Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n°10 : Oscillations libres d’un système non-amortis à deux degrés de liberté (suite)

Le pendule double (1) Constitué de deux tiges rigides, de masse négligeable et de même longueur ℓ, portant à chaque extrémité inférieure une masse m. On désigne par 1 et 2 les angles respectifs que font les tiges avec la verticale descente Ox. Les positions des deux masses sont : Les vitesses sont :

Le pendule double (2) Les énergies cinétiques et potentielles et le Lagrangien s’écrivent : Pour des petits angles 1 et 2 :

Le pendule double (3) En supposant des solutions de la forme où nous cherchons des solutions qui nous donnent la même fréquence  et le même angle de phase .

Le pendule double (4) On obtient Pour que le système d’équations admette des solutions 1 et 2 différentes de zéro, il faut que le déterminant des coefficients de 1 et 2 soit nul qui donne l’équation bicarrée aux pulsations propres :

Le pendule double (5) Les solutions de l’équation bicarrée aux pulsations propres sont : d’où les deux pulsations propres du pendule double : D’après les équations donnant 2 et 1, nous avons : Pour , nous obtenons

Le pendule double (6) Les solutions sont donc : mode 1 : mode 2 : En général, on peut écrire (on prend C1=C2=1) :

Le pendule double (7) Si on prend : On peut écrire : Ce qui donne

Le pendule double (8) On obtient : Pour obtenir le mode (1) seul :

Exemple 1 : Pendule double portant des masses différentes (1) Un pendule double, est libre d’osciller dans le plan vertical oxy. Les tiges sont de masse négligeable et de même longueur. Elles portent les masses 2m et m. On désignera par 1(t) et 2(t) les angles respectifs que font les tiges avec la verticale descendante Ox, à l’instant t. On suppose que ce pendule double n’est soumis qu’à de petites oscillations. (a) Etablir les deux équations du mouvement de second ordre en 1(t) et 2(t). (b) Exprimer en fonction de les pulsations propres ’ et ’’ des petits mouvements de ce pendule double.

Exemple 1 : Pendule double portant des masses différentes (2) Energies cinétiques, potentielle et Lagrangien : pour les petites oscillations :

Exemple 1 : Pendule double portant des masses différentes (3) donne En supposant des solutions de la forme On obtient

Exemple 1 : Pendule double portant des masses différentes (4) Pour le système admettent des solutions 1 et 2 différentes de zéro, il faut que le déterminant des coefficients soit :

Couplage de deux pendules simples (1) Deux pendules identiques O1A1 et O2A2, de masse m et de longueur ℓ, sont couplés par un ressort horizontal de raideur k qui relie les deux masses A1 et A2. A l’équilibre, le ressort horizontal à sa longueur naturelle ℓ0 (ℓ0=O1O2). Les deux pendules sont repérés, à l’instant t, par leurs élongations angulaires 1 et 2, supposées petites, par rapport à leur position verticale d’équilibre. On désigne par g l’accélération de la pesanteur. Les énergies cinétiques et potentielles des deux masses sont :

Couplage de deux pendules simples (2) Le Lagrangien pour les petites oscillations s’écrit : nous donne : que l’on peut écrire

Couplage de deux pendules simples (3) Si on s’intéresse à des solutions de même pulsation , donc du type : on obtient : Ce système admet une solution autre que 1= 2=0 si le déterminant des coefficients de 1 et 2 est , soit Les pulsations propres ’ et ’’ sont donc solutions de l’équation soit :

Couplage de deux pendules simples (4) Autre méthode pour résoudre le système : on soustraie et on additionne les deux équations, le système se découple en deux équations différentielles du second ordre indépendantes pour la somme S(t)=1+2 et pour la différence D(t)= 1- 2 : on fait ainsi apparaître les pulsations propres :

Couplage de deux pendules simples (5) Si on prend des solutions de la forme : on en déduit Si on prend les conditions initiales on obtient et

Couplage de deux pendules simples (6) On en déduit : soit : Si on prend par exemple : m=0,10 kg ; ℓ=0,80 m ; k=9,2 N/m et g = 9,8 m/s on trouve Remarque : il y’a des cas où ’’-’<< ’’+’, auquel cas on observerai des battements.

