Physique 3 Vibrations et ondes mécaniques Leçon n°14 : Equation des cordes vibrantes, Solution en ondes stationnaires de l’équation de d’Alembert

Equation du mouvement d’une corde (1) On peut obtenir l’équation du mouvement directement : en considérant une corde de longueur l soumise à une force f(x,t) par unité de longueur. Le déplacement transversal de la corde u(x,t) est supposé petit.

Equation du mouvement d’une corde (2) L’équation des forces dans la direction z donne : où T est la tension,  est la masse par unité de longueur et θ l’angle de déflexion de la corde avec l’axe des x. Pour un élément de corde dx : et

Equation du mouvement d’une corde (3) qui donne : Si la corde est uniforme, et la tension constante, nous obtenons : Si f(x,t)=0, on obtient l’équation d’onde :

Conditions initiales et conditions aux limites (1) L’équation d’onde est du deuxième ordre en x et en t. Nous avons donc besoin de deux conditions initiales et de deux conditions aux limites pour trouver la solution u(x,t). Si la corde a une déflexion u0(x) et une vitesse au temps t=0 connues, les conditions initiales s’écrivent : Si la corde est fixée au point x=0 par exemple, le déplacement est égal à zéro, la condition aux limites limite s’écrit :

Conditions initiales et conditions aux limites (2) Si la corde est connectée à un bouton qui se déplace dans la direction perpendiculaire comme le montre la figure de gauche, l’extrémité ne peut pas avoir de force transversale et la condition aux limites s’écrit :

Conditions initiales et conditions aux limites (3) Si l’extrémité x=0 par exemple est libre et T est constante cette équation devient : Si l’extrémité x=l est fixée à un ressort comme le montre la figure, la condition aux limites s’écrit : où k est la constante de raideur du ressort.

Vibrations libres d’une corde uniforme l’équation d’onde peut être résolue par la méthode de séparation des variables. On écrit dans ce cas : En substituant dans l’équation d’ondes, on obtient : Puisque le membre de gauche dépend de x seulement et le membre de droite de t seulement, leur valeur commune doit être une constante. On écrit

Vibrations libres d’une corde Les fonctions U(x) et T(t) obéissent donc aux équations : Les solutions de ces équations s’écrivent : où  est la fréquence des vibrations et les constantes A, B, C et D peuvent être évaluées à partir des conditions initiales et des conditions aux limites.

Solutions quand les deux extrémités sont fixes (1) Les conditions aux limites sont ce qui veut dire U(0)=0 veut dire que La constante A doit être égale à zéro, ce qui implique : Comme B ne peut pas être égal à zéro pour une solution non triviale, nous obtenons l’équation caractéristique satisfaite pour plusieurs valeurs de  :

Solutions quand les deux extrémités sont fixes (2) La solution un(x,t) correspondant à n peut s’exprimer par : où les Cn et Dn sont des constantes arbitraires. La solution un(x,t) est appelée le nième mode de vibration ou la nième harmonique ou le nième mode normal de la corde. Dans chacun de ces modes, chaque point de la corde vibre avec une amplitude proportionnelle à la valeur de Un à ce point avec la fréquence circulaire La fonction Un(x) est appelée la nième fonction caractéristique ou nième fonction normale.

Solutions quand les deux extrémités sont fixes (3) Figure : trois premiers modes de vibration d’une corde fixe aux extrémités. Le premier mode est appelée mode fondamental et 1 est appelée la fréquence fondamentale. La période fondamentale est Les points où un=0 sont appelés des nœuds de vibration.

Solutions quand les deux extrémités sont fixes (4) La solution générale pour une corde fixée aux deux extrémités est donnée par la superposition de tous les un(x,t) : Cette équation donne toutes les vibrations possibles de la corde. Toute vibration particulière est uniquement déterminée à partir de spécifiques conditions initiales qui donnent des valeurs uniques aux constantes Cn et Dn.

Solutions quand les deux extrémités sont fixes (5) Si les conditions initiales sont spécifiées, nous obtenons dans l’intervalle 0xl qui sont les développements en séries de fourrier des fonctions Les valeurs de Cn et Dn peuvent être trouvées en multipliant les équations précédentes par sin (nx/l) et en intégrant de zéro à l :

Exemple1 : Réponse dynamique d’une corde pincée (1) Énoncé : Une corde de longueur l, fixée aux extrémités, est pincée au milieu, comme le montre la figure, et ensuite relâchée. Déterminer son mouvement. Fig.5 : Déflexion initiale d’une corde pincée

Exemple1 : Réponse dynamique d’une corde pincée (2) Solution : Puisque et donc Dn=0, notre solution s’écrit :

Exemple1 : Réponse dynamique d’une corde pincée (3) En substituant l’équation de u0(x) dans celle de Cn, nous obtenons En utilisant la relation On peut écrire Dans ce cas, aucune harmonique paire n’est excitée.