Présentation de la méthode des Eléments Finis Université Kasdi Merbah, Ouargla Faculté des sciences, de technologie et des sciences de la matière Département de Génie Mécanique Présentation de la méthode des Eléments Finis Dr. BELAKROUM RASSIM

1. Introduction En analyse numérique, la méthode des éléments finis est utilisée pour résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles. Celles-ci peuvent par exemple représenter le comportement dynamique de certains systèmes physiques (mécaniques, thermodynamiques, acoustiques, etc.).

2. Concepts de base de la méthode des éléments finis Un élément fini à trois nœuds Un domaine 2D Représentation d’une partie du maillage Figure1. Concepts de base de la méthode des éléments finis

est le champ de variable qu’on doit calculer à chaque point P(x,y) du domaine de façon à ce qu’une équation gouvernant le problème soit satisfaite de façon exacte. En pratique, les équations différentielles ainsi que la géométrie du domaine de calcul peuvent être complexes et dire même impossibles à résoudre de façon exacte par les moyens mathématiques actuels. En conséquence, les méthodes d’approximation des solutions se basant sur des techniques numériques sont souvent utilisées en engineering. La méthode des éléments finis est une approche très robuste pour obtenir des solutions approximatives avec un degré de précision acceptable.

Figure 2. Modélisation en éléments finis

Figure 3. Model en éléments finis d’une paroi mince cylindrique

3. La méthode des résidus pondérés Cas 1D La méthode des résidus pondérés est une technique d’approximation de la solution de problèmes aux frontières utilisant des fonctions test satisfaisant les conditions aux limites imposées et une formulation intégrale pour minimiser l’erreur dans un sens moyen sur le domaine de définition du problème. Nous allons décrire en premier lieu le concept de base pour le cas unidimensionnel (1D). Pour une équation différentielle de forme générale:

Et comme conditions aux limites: La méthode des résidus pondérés recherche une approximation de la solution de forme: Fonctions tests Paramètres inconnus Approximation de la solution

« n » équations algébriques Après substitution de la solution proposée dans l’équation différentielle, parait une erreur résiduelle. Résidu Notons que le résidu R(x) et aussi fonction des paramètre inconnus Ci de telle sorte que: « n » équations algébriques : Représente « n » fonctions poids arbitraires.

Plusieurs variantes de la méthode des résidus pondérés existent et les techniques varient principalement dans la manière dont les fonctions poids -ou de pondération- sont déterminées ou sélectionnées. Les techniques les plus courantes sont: colocation par point, colocation par sous-domaine, moindres carrés, et de Galerkin. Dans la méthode de Galerkin, les fonctions de pondération sont choisis pour être identique aux fonctions d'essai –ou test-.

Par conséquent, les paramètres inconnus sont déterminés par: Nous obtenons « n » équations algébriques pour l'évaluation des paramètres inconnus.

Exemple 1: Utilisez la méthode de Galerkin pour obtenir une solution approchée de l'équation différentielle suivante: Avec les conditions aux limites: Solution: En utilisant une seule fonction d’essai, la forme la plus simple satisfaisant les conditions aux limites est:

On peut écrire donc que: Ce qui conduit après intégration à: Pour ce problème relativement simple, on pourrait obtenir la solution exacte suivante: Figure 4. Comparaison des deux solutions exacte et approchée

On utilisant les deux fonctions d’essai suivantes: On trouve comme solution approchée: Figure 5. Comparaison des solutions exacte, approchée à une fonction d’essai et à deux fonctions d’essai

Cas 2D La forme générale d’une équation différentielle en 2D peut s’écrire sous la forme: Où -f - c’est un opérateur différentiel Par exemple: La solution approchée est celle satisfaisant l’intégrale suivante: : Fonctions de pondération

Afin assurer une bonne approximation, le domaine du problème est divisé en sous-domaines plus petits dit aussi éléments. Figure 6. Division du domaine du problème étudié en éléments.

Fonctions de forme ou d’approximation Dans chaque élément la solution est supposée: Fonctions de forme ou d’approximation En utilisant la méthode de Galerkin, le résidu est calculé à chaque élément par: Finalement pour résoudre le problème, on force le résidu ainsi calculé à s’annuler. =0

4.La méthode de Galerkin au niveau des éléments le concept de minimisation de l'erreur résiduelle (résidus pondérés) est facilement adapté au contexte des éléments finis en utilisant l'approche de Galerkin. A des fins d'illustration, nous considérons l'équation différentielle suivante: Comme condition aux limites nous avons:

Figure 6. domaine discrétisé en M éléments Le domaine du problème est divisé en M "éléments" (figure 6) délimité par M + 1 valeurs xi de la variable indépendante. de sorte que x1 = XA et XM +1= XB afin d'assurer l'inclusion des limites globales. Figure 6. domaine discrétisé en M éléments