Oscillateurs couplés dissymétriques (1) Le système composé de deux masses égales et trois ressorts est un oscillateur couplé symétrique. Les équations différentielles du mouvement des deux masses sont : Qui sont de la forme : Les équations différentielles de cette forme sont caractéristiques de systèmes de deux oscillateurs couplés symétriques.

Oscillateurs couplés dissymétriques (2) Le système de la figure a pour énergies cinétique, potentielle : Le Lagrangien pour les petits angles s’écrit : Qui donne les équations différentielles suivantes : Ce système est un oscillateur couplé dissymétriques.

Oscillateurs couplés dissymétriques (3) En général, on peut donner aux oscillateurs couplés dissymétriques la forme : où a1, a2, b1 et b2 sont des coefficients constants caractéristiques de chacun des deux oscillateurs et de leur couplage (avec b1<a1 et b2<a2). On appelle coefficient de couplage K (0<K<1) du système de deux oscillateurs la quantité : Ce coefficient caractérise l’interaction de chaque oscillateur sur l’autre.

Coefficient de couplage (1) Si on immobilise le 2ième oscillateur, on a en général pour le premier oscillateur . Si on immobilise le 1er oscillateur, on peut écrire On peut donc écrire L’équation aux pulsations propres du système : s’écrit ou encore

Coefficient de couplage (2) Ce qui nous ramène aux différents types de couplage (on admettra 1< 2) : Couplage serré (K=1) : Les pulsations propres sont alors : Couplage normal (0<K<1) Les pulsations propres sont avec Couplage lâche (K<<1) : Couplage nul (K=0) : les deux oscillateurs sont alors indépendants.

Eclatement des fréquences et oscillations accordés Dans tous les cas, nous avons ’ 1 et ’’ 2. Dans tous les cas envisagés, on a obtenu ’≤1 et ’’ ≥1. La pulsation propre ’ du système couplé est donc inférieure ou égale à la pulsation 1 de l’oscillateur le plus lent (T1T2) et la pulsation propre ’’ est supérieure à la pulsation 2 de l’oscillateur le plus rapide. Cette hiérarchie entre les pulsations traduit l’éclatement l’éclatement des fréquences par couplage : Lorsque le coefficient de couplage croît de 0 à 1, à partir des solutions de l’équation aux pulsations propres, on voit que la pulsation propre ’ décroît depuis 1 jusqu’à zéro, et la pulsation propre ’’ croît depuis 2 jusqu’à Si les deux oscillateurs ont la même période en oscillations séparées (1=2) on dit qu’ils sont accordés. Nous avons alors : Pour des oscillateurs accordés en couplage lâche, il vient :

Phénomène de battement (1) Ce phénomène est très marqué lorsque les deux oscillateurs sont accordés en couplage lâche (K<<1) et que leurs pulsations propres sont très voisines. Comme dans le cas du couplage de deux pendules simples, si on prend S=x1(t)-x2(t). On prend aussi pour simplifier comme conditions initiales de lancement du système couplé : la solution générale est donnée par : qui permet d’écrire ’=’’=0 et S0=D0=A

Phénomène de battement (2) On obtient : que l’on peut écrire : En introduisant le coefficient de couplage K(K<<)1 : on écrit : Les deux oscillateurs couplés oscillent en quadrature (x1 est maximal lorsque x2 est nul) avec une période T1=2/1 et une amplitude lentement variable qui s’annule périodiquement avec une période TB qui est la période des battements.

Phénomène de battement (3) La période des battements est telle que Ce qui veut dire que la fréquence des battements est égale à la différence des fréquences propres du système couplé :