Elaboré par M. NUTH Sothan Intégrale double Elaboré par M. NUTH Sothan

I- Notion de l’intégrale double 1. Calculer l’aire d’un trapèze curviligne : y f(x i) a b x ∆x i

Notion de l’intégrale double (suite) s’appelle la somme de Riemann de f(x) . 2. Calculer le volume d’un corps limité en haut par une surface continue : z=f(x, y) ( f(x, y) ≥ 0 ) en bas par le domaine fermé borné S du plan XOY .

Notion de l’intégrale double (suite) La somme : représente le volume d’un corps qui s’appelle la somme de Riemann bidimensionnelle étendue à un domaine S de f(x, y) . Soit di le diamètre de ∆Si . Soit d = max di

Notion de l’intégrale double (suite) On obtient : On a : où f(x, y) est intégrable.

Notion de l’intégrale double (suite) Th1: Si S est un domaine borné et fermé à frontière ℾ lisse par morceaux et si f(x, y) est continue sur ce domaine S, l’intégrale double : Comme (6) est la somme bidimensionnelle, on a : ∆Sij = ∆xi ∆yj et ds = dx dy (7)

Notion de l’intégrale double (suite) On obtient : où (xi, yj) ∈ ∆Sij

II- Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires : Soit le domaine d’intégration S représente un trapèze curviligne : a ≤ x ≤ b , y1(x) ≤ y ≤ y2(x) (1) où y1(x) et y2(x) sont continues sur [a, b] . s’appelle le domaine standard par rapport à l’axe OY. Soit f(x, y) continue sur S. Alors, l’intégrale double est

Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite): y x a b M2 M1 A2 A1 B2 B1 y = y2 (x) y = y1 (x) S y2 y1

Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite): 1. Supposons que f(x, y) ≥ 0 dans S. Soit σ(x) l’aire de la section de cylindroïde par le plan M1 M2 M’2 M’1  Ox au point x ∈ [a, b] . Donc ou

Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite): Où continue sur [a, b] . On obtient :

Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite): z y a z=f(x, y) x M1 M2 A2 A1 B2 B1 y = y2 (x) S σ(x) b y = y1 (x) A’2 A’1 B’1 B’2 M’1 M’2

Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite): 2. Soit le domaine d’intégration S représente un trapèze curviligne : c ≤ y ≤ d , x1(y) ≤ x ≤ x2(y) (6) où x1(y) et x2(y) sont continues sur [c, d] . (6) s’appelle le domaine standard par rapport à l’axe OX. Soit f(x, y) continue sur S. Alors, l’intégrale double est

Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite): y x c d M1 M2 A2 A1 B2 B1 x = x2 (y) x = x1 (y) S

Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite): 3. Soit le domaine d’intégration S représente un trapèze curviligne : a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d (8) Soit f(x, y) continue sur S. Alors, l’intégrale double est ou

Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite): y x c d M2 A2 A1 B2 B1 S a b

Intégrale double en coordonnée cartésiennes rectangulaires (suite): Remarque : Si le domaine d’intégration S n’est par standard, on subdivise en S1 , S2 , ... , Sp . Alors, l’intégrale double est

Exemples : Ex.1: Calculer l’intégrale : où S : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1. Ex.2: Calculer l’intégrale : où S : 0 ≤ x ≤ 1 , -2 ≤ y ≤ 3. Ex.3: Calculer l’intégrale : où S est un triangle de sommets O(0, 0), A(2, 0) et B(2, 1). Alors S: 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ x/2.