Une solution approximative est supposé de forme: où yi est la valeur de la fonction solution à x = xi et ni (x) est une fonction d'essai correspondante. Notez que, dans cette approche, les paramètres inconnus constante CI de la méthode des résidus pondérés deviennent inconnus des valeurs discrètes de la fonction solution évaluée à des points spécifiques du domaine. Il existe également une différence majeure dans les fonctions d'essai (ou test). Tel qu'utilisé dans les exemples précédant, les fonctions d'essai Ni (x) sont non nuls que sur une petite portion du domaine du problème. Plus précisément, une fonction d'essai ni (x) est non nul seulement dans l'intervalle xi-1 <x <xi +1

par souci d'illustration, nous utilisons des fonctions linéaires définies comme suit: Figure 7. les quartes premières fonctions de test.

Dans l'intervalle x2 ≤ x ≤ x3, par exemple, la solution approchée est donnée par: En remplaçant de la solution supposée dans l'équation différentielle, on trouve: En utilisant la méthode de Galerkin:

Système d’équations algébrique L’équation précédente peut être exprimé comme: Système d’équations algébrique Matrice de rigidité Vecteur des chargements Vecteur des déplacements nodales

4.1. Formulation au niveau élémentaire Nous proposons une solution approximative de la forme: Où l’exposant (e) indique que la solution est pour l'élément. La méthode de Galerkin donne:

Après intégration par partie, on trouve:

L’intégration par partie présente trois avantages: Le plus grand ordre des dérivés paraissant dans les équations de l'élément a été réduit de un. Si nous n'avions pas effectué une intégration par partie, dans chaque équation l'unes des fonctions d'essai serait dérivées deux fois alors que d’autres ne le seront pas du tout. l’intégration par parties introduit les conditions aux limites de gradient au niveau des nœuds de l’élément. La signification physique des conditions aux limites de gradient devient apparente dans les applications physiques ultérieures.

Posons j = 1 pour simplifier la notation: Qui est de la forme:

Il est important d'observer que, durant le processus d'assemblage, lorsque deux éléments sont liés à un nœud commun comme dans la figure 8, par exemple, l'équation du système assemblé pour ce nœud contient un terme sur le côté droit de la forme: Figure 8. Deux éléments raccordés au même nœud

Si la solution d’éléments finis donnait une solution exacte, les dérivées premières de chaque élément indiqué dans l'expression serait égales et la valeur de l'expression serait nulle. Toutefois, les solutions par éléments finis sont rarement exactes de sorte que ces termes ne sont pas, en général, zéro. Néanmoins, dans la procédure d'assemblage, il est supposé que, à tous les nœuds intérieurs, les termes de gradient sont égaux et opposés à partir des éléments adjacents et ainsi annuler à moins qu'une influence extérieure agit au niveau du nœud. Toutefois, aux nœuds des frontaliers globales, les termes de gradient peuvent spécifier les conditions aux limites ou représenter les réactions obtenus à la phase de résolution.

Exemple 2: Utiliser la méthode de Galerkin afin de résoudre l’équation différentielle suivante: Sachant que: Solution: Mathématiquement l’équation diff peut se mettre sous la forme: Solution exacte

En éléments finis, on peut écrire: Valeurs nodales L’équation des résidus pondérés s’écrit: Après intégration du premier terme:

L’intégration des termes sur la gauche de l’équation précédente révèle la matrice de rigidité élémentaire. Pour illustration, une solution à deux éléments est formulée en prenant des nœuds régulièrement espacés à x = 1; 1,5 ; 2. Elément 1

Les équations de chaque élément sont alors

Le système assemblé s’écrit: En appliquant les conditions aux limites

De nouveau pour le même exemple utilisant un maillage de 5 nœuds également espacées: Le système d’équation résultant est:

Figure 9. Solution avec deux éléments, solution avec quatre éléments et la solution exacte.

Transferts thermiques 4.2. Applications Transferts thermiques

Conduction unidimensionnelle Figure 10. Cas de conduction 1D

Le principe de conservation d’énergie est appliqué pour obtenir l’équation gouvernant le phénomène de conduction.

