Examen partiel #1 Mercredi le 4 octobre de 13h30 à 15h20 Salle 2850 du pavillon Vachon. Matière de l'examen: - Livre de Lay: sections 1.1 à 1.9, 2.1 à 2.5. - Notes de cours (guide d'études): sections 1 à 5. - Devoirs: 1 à 3.
Rappel... Opérations élémentaires sur les matrices: A+B, rA, AB, AT, Ak Inverse d’une matrice: A-1 Caractérisation des matrices inversibles
Aujourd’hui Matrices bloc. Décomposition des matrices: décomposition LU application: réseau de résistances
5a -Matrices bloc Jusqu’à maintenant, nous avons considéré une matrice comme étant un ensemble de vecteurs colonne. Nous allons examiner une autre façon de diviser une matrice.
Opérations sur les matrices bloc A + B : on additionne bloc par bloc. rA : on multiplie chaque bloc de A par le scalaire r. AB : on utilise la méthode habituelle (« li-col »). Il faut évidemment que la division selon les colonnes de A soit compatible avec la division selon les lignes de B.
Exemple de produit
Expansion de la matrice AB Si A est une matrice m n et B est une matrice n p, alors
Inverse d’une matrice bloc Soit une matrice bloc ayant la forme suivante où A11 est une matrice p p et A22 est une matrice q q. Son inverse est donné par
5b. Décomposition des matrices Décomposition LU Il est parfois utile de pouvoir séparer une matrice en un produit de matrices. Une des décompositions les plus utilisées est la décomposition LU, ou triangularisation. Il y en a d’autres; nous les verrons plus tard.
Décomposition LU LU: « lower-upper ». Une matrice admet une décomposition LU si: A = LU où
Pourquoi LU? Ax = b Facile à résoudre si on connaît L et U. LUx = b En posant Ux = y on obtient 2 systèmes simples car ils sont triangulaires.
Ux = y et Ly = b A x b U L y
Comment faire cette triangularisation? Réduction de A sous forme échelon par des manipulations sur les lignes. Mettre A sous forme échelon U par des opérations de remplacement de lignes (pas d’échange de ligne, sinon « LU permuté »). Choisir L tel que la même séquence d’opérations va produire I.
Application: circuits résistifs en cascade Quadripôles résistifs. Matrice de transfert. Lois d’Ohm et de Kirchhoff.
Synthèse de circuits La matrice de transfert décrit les propriétés d’entrée-sortie du circuit (réseau). Un ingénieur doit d’abord déterminer si un tel circuit est réalisable. Ensuite, il pourra décomposer la matrice, si possible en des composants déjà disponibles.
Applet Java http://www.gel.ulaval.ca/~fortier/MAT19961/Demo/resistance/
Prochain cours... Solution itérative de systèmes linéaires. - Méthode de Jacoby - Méthode de Gauss-Seidel Application à l’infographie.
Devoir 3 Problème Matlab 2.4.9 2.4.15 2.4.23 [M] 2.5.3 2.5.13 2.5.25 2.5.29 [M] Lire les sections 2.6 et 2.8 du livre de Lay. Problème Matlab Refaire le problème Matlab du devoir 2, mais en ajoutant la possibilité de tracer six courbes différentes i.e pour deux valeurs de a et trois valeurs de b.