Mise en forme en Mathématiques

1e partie: Les quatre opérations 1) La loi des signes 2) Les fractions 3) Priorité des opérations

Addition et soustraction Les 4 opérations La loi des signes Addition et soustraction Lorsqu’on additionne deux nombres de signes semblables, deux positifs ou deux négatifs, on additionne les nombres et le signe de la réponse est le même que celui des nombres calculés. (-2) + (-5) = -7 2 + 5 = 7 Lorsqu’on additionne deux nombres de signes contraires, on soustrait les nombres et le signe de la réponse est celui du plus grand nombre en valeur absolue. -5 + 7 = 2 5 - 7 = -2

Multiplication et division Les 4 opérations La loi des signes Multiplication et division Lorsqu’on multiplie ou divise deux nombres de signes semblables, deux positifs ou deux négatifs, le signe de la réponse sera toujours positif. (-2) x (-5) = 10 2 x 5 = 10 Lorsqu’on multiplie ou divise deux nombres de signes contraires, le signe de la réponse sera toujours négatif. -5 x 7 = -35 5 x (-7) = -35

Exercices La loi des signes Effectuer les calculs suivants (prenez une feuille et un crayon pour garder en mémoire vos réponses): -3 + 9 = ? -4 - 5 = ? 9 + 4 = ? -7 + 2 = ? 8 + (-2) = ? -3 - (-5) = ? 7 + (-3) = ? 6 x (-6) = ? 7 x 5 = ? (-4) x (-8) = ? 12 x (-7) = ? 72 ÷ (-9) = ? (-54) ÷ (-6) = ? 42 ÷ 3 = ?

La loi des signes -3 + 9 = 6 -4 - 5 = -9 9 + 4 = 13 -7 + 2 = -5 Corrigé La loi des signes -3 + 9 = 6 -4 - 5 = -9 9 + 4 = 13 -7 + 2 = -5 8 + (-2) = 6 -3 - (-5) = 2 7 + (-3) = 4 6 x (-6) = -36 7 x 5 = 35 (-4) x (-8) = 32 12 x (-7) = -84 72 ÷ (-9) = -8 (-54) ÷ (-6) = 9 42 ÷ 3 = 14

   Les fractions Méthode des facteurs premiers 1/15 +1/10 + 1/12 15 Les 4 opérations Méthode pour trouvez le dénominateur commun Méthode des facteurs premiers 1/15 +1/10 + 1/12 15 10 12 15 12 10 15 12 15  10 15 12   15 3 10 2 12 2 5 5 5 5 6 2 1 1 3 3 1 Construction du dénominateur commun (on prend chaque chiffre de la colonne de droite de chaque tableau sans le répéter lorsqu’il est dans deux tableaux différents.) 3 x 5 x 2 x 2 = 60

Addition et soustraction de fraction Les 4 opérations Les fractions Addition et soustraction de fraction Pour additionner ou soustraire les fractions, elles doivent avoir le même dénominateur (dénominateur commun) et on applique l’opération sur les numérateurs seulement. 3 + 6 = 15 + 24 = 39 ou 1 19 4 5 20 20 20 20

Exercices Les fractions Effectuer les calculs suivants (prenez une feuille et un crayon): -3/4 + 9/4 = ? -4/5 - 5/3 = ? 9/11 + 4/3 = ? -7/8 + 2/3 = ?

Les fractions Corrigé -3/4 + 9/4 = 6/4 = 3/2 -4/5 - 5/3 = -37/15 ou -2 7/15 9/11 + 4/3 = 71/33 ou 2 5/33 -7/8 + 2/3 = -5/24

Les fractions Multiplication Les 4 opérations Les fractions Multiplication Pour multiplier les fractions, il suffit de multiplier les numérateurs ensemble, et les dénominateurs ensemble. Et on simplifie la fraction résultante. Si les fractions sont nombreuses et/ou avec des grands nombres, nous pouvons simplifier avant de multiplier. 3 x 7 = 21 4 5 20 3/4 x 7/5 = 1 1 3 8 x 27 x 5= 9 32 3 1 4 1 1 8 x 27 x 5= 9 32 3 4 1 3 8 x 27 x 5= 9 32 3 1 4 8 x 27 x 5= 9 32 3 1 x 1 x 5 = 5 1 4 1 4

7 3 x Les fractions Division Les 4 opérations Les fractions Division Pour diviser les fractions, il suffit d ’inverser le diviseur, c ’est-à-dire la deuxième fraction, et de multiplier les fractions. simplifier avant de multiplier. Exemple: x 7 3 4 5 ÷ 3 7 = 28 15 On multiplie On inverse

Exercices Les fractions Effectuer les opérations suivantes:(prenez une feuille et un crayon): 5/7 x 14/3 = ? 7/4 x 6/7 = ? 9/7 ÷ 5/3 = ? 5/12 ÷ 10/3 = ?

