Logarithme d’une puissance. De Ridder Manon.
ln aⁿ = n ln a n = 0 n = 1 ln a ¹ = 1 ln a ln aº = 0 ln a ln a = ln a La règle de calcul est évidente dans le cas où : n = 1 ln a ¹ = 1 ln a ln a = ln a Ok n = 0 ln aº = 0 ln a ln 1 = 0 0 = 0 Ok
ln aⁿ = n ln a Alors aⁿ = a. … .a n facteurs Si n est un nombre strictement positif, Alors aⁿ = a. … .a n facteurs Et ln aⁿ = ln a + … + ln a n termes ln aⁿ = n ln a
ln aⁿ = n ln a Alors q = - n est un nombre entier positif, D’où : Si n est un nombre strictement négatif, Alors q = - n est un nombre entier positif, et aⁿ = D’où : = - q ln a = n ln a ln aⁿ = ln 1 – ln aⁿ = n ln a
ln aⁿ = n ln a Alors n peut s’écrire r/s Si n est un nombre rationnel non nul, Alors n peut s’écrire r/s r étant un nombre entier non nul et s un naturel non nul. D’où : aⁿ = ou encore = On a mis à l’exposant s les 2 égalités
ln aⁿ = n ln a ln = r ln a (car r Є Z) = s ln aⁿ (car s Є N) D’où : Égalons les logarithmes des deux membres de la dernière égalité après avoir appliqué les règles de calcul déjà démontrées: ln = r ln a (car r Є Z) et ln = s ln aⁿ (car s Є N) D’où : r ln a = s ln aⁿ et ln aⁿ = r/s ln a = n ln a
ln aⁿ = n ln a ln aⁿ := n ln a (avec n Є R\Q) La formule est démontrée dans les rationnels et acceptée dans les irrationnels. ln aⁿ = n ln a (avec n Є Q) ln aⁿ := n ln a (avec n Є R\Q) égal de définition
ln aⁿ = n ln a J’espère que cela vous a aidé à comprendre la démonstration. De Ridder Manon.