à partir de données expérimentales de RMN Master 1 Biochimie Modélisation à partir de données expérimentales de RMN Isabelle MILAZZO UMR CNRS 6014 Equipe de Chimie Organique Biologique et Structurale

Stratégie générale de la détermination de la structure 3D de polypeptides Analyse RMN Attribution des fréquences de résonance Mesure des paramètres structuraux RMN Structure secondaire Contraintes de distances Contraintes angulaires Modélisation Moléculaire Calcul de structures initiales Géométrie des distances Raffinement des structures Dynamique Moléculaire (recuit simulé) Structures finales

Plan du Cours Principes de la modélisation moléculaire Généralités Représentation empirique de l'énergie moléculaire Les méthodes de calculs empiriques Algorithmes de minimisation d'énergie Dynamique moléculaire Détermination de la structure 3D d'une protéine à partir de données de RMN Contraintes RMN utilisées pour les calculs Les méthodes de modélisation moléculaire appliquées aux peptides et protéines Evaluation de la qualité des structures

I. Généralités

Qu'est-ce que la Modélisation Moléculaire ? Modélisation Moléculaire = regroupement de différentes techniques pour construire visualiser manipuler analyser des molécules graphisme calcul

Calculs Les calculs peuvent être effectués : soit sur une station de travail en local (calculs courts) - soit sur un cluster de processeurs ou un CRAY (calculs longs)

Objectifs de la Modélisation Moléculaire Visualisation infographique et dessin de molécules à partir de données structurales et par l'utilisation d'un système informatique Utilisation de champs de forces empiriques pour déterminer les propriétés moléculaires ainsi que les distances intra- et inter-atomiques Corrélation entre des propriétés moléculaires et une structure moléculaire donnée Evaluation de la validité d'une structure moléculaire Obtention d'informations sur les mouvements dynamiques des molécules et sur leurs énergies Utilisation de banques de données pour identifier des systèmes moléculaires avec des points communs Application de la représentation infographique à la reconnaissance de molécules issues de chimie organique, bio-organique et médicale ainsi que des sciences des matériaux

Ce que la Modélisation Moléculaire ne peut pas faire … Simuler une réaction chimique Simuler le mouvement des atomes d'hydrogène avec précision Simuler le comportement d'une molécule à très basse température Ce que l'on ne peut pas faire : simuler une réaction chimique car faitt intervenir les e- qui sont des objets quantiques et sont donc difficilement modélisables simuler le mvt des atomes H avec précision car H est l'atome le plus petit et est donc un objet quantique Simuler le comportement d'une molécuke à très basse t° car …

Environnement (solvant, macromolécule, ...) Principe Général de la Modélisation Moléculaire Environnement (solvant, macromolécule, ...) molécule Etat d'équilibre molécule-environnement = minimum d'énergie E E contient 3 termes : 1- Einterne (molécule) 2- Einteractions (molécule-environnement) 3- Esolvant (environnement)

1. Méthodes quantiques ab initio Méthodes de calcul 1. Méthodes quantiques ab initio Molécules concernées : petites molécules ou fragments moléculaires Nb d'atomes : ~ 10 Objectif : déterminer l'énergie et la distribution électronique -> Energies moléculaires calculées avec l'équation de Schrödinger avec le formalisme des orbitales moléculaires. Principe : - on ne traite que des électrons : les noyaux sont considérés comme fixes (approximation de Born-Oppenheimer) résolution de l'équation de Schrödinger sans approximation

2. Méthodes quantiques semi-empiriques Méthodes de calcul 2. Méthodes quantiques semi-empiriques Molécules concernées : molécules de taille moyenne Nb d'atomes : ~ 100 Objectif : déterminer l'énergie et la distribution électronique Principe : idem méthodes ab initio mais on ne regarde que les électrons de valence résolution de l'équation de Schrödinger avec approximations