5/7 x 14/3 = 10/3 ou 3 1/3 7/4 x 6/7 = 3/2 ou 1 1/2 9/7 ÷ 5/3 = 27/35 Corrigé Les fractions 5/7 x 14/3 = 10/3 ou 3 1/3 7/4 x 6/7 = 3/2 ou 1 1/2 9/7 ÷ 5/3 = 27/35 5/12 ÷ 10/3 = 1/8

Priorité des opérations Les 4 opérations Priorité des opérations 1) On effectue les parenthèses en premier lieu. 2) On effectue les multiplications et les divisions en second lieu. Si ces opérations se succèdent, on suit l’ordre d ’apparition de gauche à droite. 3) On finit les calculs avec les additions et les soustractions de gauche à droite.

Priorité des opérations Les 4 opérations Priorité des opérations Il y a plusieurs opérations à l’intérieur de la parenthèse, Il faut donc commencer par les petites parenthèses Parenthèses Exemple: 5 + [(3 +- 5)(5 - 3 x 4) - 4] Dans cette parenthèse, la multiplication est prioritaire sur la soustraction 5 + [ (-2) (5 - 3 x 4) - 4] 5 + [ (-2) (5 - 12) - 4] Entre deux parenthèses l’absence d’opérateur indique la multiplication 5 + [ (-2) (-7) - 4] 5 + [ 14 - 4] 5 + [ 10 ] = 15

Exercices Priorité d’opérations Effectuer les calculs suivants:(prenez une feuille et un crayon): 12 + 15 ÷ (3 - 6) = ? 6 - 3 x 4 ÷ 6 + 10(14 ÷ 7) = ?

Corrigé Priorité d’opérations 12 + 15 ÷ (3 - 6) = 7 6 - 3 x 4 ÷ 6 + 10(14 ÷ 7) = 24

2e partie: Les nombres 1) Ensemble de nombres: N Z Q R 2) Fractions, fractions équivalentes, expression et nombre fractionnaire 3) Nombre décimal % fraction 4) Nombres pairs, impairs, premiers et multiples 5) Divisibilité des nombres

Ensemble de nombres: N, Z, Q , R Les nombres Ensemble de nombres: N, Z, Q , R Z :nombres entiers N : nombres naturels R Z N Q 4 -22 -6 2 2 6 3 5 2 -1,33 1  5 -3,14159 R : nombres réels Q : nombres rationnels (fractions)

Définition La fraction et sa famille Les nombres La fraction et sa famille Définition Sens général: La fraction est la partie d’un tout, une portion. Sens mathématique: Notation d’un nombre rationnel sous la forme a/b, ce nombre étant le résultat d’une division de a (numérateur) par b(dénominateur), a et b étant des nombres entiers.

Les fractions équivalentes Les nombres La fraction et sa famille Les fractions équivalentes Les fractions équivalentes sont deux fractions composées d’entiers différents mais qui représentent la même portion. Elles sont égales. Par exemple: 3/4 12/16

Les fractions équivalentes Les nombres La fraction et sa famille Les fractions équivalentes Pour trouver une fraction équivalente, il s’agit de multiplier ou de diviser le numérateur et le dénominateur par le même facteur. facteur Exemple: 2 x 4 = 8 3 4 12 Fraction équivalente

Exercices Fractions équivalentes Compléter les fractions équivalentes suivantes: 3 = 9 5 = 20 8 = ? 4 ? 7 ? 6 3

Corrigé Fractions équivalentes 3 = 9 5 = 20 8 = 4 4 12 7 28 6 3

Le produit des extrêmes = Le produit des moyens Les nombres La fraction et sa famille Les fractions équivalentes et proportion Lorsque deux fractions sont équivalentes, nous obtenons une proportion. En appliquant la loi des proportions, nous pouvons vérifier si deux fractions sont équivalentes. La loi des proportions Le produit des extrêmes = Le produit des moyens Exemple: 3 = 12 sont deux fractions équivalentes. 4 16 Elles forment donc une proportion. 3 x 16 = 4 x 12 donne 48 = 48

Exercices Proportion Vérifier avec la loi des proportions si les fractions sont équivalentes. A) 2 = 24 B) 9 = 12 3 36 12 15 C) 7 = 5 D) 1 = 3 5 4 11 33

Corrigé Proportion 1. Oui 2. Non 3. Non 4. Oui

L’expression et le nombre fractionnaire Les nombres La fraction et sa famille L’expression et le nombre fractionnaire Lorsque le numérateur égale le dénominateur, comme dans 4/4, nous obtenons un entier. Si le numérateur dépasse la valeur du dénominateur, comme dans 5/4, nous avons plus qu’un entier. Nous appelons cette fraction une expression fractionnaire. Nous pouvons aussi transformer cette expression en nombre fractionnaire pour faire apparaître le nombre d’entier qu’elle contient. Elle devient 1¼. Pour ce faire, il s’agit de diviser le numérateur par le dénominateur.

