Physique 3 Vibrations et ondes mécaniques Leçon n°15 : Etude énergétique d’une corde, réflexion et transmission, impédance

Etude énergétique d’une corde Densité d’énergie cinétique Un élément de masse dm=dx de vitesse y/t possède l’énergie cinétique : La densité d’énergie cinétique s’écrit :

Densité d’énergie potentielle Pendant le mouvement, la longueur de la corde serait L, supérieure à sa longueur au repos ℓ. Le travail d’un opérateur faisant passer la corde de la situation décrite par y(x,t) s’écrit : où T est le module de la force exercée par l’opérateur.

Densité d’énergie (2) Ce travail s’identifie à la variation d’énergie potentielle de la corde La densité d’énergie potentielle ep s’écrit donc : La densité d’énergie de la corde s’écrit alors :

Densité d’énergie (3) La densité d’énergie de la corde peut être transformée de la manière suivante : Le crochet représentant l’équation de d’Alembert étant nul, il reste : qui est l’équation locale de la conservation d’énergie où S représente le flux d’énergie à travers la corde en un point et un instant donnés.

Densité d’énergie (4) Le terme est la réduction sur l’axe des x de div S. Nous avons vu précédemment que il est donc possible de retrouver l’équation de d’Alembert à partir de la conservation de l’énergie d’une corde fixée aux deux bouts.

Réflexion et transmission sur une discontinuité simple d’une corde Sur une corde très longue composée de deux tronçons, avec les masses linéiques 1 et 2, on suppose que du côté x<0 arrive un ébranlement : Cette onde incidente donnera une onde réfléchie et une onde transmise :

Réflexion et transmission Continuité de la déformation : Continuité de la tension en x=0, c’est à dire de l’angle avec l’axe ox. En utilisant f’ comme la dérivée de f par rapport à on peut écrire :

Réflexion et transmission En simplifiant par f’, on trouve On définit On trouve :

Réflexion et transmission Les limites de r et t sont : Cas →0 : qui est le cas de la réflexion sur une corde très simple (2<< 1), à la limite 2=0, on peut considérer l’extrémité de la première corde comme libre, on a r=1 et t=2, il y’a réflexion totale sans changement de signe. Cas  →  : c’est le cas de la réflexion sur une corde très dense (2>>1), à la limite 2=, on peut considérer l’extrémité de la première corde comme rigidement fixée on a r=-1 et t=0 Il n’y a plus d’onde transmise mais réflexion totale avec changement de signe.

Densité et flux d’énergie sur une discontinuité d’une corde On remarque que, e+=et et e-=ei+er, et que La densité d’énergie est discontinue, elle dépend de la nature de la corde.

Densité et flux d’énergie Le flux d’énergie est une grandeur continue à travers x=0 ce qui traduit la conservation de la puissance. St=Si+Sr Ce qui traduit la conservation de l’énergie : flux incident = flux réfléchi + flux transmis

Réflexion et transmission, conclusion 1=R+T  → 0  R → 1 et T → 0  →   R → 1 et T → 0 dans les deux cas, c’est la réflexion totale  → 0  t → 2, cette onde d’amplitude double ne transporte pratiquement pas d’énergie

Réflexion et transmission sur une discontinuité double (1) en supposant une onde harmonique d’amplitude Aei(x-k1x) arrive du côté x<0, on peut écrire :

Réflexion et transmission sur une discontinuité double (2) Les conditions de continuité donnent quatre équations à quatre inconnues r0, t0, rL et tL (les paramètres k1, k2, k3 et L sont donnés) en x=0 en x=L

Impédance d’une corde (1) Soit F(x,t) la composante sur oy de la force exercée sur une corde et la vitesse de la corde en x La célérité des ondes est L’impédance Z de la corde est constante (le signe - signifie que F et V sont en opposition de phase).

Impédance d’une corde (2) Exemple d’un point matériel S de masse m attaché à deux ressorts identiques de raideur k ; l’impédance de la corde est Cette force entraîne un amortissement du mouvement de m. Relation fondamentale de la dynamique (ou à travers l’équation de Lagrange) : du type L’impédance de la corde agit comme un amortisseur ou une résistance électrique.

Impédance d’une corde (3) A.N. : m=0,5kg ; k=104N.m-1 ; µ=0,1kg.m-1 ; T=10 N à t=0, ys=0=1mm ; et (constante d’amortissement) ; =200 rad/s régime pseudopériodique (peu amorti)  est grand devant donc peu d’énergie est perdue pendant une période T, l’amplitude reste pratiquement constante sur une période T.

Onde plane progressive sinusoïdale (OPPS) et onde stationnaire (OS) à un mode Relation entre une OPPS et une OS à un mode : Prenons une onde stationnaire à un mode et transformons ce produit en somme : L’O.S peut être considérée comme la superposition des 2 OPPS de même pulsation et de même amplitude se propageant un sens inverse. Inversement, prenons une OPPS, en développant le cosinus : Elle peut ainsi être considérée comme la superposition de deux OS en quadrature (spatiale et temporelle).

Exemple : Energie d’une corde (1) Une corde vibrante est dans le mode stationnaire n, c’est-à-dire que : Calculer l’énergie totale En de la corde en fonction de n, An, l et T. Considérons à présent la corde comme un assemblage de petits éléments (de longueur dx) qui effectuent chacun autour de sa position de repos respective sur l’axe Ox un mouvement sinusoïdal d’amplitude Ansin knx. Quelle serait l’énergie mécanique totale E’ de cet ensemble d’oscillateurs? (on rappelle que l’énergie mécanique totale d’une masse m effectuant des oscillations harmoniques d’amplitude  à la pulsation  est m22/2). Comparer l’expression obtenue à En. Commentaire.

Exemple : Énergie d’une corde (2) Énergie de la corde en fonction de n, An, l et T. d’où par la somme, avec il s’agit bien d’une constante (indépendante du temps).

Exemple : Énergie d’une corde (3) L’élément de masse µdx effectuant des oscillations harmoniques d’amplitude Ansin knx à la pulsation n possède l’énergie mécanique totale : Avec l’analogie est tout à fait valable.