Etot = Eparam1 + Eparam2 + Eparam3 + Eparam4 + ... Méthodes de calcul 3. Méthodes empiriques Molécules concernées : molécules de grande taille Type de molécules : Hydrocarbures, Polymères, Protéines, Acides nucléiques, Membranes, Polysaccharides, ... Nb d'atomes : > 100 et < 10 000 Objectif : déterminer les minimas de l'énergie globale d'interaction (réduite à Einterne) Principe : Molécule = billes + ressorts (forces harmoniques) associés à une série de fonctions de potentiel : Etot = Eparam1 + Eparam2 + Eparam3 + Eparam4 + ... La somme de ces fonctions est exprimée sous la forme d'un champ de forces moléculaire ("force field")

II. Représentation empirique de l'énergie moléculaire

Notions de Structure Moléculaire Une structure moléculaire est un enchaînement d'atomes et est caractérisée, d'une part, par la nature de ces atomes, leur ordre et leur mode de liaison, et d'autre part, par sa géométrie interne (longueur de liaison, angles de liaison et configuration) et par sa conformation en structure 3D. Cette dernière est définie par la position dans l'espace des atomes constituant la molécule et elle dépend essentiellement des angles de rotations autour des liaisons simples. Si l'on veut pouvoir donner avec précision dans l'espace les coordonnées de chaque atome, on doit utiliser un ensemble (appelé fonction potentielle, ou potentiel de forces ou champ de force) d'expressions des interactions entre les atomes qui doit tenir compte : - des liaisons entre les atomes liés des forces d'attraction et de répulsion entre les atomes non liés. Cette expression doit être - simple pour pouvoir être calculée rapidement - suffisamment précise pour simuler de façon acceptable les propriétés structurales et thermodynamiques des macromolécules. Etotal = Eliés + Enon_liés

1. Energies d'interactions entre atomes liés a. Déformation du squelette Elongation des liaisons kB et k = constantes de force, dérivées de l'analyse vibrationnelle de molécules modèles (Spectroscopie IR, Raman). Elles sont respectivement de l'ordre de 400 kJ.mol-1.Å-2 et de 40 kJ.mol-1.deg-2 En général, déformations faibles : de l'ordre de 0.05 Å pour les longueurs de liaison de l'ordre de quelques degrés pour les angles de valence C-C, kb = 310 kcal/mol.Å2, b0 = 1.526 Å C=C, kb = 570 kcal/mol.Å2, b0 = 1.229 Å

1. Energies d'interactions entre atomes liés a. Déformation du squelette Distorsion des angles de valence kB et k = constantes de force, dérivées de l'analyse vibrationnelle de molécules modèles (Spectroscopie IR, Raman). Elles sont respectivement de l'ordre de 400 kJ.mol-1.Å-2 et de 40 kJ.mol-1.deg-2 En général, déformations faibles : de l'ordre de 0.05 Å pour les longueurs de liaison de l'ordre de quelques degrés pour les angles de valence

1. Energies d'interactions entre atomes liés b. Energie de torsion L'énergie de torsion mesure la variation de l'énergie lors de la rotation de deux liaisons AB et CD autour de la liaison BC pour 4 atomes consécutifs ABCD. L'angle entre les liaisons AB et CD est appelé angle dièdre ou angle de torsion. k=constante de torsion (ou barrière de rotation). En général, de l'ordre de 40 à 70 kJ.mol-1 (ou 10 à 15 kcal.mol-1) n = périodicité de la rotation. pour sp2, n=2 pour sp3, n=3 = angle de torsion =déphasage On trouve aussi l'écriture : ici, kj=1, n=3 et d=0

1. Energies d'interactions entre atomes liés c. Energie des angles impropres X Y Z A w atome A de type sp2, w=0 atome A de type sp3, w=35.26° Ce terme assure le maintien de la planéité ou de la chiralité d'un groupe d'atomes déterminés. L'angle w est défini par un plan constitué de trois atomes, liés à un quatrième atome. Si ce dernnier se situe dans le plan, alors w0 = 0. S'il se situe hors du plan alors w0 ≠ 0 et les 4 atomes forment un tétraèdre.

