Conditions aux Frontières Ouvertes 2 1 advection-diffusion 2-D (Martin, 2003) Elise Nourtier-Mazauric, Eric Blayo (LMC, Grenoble)

Décomposition de domaines, couplage de modèles et CFO Cadre : Modélisation de phénomènes multi-échelles et/ou multi-physiques par emboîtement ou couplage de modèles (avec ou sans recouvrement) Objectifs : Robustesse de la méthode de résolution Efficacité numérique (coût, stockage) Implémentation numérique aussi indépendante que possible des modèles numériques utilisés

Décomposition de domaines, couplage de modèles et CFO Quelles conditions imposer sur les frontières ouvertes ?

Illustration du problème des frontières ouvertes Exemple : simulation de Saint-Venant 2-D (Martin, 2003) Propagation d’un dôme d’eau dans un « canal » Un seul domaine

Illustration du problème des frontières ouvertes Exemple : simulation de Saint-Venant 2-D (Martin, 2003) Propagation d’un dôme d’eau dans un « canal » Décomposition en 2 sous-domaines Couplage par un algorithme de Schwarz Conditions à l ’interface : Dirichlet-Dirichlet Solution après 2 itérations

Formalisation du problème Déterminer quelles sont les propriétés à assurer au niveau de l’interface continuité, dérivabilité de telle ou telle quantité, échange de flux… G Wloc Wext

Formalisation du problème En pratique Le modèle « extérieur » n’est pas toujours disponible on-line. On peut n’avoir qu’un seul modèle, « forcé » par des solutions de l’autre. Il peut y avoir un recouvrement entre les deux modèles (cas de modèles « emboîtés »). Dans ce cas, le modèle extérieur n’est pas défini sur Wext, mais sur Wext + Wloc . Le modifier pour « faire un trou » et éviter ce recouvrement serait très coûteux. On peut être limité par les moyens de calcul, et vouloir un couplage « économique ». G Wloc Wext Les applications pratiques ne résolvent (en général) pas le problème exact, mais des formes approchées.

Le problème de frontière ouverte Quelles conditions aux limites pour le modèle local ? G Wloc Wext

Le problème de frontière ouverte Quelles conditions aux limites pour le modèle local ? Une condition aux limites est constituée par des données externes provenant d’une base de données ou d’un modèle externe un opérateur mathématique G Wloc Wext

Le problème de frontière ouverte Quelles conditions aux limites pour le modèle local ? Cahier des charges Evacuer l’information sortante Conserver la partie pertinente, i.e. entrante, de l’information extérieure Comment séparer l’information entrante de l’information sortante ? G Wloc Wext

Séparer l’information sortante et l’information entrante Exemple basique : équation de transport 1-D Une quantité Q qui se déplace à vitesse constante c dans la direction x vérifie (dans le cas 1-D) : La solution exacte est c t = 0 t = d/c d x

Séparer l’information sortante et l’information entrante Exemple basique : équation de transport 1-D Une quantité Q qui se déplace à vitesse constante c dans la direction x vérifie (dans le cas 1-D) : La solution exacte est Dans un domaine limité Information extérieure requise Aucune information extérieure requise c x

Séparer l’information sortante et l’information entrante Exemple basique : équation de transport 2-D même comportement Aucune information extérieure requise Information extérieure requise

Séparer l’information sortante et l’information entrante De telles équations qui décrivent la propagation de quantités à des vitesses constantes sont appelées équations hyperboliques. Les systèmes et les équations hyperboliques sont souvent beaucoup plus complexes que l’ équation de transport. Mais ils peuvent être, au moins localement, transformés en un ensemble d’équations de transport (approchées) appliqué à de nouvelles variables, appelées variables caractéristiques (ou invariants de Riemann). Pour que le problème hyperbolique soit bien posé, les seules conditions aux limites à spécifier correspondent aux variables caractéristiques entrantes. 1 CFO pour chaque variable caractéristique entrante pas de CFO pour les variables caractéristiques sortantes

Système hyperbolique et variables caractéristiques Pour un système hyperbolique de la forme diagonaliser la matrice A conduit à déterminer les variables caractéristiques

Méthode des caractéristiques Exemple : modèle de Saint-Venant 2-D Frontière ouverte Est ou Ouest Linéarisation du système

Méthode des caractéristiques Exemple : modèle de Saint-Venant 2-D hyperbolique linéarisé Diagonalisation de A1 Soit . Aux valeurs propres , , , correspondent les variables caractéristiques , , Si u>0, w1 entrante, v et w3 sortantes Si u<0, w1 et v entrantes, w3 sortante Par combinaison linéaire

Méthode des caractéristiques Exemple : modèle de Saint-Venant 2-D hyperbolique linéarisé Flux d’information aux frontières ouvertes