Exemples Ex.4: Intervertir l’ordre des intégrations dans l’intégrale itérée : Ex.5: Mettre les limites d’intégration dans l’intégrale : où S: x2 + y2 = 1 et x2 + y2 = 4

III- Intégrale double en coordonnée polaires: Soit Passons en coordonnée polaire r=r(φ), On pose : x= r cos φ , y= r sin φ (2) On obtient:

III- Intégrale double en coordonnée polaires (suite): Où le jacobien

III- Intégrale double en coordonnée polaires: On obtient:

Exemples: Ex. : Passer aux coordonnées polaires les domaines suivantes: x2 + y2 = R2 . x2 + y2 ≤ ax . x2 + y2 ≤ by . x2 + y2 = 4x , x2 + y2 = 8x , y= x , y= 2x . x2 + y2 ≤ ax , x2 + y2 ≤ by . (x2 + y2)2 = a2 (x2 - y2) . (x2 + y2)3 ≤ 4a2 x2 y2 . x ≥ 0, y ≥ 0 .

III- Intégrale double en coordonnée polaires (suite): En général: On pose: x= x(u, v), y=y(u, v) Alors:

III- Intégrale double en coordonnée polaires (suite): On obtient:

Exemples: Ex. : Calculer l’intégrale: où S : y = x + 1, y = x – 3, y = −1/3x + 7/3, y = −1/3x + 5. On peut poser : u = y – x , v = y + 1/3x. Dans les coordonnées Ouv , on a : S : u = 1 , u = − 3 , v = 7/3 , v = 5 on obtient : x = − 3/4u + 3/4v , y = 1/4u + 3/4v . et J = − 3/4 .

Exemples: On a :

IV- Intégrale d’Euler-Poisson: Calculer l’intégrale d’Euler-Poisson : Comme l’intégrale définie ne dépende pas de la désignation de la variable, on peut écrire :

IV- Intégrale d’Euler-Poisson (suite): En multipliant (1) et (2), on obtient : où S : 0 ≤ x < + , 0 ≤ y < + . En passant aux coordonnées polaires, on obtient :

IV- Intégrale d’Euler-Poisson (suite): Comme I est positif, on en déduit que : et enfin :

V- Théorème de la moyenne: Soit f(x, y) est continue dans un domaine fermé borné S. Soit : Donc :

V- Théorème de la moyenne (suite): Soit : Quand d → 0 , on obtient : En suite : On note : qui s’appelle la valeur moyenne de f(x, y) dans S.

V- Théorème de la moyenne (suite): D’après (3), on peut écrire : Ex. : Evaluer l’intégrale où S : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1. On a :

V- Théorème de la moyenne (suite): Puisque S=1, on a : 0 ≤ I ≤ ≈ 1,41. Alors : I ≈ (0+1,41)/2 ≈0,71. Et la valeur exacte de cette intégrale : I =[ +ln(1+ )]/3 ≈0,79.

VI- Application géométrique de l’intégrale double: 1. Volume limité en haut par la surface z=f(x, y) et en bas par le domaine S du plan XOY. Soit z=f(x, y) continue sur S où S={a ≤ x ≤ b , y1(x) ≤ y ≤ y1(x) }

VI- Application géométrique de l’intégrale double (suite): 2. Surface de domaine S du plan XOY. Soit f(x, y)=1 où S={a ≤ x ≤ b , y1(x) ≤ y ≤ y1(x) }

VI- Application géométrique de l’intégrale double (suite): 3. L’aire de surface z= f(x, y) . où D est la projection de la surface z = f(x, y) sur le plan Oxy.

Exemple : Ex. 1 :Calculer l’aire de la portion de plan : comprise entre les plans de coordonnées.

Exemple : Ex. 2 :Calculer l’aire de surface d’une sphère de centre O(0, 0, 0) et de rayon R. On a : où D est la projection de la surface z = f(x, y) sur le plan Oxy.

x y y=x (3, 3) Exemples: Ex.3: Calculer l’aire de surface limité par les courbes suivantes :

Exemples: Ex.2: Calculer le volume limité par le plan z=x , le cylindre x2 + y2 = 4 et le plan XOY : x z y

Exemples: Ex.3: Calculer le volume du corps limité par les surfaces z=x2 , z=0 , x=0 , y=0 , x+y=1 . Ex.4: Calculer l’aire de surface limité par les courbes : y=a2 /x , y=2a2 /x ,(a > 0) et les droites : x=1 , x=2 .