Exercices Nombre fractionnaire Transformer les expressions en nombres fractionnaires et vice versa. 1. 9/5 = ? 2. 3 4/5 = ? 3. 7/5 = ? 4. -2 2/3= ?

Corrigé Nombre fractionnaire 1. 1 4/5 2. 19/5 3. 1 2/5 4. -8/3

Nombre décimal % fraction Les nombres Nombre décimal % fraction Pour transformer une fraction en décimale, on divise le numérateur par le dénominateur. 3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75 Pour transformer une décimale en fraction, on amène la partie décimale sur un dénominateur puissance de 10 selon le nombre de chiffres composant la décimale, et on simplifie la fraction ainsi obtenue. 0,75 = 75/100 = 3/4 Pour transformer une décimale en pourcentage, on multiplie la décimale par 100. 0,75 x 100 = 75%

Nombre décimal % fraction Les nombres Nombre décimal % fraction Pour transformer un pourcentage en décimale, on divise la valeur par 100. 75% = 75 ÷ 100 = 0,75 Pour transformer un pourcentage en fraction, on met la valeur sur 100. Si une décimale persiste dans la valeur, on multiplie la fraction par une puissance de 10 afin d ’obtenir que des nombres entiers au sein de la fraction. On simplifie par la suite. 37,5% = 37,5/100 x 10/10 = 375/1000 = 3/8 Pour transformer une fraction en pourcentage, on divise le numérateur par le dénominateur et multiplie le quotient par 100. 3/8 = 3 ÷ 8 = 0,375 x 100 = 37,5%

Effectuer les transformations appropriées. Exercices Transformation Effectuer les transformations appropriées. Fraction % Décimale 3/8 33 1/3 % 0,3 1/25 1/2 % 1,45

Transformation Fraction % Décimale 3/8 33 1/3 % 0,3 1/25 1/2 % 1,45 Corrigé Fraction % Décimale 3/8 33 1/3 % 0,3 1/25 1/2 % 1,45 37,5 % 0,375 1/3 0,333... 30 % 3/10 4 % 0,04 1/200 0,005 29/20 145 %

Tous les nombres divisibles par deux. Nombre pair et impair Nombres pairs Tous les nombres divisibles par deux. {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, …} Nombres impairs Tous les nombres qui ne se divisent pas par deux. {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, …}

Nombre premier et multiple Les nombres Nombre premier et multiple Nombre premier Nombre qui ne se divise que par 1 et lui-même, lui-même étant différent de 1. {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …} Les multiples Série de nombres qui se divisent tous par le même nombre. Par exemple: les multiples de 3: {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, …}

14 43 27 25 2 1 9 5 Pair et premier Impair Impair Pair Exercices Pair, Impair et Premier Est-ce un nombre pair, impair ou premier ? 14 43 27 25 2 1 9 5 Pair et premier Impair Impair Pair Impair et premier Impair et premier Impair Pair Impair

Divisibilité des nombres Les nombres Divisibilité des nombres Divisible par 2 Tous les nombres pairs Divisible par 3 Tous les nombres dont la somme des chiffres les composant est divisible par 3. Exemple: 231: 2 + 3 + 1 = 6, 6 est divisible par 3 donc 231 est divisible par 3.

Divisibilité des nombres Les nombres Divisibilité des nombres Divisible par 4 Tous les nombres dont les deux derniers chiffres se divisent par 4. Comme 324, 24 se divise par 4, donc 324 se divise par 4. Divisible par 5 Tous les nombres qui se terminent par le chiffre 0 ou 5.

Divisibilité des nombres Les nombres Divisibilité des nombres Divisible par 6 Tous les nombres qui se divisent à la fois par 2 et par 3. Divisible par 9 Tous les nombres dont la somme des chiffres qui le forment se divise par 9.

Exercices Divisibilité Se divise-t-il par 2, 3, 4, 5, 6 ou 9 ? 1024 156 125 681 330 272 76 15 45 81 Par 2, 3, 4 et 6 Par 5 Par 2, 3, 5et 6 Par 3 Par 2et 4 Par 3 et 9 Par 3 et 5 Par 2 et 4 Par 3, 5 et 9 Par 2 et 4

FIN Mario Dumais CSMM