2. Energies d'interactions entre atomes non liés a. Energie d'interactions électrostatiques qi qi Loi de Coulomb e0 = permittivité du vide (e0 = 1) er = permittivité relative L'énergie électrostatique entre de 2 atomes i et j de charges qi et qj est représentée par la loi de Coulomb où permittivité du vide (=1) r=permittivité relative Le choix de la permittivité e est délicat dans la mesure où il s'agit d'une grandeur microscopique qui peut être notablement différente de la grandeur macroscopique. Pour l'intérieur des molécules qui ne sont pas en contact avec l'eau, il est courant de prendre des valeurs de er de 2 à 4. Pour les paires d'atomes situées vers l'intérieur, on a proposé des fonctions de variations de er avec la distance r. Dans un environnement aqueux (effet d'écran des charges par le solvant), er peut atteindre la valeur macroscopie de 80 pour des r voisins de 7 à 10 Å -600 -400 -200 200 400 600 1 2 3 4 distance interatomique (Å) E (kcal/mol) qiqj > 0 qiqj < 0

2. Energies d'interactions entre atomes non liés a. Energie d'interactions électrostatiques Calcul des charges qi et qj À partir de méthodes ab initio ou semi-empiriques Del Ré: calcul des charges sur les liaisons de type s (sigma) Gasteiger-Marsili: calcul des charges sur les liaisons de type s (sigma) et p (pi) fait appel à la notion d'électronégativité Hückel: calcul des charges sur les liaisons de type p fait appel à la notion d'électronégativité Gasteiger-Hückel: associe le calcul des charges s par la méthode de Gasteiger-Marsili et celui des charges p par Hückel Pullman: associe le calcul des charges s par la méthode de Del Ré et celui des charges p par la méthode de Hückel plus adapté pour les peptides et les protéines L'énergie électrostatique entre de 2 atomes i et j de charges qi et qj est représentée par la loi de Coulomb où permittivité du vide (=1) r=permittivité relative Le choix de la permittivité e est délicat dans la mesure où il s'agit d'une grandeur microscopique qui peut être notablement différente de la grandeur macroscopique. Pour l'intérieur des molécules qui ne sont pas en contact avec l'eau, il est courant de prendre des valeurs de er de 2 à 4. Pour les paires d'atomes situées vers l'intérieur, on a proposé des fonctions de variations de er avec la distance r. Dans un environnement aqueux (effet d'écran des charges par le solvant), er peut atteindre la valeur macroscopie de 80 pour des r voisins de 7 à 10 Å

2. Energies d'interactions entre atomes non liés b. Energie d'interactions de van der Waals Potentiel de Lennard-Jones terme répulsif terme attractif répulsion r E L'énergie de torsion mesure la variation de l'énergie lors de la rotation de deux liaisons AB et CD autour de la liaison BC pour 4 atomes consécutifs ABCD. L'angle entre les liaisons AB et CD est appelé angle dièdre ou angle de torsion. k=constante de torsion (ou barrière de rotation). En général, de l'ordre de 40 à 70 kJ.mol-1 (ou 10 à 15 kcal.mol-1) n = périodicité de la rotation. pour sp2, n=2 pour sp3, n=3 = angle de torsion =déphasage On trouve aussi l'écriture : attraction

3. Notion de champ de forces Champ de forces = ensemble fonctions d'énergie potentielle + paramètres numériques (constantes de forces, valeurs d'équilibre, etc.) obtenus expérimentalement ou évalués théoriquement Exemples de champs de forces pour les molécules biologiques: AMBER (Kollman, 1981) peptides, acides nucléiques SYBYL, ... (Assisted Method Building and Energy Refinement) CHARMM (Karplus, 1983) mo. biologiques, macromo., QUANTA, X-PLOR, CNS interactions petites mo.-macromo. (Chemistry at HARvard Macromolecular Mechanics) ECEPP (Scheraga, 1983) peptides et protéines INSIGHT (Empirical Conformational Energy Program for Peptides) CVFF (Hagler, 1985) INSIGHT (Consistent Valence ForceField)

