Rappel... Diagonalisation. Transformations linéaires.

Aujourd’hui Systèmes dynamiques: discrets; continus. (valeurs propres complexes)

12. Systèmes dynamiques L’approche moderne en théorie de la commande utilise la représentation d’états. Cette méthode fait beaucoup appel à l’algèbre linéaire. On y étudie, entre autres, la réponse en régime permanent.

Régime permanent Le régime permanent est analogue au comportement à long terme d’un système xk+1 = Axk que nous avons déjà étudié pour le cas où x0 est un vecteur propre de A. Note: systèmes discrets et continus.

Équations aux différences Systèmes discrets 2  2 Équations aux différences xk+1 = Axk avec x0 = c1v1 + c2v2 où v1 et v2 sont les vecteurs propres de A avec les valeurs propres 1 et 2.

Systèmes discrets 2  2 (suite) x1 = Ax0 = A(c1v1 + c2v2 ) = c11v1 + c2 2v2 x2 = Ax1 = A(c11v1 + c2 2v2) = c1 ( 1)2v1 + c2 ( 2)2v2 En général: xk = c1 ( 1)kv1 + c2 ( 2)kv2

xk = c1 ( 1)kv1 +c2 ( 2)kv2 +… + cn ( n)kvn Systèmes discrets n  n On peut généraliser le cas 2  2. x0 = c1v1 + c2v2 +… + cnvn xk = c1 ( 1)kv1 +c2 ( 2)kv2 +… + cn ( n)kvn Note: on suppose que Span{v1, …, vn} = Rn, i.e. v1, …, vn sont linéairement indépendants.

Description graphique des solutions Systèmes 2  2. xk+1 = Axk On cherche à savoir ce qui arrive lorsque k  .

Changement de variables Jusqu’ici on a traité du cas (facile) d’une matrice diagonale. Qu’arrive-t-il si A n’est pas une matrice diagonale?

Changement de variables (suite) Soit xk+1 = Axk On définit une autre séquence: yk = P-1xk, i.e. xk = Pyk. où A = PDP-1 (diagonalisation de A). Donc, Pyk+1 = APyk = (PDP-1)Pyk = PDyk.  P-1  yk+1 = Dyk

Valeurs propres complexes A n’est pas diagonalisable dans Rn. On peut quand même illustrer le comportement du système.

Systèmes continus …. Équations différentielles. Soit le système d’équations suivant: x1’ = a11x1 + … + a1nxn x2’ = a21x1 + … + a2nxn …. xn’ = an1x1 + … + annxn x’ = Ax

Systèmes continus - solutions Une solution de ce système est une fonction satisfaisant x’ = Ax pour t  0, par exemple. x’ = Ax est une équation linéaire, car la dérivée et les opérations matricielles sont linéaires.

Linéarité Donc, si u et v sont des solutions de x’ = Ax, alors cu + dv est aussi une solution: (cu + dv)’ = cu’ + dv’ = cAu + dAv = A(cu + dv) Superposition des solutions. 0 est aussi une solution.

Linéarité (suite) On peut dire que l’ensemble des solutions est un sous-espace de l’ensemble de toutes les fonctions continues dans Rn. On peut trouver un ensemble de solutions fondamentales. Si A est n  n, on a n fonctions linéairement indépendantes dans cet ensemble base.

Conditions initiales Si on spécifie x0 (conditions initiales), alors le problème se ramène à calculer la fonction unique: x’ = Ax et x(0) = x0

Prochain cours... Orthogonalité. Produit scalaire, module; Ensembles orthogonaux.