La fonction quadratique. Les formes d’écriture. f(x) = a ( x – h )2 + k f(x) = ax2 + bx + c

f(x) = a ( x – h )2 + k f(x) = ax2 + bx + c Une fonction quadratique peut s’écrire sous des formes différentes. Chaque forme a son utilité. Il est donc important de savoir transformer l’équation: f(x) = a ( x – h )2 + k soit en forme canonique: f(x) = ax2 + bx + c soit en forme générale:

De la forme canonique vers la forme générale. Il suffit de développer l’équation. Exemple: f(x) = 3 ( x + 2 )2 - 5 f(x) = 3 ( x + 2 ) ( x + 2 ) - 5 f(x) = 3 ( x2 + 4x + 4 ) - 5 f(x) = 3x2 + 12x + 12 - 5 f(x) = 3x2 + 12x + 7 Attention aux priorités d’opérations !

De la forme générale vers la forme canonique. h = - b 2a k = 4ac – b2 4a Il faut utiliser les formules suivantes: Démonstration : Développons la forme canonique en utilisant les paramètres. f(x) = a ( x – h ) 2 + k f(x) = a ( x – h ) ( x – h ) + k f(x) = a ( x2 – 2hx + h2 ) + k f(x) = ax2 – 2ahx + ah2 + k

a Comparons la forme canonique développée avec la forme générale. f(x) = ax2 – 2ahx + ah2 + k f(x) = ax2 + bx + c en comparant les deux formes, on constate que: on retrouve le même terme en ax2; a donc le paramètre est le même dans les deux formes. le terme - 2ahx correspond au terme + bx donc - 2ahx = bx Le terme + ah2 + k correspond au terme + c donc ah2 + k = c

Dans l’équation - 2ahx = bx , isolons h: - 2ah = b - 2ah = b - 2a h = - b 2a

Dans l’équation ah2 + k = c , isolons k: k = c – ah2 k = c – a - b 2a 2 remplaçons h par - b 2a k = c - b2 4a k = c – a b2 4a2 k = 4ac 4a - b2 k = c – ab2 4a2 k = 4ac – b2 4a

Attention aux signes ! Exemple: f(x) = ax2 + bx + c f(x) = 2x2 + 4x + 5 a = 2 b = 4 c = 5 a = 2 h = - b 2a h = - 4 2 X 2 h = - 4 4 h = - 1 k = 4ac – b2 4a k = 4 X 2 X 5 - 42 4 X 2 k = 40 - 16 8 k = 24 8 k = 3 f(x) = a ( x – h ) 2 + k en utilisant : a = 2 , h = -1 et k = 3 f(x) = 2 ( x - - 1 ) 2 + 3 f(x) = 2 ( x + 1 ) 2 + 3 Attention aux signes !

Remarque : La forme générale f(x) = ax2 + bx + c possède aussi sa forme factorisée. Exemple: f(x) = 2x2 +10x +12 f(x) = 2 ( x2 + 5x + 6 ) f(x) = 2 ( x + 2 ) ( x + 3) En généralisant cette forme: f(x) = a ( x – x1 ) ( x – x2 )