3. Notion de champ de forces Extraits du champ de forces CHARMM BOND CT1 C 250.000 {SD= .034} 1.490 ! ALLOW ALI PEP POL ARO ! Ala Dipeptide ab initio calc's (LK) fixed from 10/90 (5/91) BOND CT1 CT1 222.500 {SD= .036} 1.500 ! ALLOW ALI ! alkane update, adm jr., 3/2/92 BOND CT2 C 250.000 {SD= .034} 1.490 ! ALLOW ALI PEP POL ARO BOND CT2 CT1 222.500 {SD= .036} 1.538 ! ALLOW ALI BOND CT2 CT2 222.500 {SD= .036} 1.530 ! ALLOW ALI BOND CT3 C 250.000 {SD= .034} 1.490 ! ALLOW ALI PEP POL ARO ... ANGLE CT1 CT1 C 52.00 {SD= .075} 108.0000 ! ALLOW ALI PEP POL ARO ! Alanine Dipeptide ab initio calc's (LK) ANGLE CT1 CT1 CT1 53.35 {SD= .074} 111.0000 UB 8.000 2.561 ! ALLOW ALI ANGLE CT1 CT2 CT1 58.35 {SD= .071} 113.5000 UB 11.160 2.561 ! ALLOW ALI ! alkane frequencies (MJF), alkane geometries (SF) ANGLE CT2 CT1 C 52.00 {SD= .075} 108.0000 ! ALLOW ALI PEP POL ARO

3. Notion de champ de forces Extraits du champ de forces CHARMM DIHEDRAL C CT1 NH1 C .20 {SD= 1.217} 1 180.0000 ! ALLOW PEP ! ala dipeptide update for new C VDW Rmin, adm jr., 3/3/93c DIHEDRAL C CT2 NH1 C .20 {SD= 1.217} 1 180.0000 ! ALLOW PEP DIHEDRAL CT1 C NH1 CT1 MULTIPLE= 2 1.60 1 .0000 ! ALLOW PEP ! Revised to adjust NMA cis/trans energy difference. (LK) 2.50 2 180.0000 ! ALLOW PEP ! Gives appropriate NMA cis/trans barrier. (LK) DIHEDRAL CT1 CT1 NH1 C 1.80 {SD= .406} 1 .0000 ! ALLOW PEP ... IMPROPER NH1 X X H 20.00 {SD= .122} 0 .0000 ! ALLOW PEP POL ARO ! NMA Vibrational Modes (LK) IMPROPER NH2 X X H 4.00 {SD= .272} 0 .0000 ! ALLOW POL ! adm jr., 8/13/90 acetamide geometry and vibrations IMPROPER O CT1 NH2 CC 45.00 {SD= .081} 0 .0000 ! ALLOW PEP POL IMPROPER O CT2 NH2 CC 45.00 {SD= .081} 0 .0000 ! ALLOW PEP POL IMPROPER O CT3 NH2 CC 45.00 {SD= .081} 0 .0000 ! ALLOW PEP POL IMPROPER O NH2 CT1 CC 45.00 {SD= .081} 0 .0000 ! ALLOW PEP POL IMPROPER O NH2 CT2 CC 45.00 {SD= .081} 0 .0000 ! ALLOW PEP POL

Représentation des états d'énergie = puits d'énergie

III. Les méthodes de calculs empiriques

Les méthodes de calcul empiriques 2 grandes familles : 1. Mécanique moléculaire (minimisation de l'énergie) Objectif: - déterminer les minimas de l'énergie globale d'interaction (réduite à Einterne) 2. Dynamique moléculaire Objectifs: - simuler les mouvements intramoléculaires - optimiser les structures d'une façon plus efficace

III.1. Algorithmes de minimisation d’énergie

déterminer les minimas de l'énergie globale d'interaction Algorithmes de minimisation d’énergie Objectif déterminer les minimas de l'énergie globale d'interaction (réduite à Einterne) coor. arbitraire unité d'énergie arbitraire

Algorithmes de minimisation d’énergie Principe Etant donné une fonction (une ou plusieurs variables indépendantes), trouver la valeur de la (ou des) variables(s) pour lesquelles la valeur de la fonction est la plus faible = si la fonction est continue ou dérivable : - dérivée première nulle coor. arbitraire unité d'énergie arbitraire - dérivée seconde positive Remarque Deux types de mimima possibles : - minimum global : valeur la plus faible de la fonction - minima locaux : valeur minimum de la fonction dans un voisinage fini Pas de méthode de minimisation pour déterminer le minimum global détermination uniquement du minimum local le plus proche

