aussi constructions).

synthèse des nouveaux programmes du collège

Consensus assez large : sur les objectifs : - Développer les capacités de raisonnement : observer, analyser, déduire - Stimuler l’imagination Habituer l’élève à s’exprimer clairement (oral et écrit)...

Consensus assez large : et sur les méthodes : place essentielle faite à la résolution de problème et à l’activité de l’élève, prise en compte des acquis antérieurs, construction de situations d'apprentissages dans lesquelles les savoirs sont clairement identifiés

Organisation, gestion de données/fonctions organisation et gestion de données nombres et calcul numérique Nombres et calcul calcul littéral figures planes Géométrie configurations dans l'espace transformations Grandeurs et mesure

FONCTIONS Proportionnalité : passage par l’image de l’unité, utilisation d’un rapport de linéarité, du coefficient de proportionnalité Reconnaissance de situations relevant ou non de la proportionnalité. Application d’un taux de pourcentage. Proportionnalité : compléter un tableau de nombres, déterminer une quatrième proportionnelle Comparaison de proportions, calcul et utilisation d’un pourcentage, échelle, mouvement uniforme. Utilisation de la proportionnalité : déterminer une quatrième proportionnelle (« égalité des produits en croix »), calculs faisant intervenir des pourcentages. Proportionnalité : représentations graphiques. Notion de fonction. Fonction linéaire (détermination, représentation). Fonction affine (détermination, représentation). 6° 5° 4° 3°

NOMBRES ET CALCUL NUMERIQUE Nombres entiers et décimaux : désignations, ordre, valeur approchée décimale, opérations +, - , x , ordre de grandeur. Division, quotient - Division euclidienne Écriture fractionnaire. Division décimale. Calculs sur les nombres entiers et décimaux positifs : enchaînement d’opérations, distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, division par un décimal, multiples et diviseurs, divisibilité. Nombres positifs en écriture fractionnaire : sens, comparaison, addition et soustraction (dénominateurs égaux ou multiples), multiplication Nombres relatifs entiers et décimaux Opérations {+,-, x, :} sur les nombres relatifs en écriture décimale ou fractionnaire (non nécessairement simplifiée). Puissances d’exposant entier relatif. Notation scientifique. Nombres entiers et rationnels : diviseurs communs à deux entiers, fractions irréductibles. Calculs élémentaires sur les radicaux : racine carrée d’un nombre positif, produit et quotient de deux radicaux. 6° 5° 4° 3°

FIGURES PLANES Propriétés des quadrilatères et des triangles usuels. Reproduction, construction de figures usuelles, de figures complexes. Médiatrice d’un segment. Bissectrice d’un angle. Cercle. Vocabulaire et notations. Parallélogramme (propriétés caractéristiques) Caractérisation angulaire du parallélisme. Triangle : somme des angles, construction et inégalité triangulaire, cercle circonscrit, médianes et hauteurs. Triangles : milieux et parallèles. Triangles déterminés par deux parallèles coupant deux sécantes. Triangle rectangle : théorème de Pythagore et sa réciproque, cosinus d’un angle aigu, cercle circonscrit. Distance d’un point à une droite. Tangente à un cercle. Bissectrices et cercle inscrit. Triangle rectangle : relations trigonométriques. Théorème de Thalès et sa réciproque. Angle inscrit, angle au centre. Polygones réguliers. 6° 5° 4° 3°

De l’école au collège : une transition difficile ? géométrie De l’école au collège : une transition difficile ? Deux modes de construction des connaissances qui peuvent s’opposer : 1. Un mode de type empirique basé sur l’intuition et l’expérimentation  géométrie science expérimentale 2. Un mode de type théorique s’appuyant sur la déduction et qui trouve son aboutissement dans la démonstration  géométrie platonicienne

géométrie Dans le mode de type empirique, l’expérience est constitutive d’une géométrie « naturelle » l’objet sensible (matériel) et l’objet mathématique sont confondus l’expérience en tant qu’action sur les objets peut constituer un mode de preuve ultime Dans le mode de type théorique, les axiomes et les définitions idéalisent l’espace réel on parle de figure et de raisonnement l’expérimentation n’est pas admise comme preuve, c’est le raisonnement hypothético-déductif qui prend sa place

géométrie du sensible au théorique : de l'objet à ses propriétés

TRANSFORMATIONS Symétrie orthogonale par rapport à une droite Construire le symétrique de différents objets Symétrie centrale Construire le symétrique de différents objets Agrandissement et réduction Images de figures par une translation Translation et vecteur, égalité vectorielle Images de figures par une rotation. 6° 5° 4° 3°

6° 5° 4° 3° GRANDEURS ET MESURES Longueurs, masses, durées : comparaison, calcul, changements d'unités Angles : comparaison, rapporteur Aires : mesure, comparaison et calcul d’aires (figures élémentaires) Volume du parallélépipède rectangle : approche et calculs simples Liaisons unités de volume et de contenance, changements d'unités Longueurs, masses, durées : calculs Angles (mesure) Aires : parallélogramme, triangle, disque, changements d'unités Volumes : prisme, cylindre de révolution Calculs d’aires et volumes (pyramide et cône) Grandeurs quotients courantes, vitesse moyenne Aire de la sphère, volume de la boule Effet d’une réduction, d’un agrandissement sur des aires, des volumes Grandeurs composées (changement d’unités) 6° 5° 4° 3°

quelques web ressources maths en poche : http://mathenpoche.sesamath.net Grand N : http://www.crdp.ac-grenoble.fr un enseignant plein de ressources : http://pageperso.aol.fr/Tonneville AIS 74 : http://www.ais.edres74.ac-grenoble.fr e-formation IUFM : http://pedagogie.lyon.iufm.fr/mathdelay thdias@wanadoo.fr