Méthode des caractéristiques L’ajout de non-linéarités, de paramétrisations sous-mailles, de forçages, ne change pas fondamentalement le comportement. Variables caractéristiques sortantes Leur valeur sur la frontière ouverte doit être obtenue à partir de valeurs internes au domaine (par extrapolation, ou en résolvant les équations de transport correspondantes). Exemple du modèle de Saint-Venant 2-D pour une frontière Est : Transport de w : Extrapolation : Variables caractéristiques entrantes Leur valeur doit être spécifiée sur la frontière ouverte à partir de données externes : B w = B wext (B opérateur) Choix le plus simple : B = Id  w = wext Si on ne dispose pas de données externes fiables, on peut considérer des hypothèses « raisonnables », comme par exemple dw/dn=0 (équivalent à B = d/dn et dwext/dn=0 )

Méthode des caractéristiques Exemple : modèle de Saint-Venant 2-D hyperbolique linéarisé Si u>0, w1 entrante, v et w3 sortantes : B1 w1 = B1 w1ext extrapolation de v et w3 Si u<0, w1 et v entrantes, w3 sortante : B2 w1 = B2 w1ext, B3 v = B3 vext extrapolation de w3 Démarche de la méthode des caractéristiques : Résumé Déterminer de façon analytique les variables caractéristiques du modèle en considérant la partie hyperbolique des équations. Ces variables sont des combinaisons linéaires des variables du modèle d’origine. Extrapoler les variables caractéristiques sortantes sur la frontière ouverte. Utiliser une condition de la forme B w = B wext pour chaque variable caractéristique entrante.

Systèmes non hyperboliques et conditions absorbantes Des améliorations supplémentaires peuvent être obtenues en considérant les équations complètes (plutôt que leur partie hyperbolique seule)  théorie des conditions absorbantes (Engquist and Majda, 1977; Halpern, 1986; Nataf et al., 1995; Lie, 2001)

Conditions absorbantes Principe Solution vraie : Solution tronquée : Erreur : Si on trouve C tel que Ce=0, alors e=0 (condition absorbante)

Conditions absorbantes Exemple 1-D Solution Dans le domaine W = {x<0}, d ’où  avec

Conditions absorbantes Les conditions absorbantes sont également calculables pour des équations plus complexes. Elles ne sont alors souvent pas directement applicables, mais on peut les approximer. Pour des équations hyperboliques, l’approximation d’ordre 0 rejoint l’approche précédente par variables caractéristiques.

Couplage par méthode de Schwarz

Couplage par méthode de Schwarz globale en temps Itération Coût de l’algo de Schwarz = coût des modèles x nb d’itérations  Trouver des conditions d’interface qui assurent une convergence rapide Erreurs Si on trouve C1 et C2 tels que C1 e2n = 0 et C2 e1n = 0, alors l’algorithme converge exactement en deux itérations.  Conditions absorbantes

Conditions absorbantes Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003) Transformée de Fourier en temps et en espace (selon la tangente à la frontière ouverte considérée)  équation complexe en d/dn Recherche des racines l de l’équation caractéristique W- W+ x=0

Conditions absorbantes exactes Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003) Transformées de Fourier des erreurs : solutions exprimées en fonction des l+/- CFO par transformée de Fourier inverse  Conditions absorbantes exactes (ou idéales)

Conditions absorbantes approchées Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003) Problème : les opérateurs pseudo-différentiels L+/- ne sont pas locaux  recherche de conditions locales par approximations 2 approches Approximations par DL de Taylor Optimisation du taux de convergence de l’algorithme de Schwarz avec des conditions approchées

Conditions absorbantes approchées Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003) Approximations par DL de Taylor Ordre 0 Ordre 1

Conditions absorbantes optimisées Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003) Optimisation du taux de convergence r de l’algorithme de Schwarz avec des conditions approchées hypothèse : c’est-à-dire Résoudre le problème d’optimisation Minimiser

Conditions absorbantes optimisées Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003) Optimisation du taux de convergence r de l’algorithme de Schwarz avec des conditions approchées Minimiser revient à à l’ordre 0, trouver p qui minimise à l’ordre 1, trouver p et q qui minimisent

Conditions absorbantes locales Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003) Résultats W2 W1

Conditions absorbantes locales Exemple : simulation de Saint-Venant 2-D (Martin, 2003) Propagation d’un dôme d’eau dans un « canal » 1 seul domaine

Conditions absorbantes locales Exemple : simulation de Saint-Venant 2-D (Martin, 2003) Propagation d’un dôme d’eau dans un « canal » Décomposition en 2 sous-domaines Couplage par un algorithme de Schwarz Conditions absorbantes optimisées à l’interface Solution après 2 itérations

Pour finir... Problèmes de frontières ouvertes pour le couplage Ecrire le problème couplé continu Déterminer les quantités à échanger, les propriétés à conserver… En fonction du type d’équation et des contraintes pratiques, se tourner vers des outils de type méthode de caractéristiques, conditions absorbantes, … Travaux en cours dans le cadre du couplage de modèles océaniques Recherche de conditions aux frontières absorbantes pour équations d’advection-diffusion bi-harmoniques 2-D et 3-D équations de Saint-Venant avec termes dissipatifs (paraboliques) et termes de Coriolis Méthode des caractéristiques pour les équations primitives 3-D (modes verticaux, partie barocline)