Pour le cas d’une conduction stationnaire, on trouve: La méthode de Galerkin est appliquée à cette dernière équation. Un élément à deux nœuds avec une interpolation linéaire est utilisé. Par conséquent la distribution de la température dans l’élément est exprimée par: T1 et T2 sont les températures aux nœuds N1 et N2 sont les fonctions d’interpolation

En intégrant le premier terme par partie, on trouve: Donc:

On peut mettre les deux dernières équations sous forme matricielle comme suit: [k] est la matrice de conductivité (rigidité) définie par:

Exemple 3: Une barre de section circulaire (Figure 11), d’un diamètre de 60mm, d’une longueur de 1m et parfaitement isolée sur sa circonférence. La moitié gauche est en Aluminium (kx=200W/m c°) et la moitié droite en Cuivre (ky=389W/m c°). Le bout droit du cylindre est maintenu à température constante t=80c°, alors que le bout gauche est sous l’effet d’un flux constant de 4000W/m2. En utilisant quatre éléments à longueur égale, déterminer la distribution de température stationnaire le long de la barre. Figure 11. tige de section circulaire

Pour les éléments en Aluminium 1 et 2, la matrice de conductivité s’écrit: Pour les éléments en cuivre 3 et 4: En appliquant les conditions aux limites T5=80°c et q1=4000w/m2 le système assemblé s’écrit:

En appliquant la température connue au nœud 5, les quatre première équations peuvent s’écrire sous la forme:

La cinquième équation est En remplaçant par T4, on trouve:

Problème de transfert thermique en deux dimensions Modèle mathématique Conduction bidimensionnelle avec convection surfacique Conduction bidimensionnelle avec convections sur faces et les cotés

Si le problème est transitoire, on peut écrire: C’est l'équation qui régit la conduction de la chaleur en deux dimensions avec source (où puits) et convection des deux surfaces du corps.

Discrétisation La distribution de température au niveau de chaque élément est décrite par: Fonctions d’interpolation Par la méthode de Galerkin, on peut écrire:

Les deux premiers termes on peut les mettre comme suit: Pour illustration, on considère un élément de forme rectangulaire comme le montre la figure Figure 12. Illustration de la chaleur aux frontières suivant la direction ox.

Nous allons analyser le terme suivant: Par intégration par partie suivant ox, nous obtenons:

Nous allons examiner le terme suivant: Suivant la direction oy, nous avons:

Ces derniers résultats, basés sur le cas spécifique d'un élément rectangulaire, sont destinés à montrer l’application d'une relation générale connue comme le théorème de Green-Gauss qui s’énonce comme suit: Pour l’élément rectangulaire: et Nous obtenons:

Revenons à l’équation du résidu qui s’écrit dans ce cas: À ce stade, nous allons passer à la notation matricielle.

Cette expression est de forme: Avec

Conditions aux limites Convection Température imposée constate Flux de chaleur imposé constant Figure 13. Les types de conditions aux limites pour une conduction bidimensionnelle avec convection

Sur la partie S1 de la frontière, la température est imposée constante Sur la partie S1 de la frontière, la température est imposée constante. Dans un modèle d’éléments finis, chaque nœud de l’élément situé sur S1 a une température constante et les équations d’équilibre correspondantes deviennent des équations de réaction. La réaction dans ce cas est le flux de chaleur sur S1. Un flux de chaleur constant est imposé sur la portion de la frontière S2 (donc qs2=q*). Par conséquent, pour tous les nœuds sur S2 nous avons:

Finalement sur la portion S3 de la frontière, une convection au bord Finalement sur la portion S3 de la frontière, une convection au bord. Dans cette situation, la condition est exprimée par: Notant que le côté droit de l'équation ci-dessus implique les températures nodales, nous réécrivons l'équation: Pour généralisation, on peut écrire: Où:

Le système d’équation résultant est: Où les éléments de la matrice de conductance (rigidité) sont données par:

Foncions d’interpolation en terme des coordonnées normalisées Exemple 4: Déterminer la matrice de conductance pour un élément de forme rectangulaire à quatre nœuds. L’épaisseur est de 1in, la conductivité du matériau est et le coefficient d’échange convectif est Foncions d’interpolation en terme des coordonnées normalisées r et s Figure 14. Élément rectangulaire Nous avons:

Solution Les dérivées partielles en termes des coordonnées normalisées , sont:

En notation indicielle:

En supposant que kx et ky sont des constantes, nous avons: Les dérivés partielles nécessaires sont :

Noter que a = b, Nous obtenons par exemple: La procédure d'intégration analytique utilisée pour déterminer K11 n'est pas la méthode utilisée par les solveurs basés sur les éléments finis. C’est plutôt une méthode numérique qui est utilisée (principalement la procédure de quadrature de Gauss).

5. Intégration numérique (quadrature de Gauss) Les racines du polynôme de Legendre et les facteurs poids pour la quadrature de Gauss-Legendre

Exemple 5 Utiliser la méthode de quadrature Gauss-Legendre à deux points afin d’évaluer l’intégrale suivante : Solution La formule à deux points donne: Nous avons

On trouve donc: La solution exacte est comme suit: Exemple 6 Utiliser la méthode de quadrature Gauss-Legendre à cinq points afin d’approximer « ln 2 »:

Solution Transformant la variable Donc

La méthode de quadrature de Gauss donne: Les calculs sont résumés ci-dessous:

Exemple 7 Nous allons reprendre l’exemple 4 en évaluant les intégrales par la méthode de quadrature de Gauss.

6. Principe des coordonnées intrinsèques 6.1. cas d’élément quadrilatère Figure 15. Système de coordonnées locales pour un élément quadrilatère.

Élément isoparamétrique Pour un élément quadrilatère avec des nœuds aux quatre coins, les fonctions d’interpolation sont: La transformation de coordonnées est réalisée comme suit : Élément isoparamétrique

Les dérivés sont facilement convertis d'un système de coordonnées à l'autre par: où [J] est la matrice Jacobienne.

L'intégration numérique pour les quadrilatères Le déterminant de cette matrice, det |J| connu comme "Le Jacobien", doit aussi être évalué, car il est utilisé dans les intégrales transformées comme suit: L'intégration numérique pour les quadrilatères Les règles de quadrature en deux dimensions sont toutes de la forme:

6.1. Cas d’élément triangulaire Figure 16. (a) Elément triangulaire générale (b) Coordonnées intrinsèques pour élément triangulaire.

Les fonctions de forme pour un élément triangulaire à trois nœuds prennent la forme: et comme avant? la propriété isoparamétriques donne:

La règle pour évaluer les intégrales en coordonnées globales est: L'intégration numérique pour les quadrilatères L’intégration numérique sur un domaine triangulaire est:

7. Assemblage de plusieurs éléments Au niveau élémentaire on suppose qu’on a le système qui suivant: Le système d’équation globale peut être écrite comme

Figure 17. Maillage en éléments quadrilatères

La matrice globale assemblée pour le maillage de la figure 8.

8. Introduction des conditions aux limites Le type le plus simple des conditions aux limites se produit lorsque la variable dépendante s’annule à divers points du domaine de calcul et donc à certains nœuds du maillage. Lorsque cela se produit, les composantes de l’équation associée à ces degrés de libertés ne sont pas nécessaires pour la solution et l'information est donnée à la routine d'assemblage qui va empêcher ces composantes d'être pris en considération dans le système global. Une variante de ce premier cas se produit lorsque la variable dépendante est connue, mais non nulle, à divers endroits (par exemple φ = constante).

Même si une procédure d'élimination peut être imaginé, la façon dont cette condition est assurée dans la pratique, est en ajoutant un grand nombre « disons 1020 » à la diagonale principale de la matrice de rigidité dans la ligne à laquelle la valeur est connue. Le terme à la même ligne du vecteur de coté droit (vecteur de chargement) est ensuite fixé à la valeur prescrite multiplié par le coefficient augmenté. Par exemple la variable dépendante est connue et égale Il est clair que cette procédure n’est réussie que si effectivement «petits termes» sont faibles par rapport à 1020.

Les conditions aux limites peuvent également impliquer des gradients de l'inconnu suivant les formes: où n est la normale à la frontière et C1, C2 sont des constantes. Pour être plus spécifique, considérons le cas de l’équation de transport diffusion – convection sous l’effet de ces trois dernières conditions aux limites.

Cosinus directeur à la frontière Après intégration par partie des termes de transport diffusif, on aura les termes de forme: Cosinus directeur à la frontière La diffusivité thermique Il est claire que le cas , ne présente aucune difficulté car l'intégrale de contour s'annule et c'est la condition à la limite par défaut obtenue à n'importe quel surface libre d'un maillage d'éléments finis.

Figure 18. Les conditions aux limites impliquant des gradients non-nulles de l'inconnu

La condition donne lieu à une intégrale supplémentaire qui est: Où est développée comme [N] {φ} nous obtenons une matrice supplémentaire: qui doit être ajouté à partie gauche des équations.

Pour la condition le terme additionnel est: Qui doit être ajouté à la partie droite de l’équation.

9. Méthode de résolution des systèmes d’équations linéaires Matrice [K] symétrique et définie positive Matrice [K] non symétrique Matrice [K] symétrique et non définie positive 92

10. Algorithme de calcul en éléments finis Pour tous les éléments Lire les coordonnées nodales de l’élément Affecter la valeur zéro à la matrice de rigidité Pour tous les points d’intégration Exemple d’organigramme pour l'assemblage de la matrice de rigidité élément en utilisant l'intégration numérique Trouver les points d’intégration de Gauss, ainsi que les coefficients de pondération correspondants. Former les fonctions de forme et leurs dérivées par rapport au système de coordonnées locales Transformer les dérivées au système global Former le produit Pondérer cette contribution et ajouter là à la matrice de rigidité élémentaire

Merci pour votre attention