Algorithmes de minimisation d’énergie Principe Soit une fonction F(x,y,z) Il s'agit de trouver un nouveau jeu de coordonnées (x',y',z') tel que F(x',y',z') < F(x,y,z)  algorithmes itératifs qui, à chaque étape, déterminent un point où la fonction a une valeur plus faible Différents types de méthodes : Méthodes directes (Simplex - Random Search - Grid) Méthodes des dérivées premières (utilisent uniquement la pente de la surface) (Steepest Descent - Conjugate Gradient - Powell) Méthodes des dérivées secondes (utilisent la pente et la courbure de la surface) (Newton-Raphson)

Méthode Simplex Principe simplex = figure géométrique à N+1 sommets dans un espace à N dimensions Ex. 1: dans un plan, simplex = triangle Ex. 2: dans un espace à 3 dim., simplex = tétraèdre X2 X1 Problème ! 10 8 7 9 4 6 1 2 3 5

Méthode Simplex Avantage Inconvénients méthode robuste (minimisation même de fonctions non continues) Inconvénients nombre important d'évaluations de la fonction  taille mémoire prop. à N2 si N variables  méthode peu efficace utilisation pour rectifier une mauvaise géométrie de départ

Méthode de la plus grande pente ("Steepest Descent") Principe A chaque étape de l'itération, recherche la direction de descente maximale (ou plus grande pente) On déplace x de dx et on cherche F(x+dx) Si dx est suffisamment petit, F(x+dx) écrite sous forme d'une série de Taylor : F(x) = gradient de F(x) La direction dx est dite direction de descente si dx. F(x) < 0

Méthode de la plus grande pente ("Steepest Descent") Avantage Convergence rapide pour des structures loin du minimum Inconvénient Convergence lente autour du minimum (oscillation des directions) utilisation sur les structures initiales dans les premières étapes de minimisation pour rectifier les mauvais contacts

Méthode du gradient conjugué Principe Même principe que méthode de Steepest Descent mais utilise l'information issue des itérations précédentes pour définir plus finement la direction et le pas Avantages Accélère la convergence Evite les oscillations autour du minimum Inconvénient Plus coûteuse en temps de calcul (x2 comparé à Steepest Descent) Inutilisable pour des structures présentant de mauvais contacts

Méthode de Powell Principe Même principe que méthode de Gradient Conjugué mais avec règles d'avancement supplémentaires

III.2. Dynamique moléculaire

Principes de base de la dynamique Objectif Simuler les mouvements des atomes à l'intérieur d'une molécule pour regarder les fluctuations autour d'un minimum description thermodynamique du système étudié (entropie, énergie libre, chaleur spécifique, etc.) pour passer d'un minimum d'énergie à un autre optimiser les structures de façon plus efficace coor. arbitraire unité d'énergie arbitraire T (Ec)

repliement mouvements de domaines Principes de base de la dynamique Remarque repliement mouvements de domaines globaux Mouvements détectables locaux ps ns ms s Echelle de temps Dynamique moléculaire

Principes de base de la dynamique Déplacement des atomes les uns par rapport aux autres sous l'action d'un champ de forces reproduisant au mieux l'ensemble de leurs interactions Chaque atome est considéré comme une masse ponctuelle dont le mouvement dépend et est déterminé par l'ensemble des forces exercées par tous les atomes en fonction du temps

Principes de base de la dynamique Au temps t, chaque atome i, de vecteur position ri et de masse mi obéit aux équations de mouvements de Newton : La force Fi exercée sur l'atome i par les autres atomes est donnée par où V = fonction de l'énergie potentielle totale d'interactions auxquelles est soumise la molécule Intégration de ces équations de mouvement évolution de chaque atome en fonction du temps = trajectoire sous forme d'une série de positions et de vitesses dans l'espace

Déroulement d'une dynamique 3 étapes : thermalisation équilibration production

Types de dynamique Dynamique dans le vide Avantages Inconvénients Plus grande simplicité Plus grande rapidité de calcul Permet un temps de dynamique plus long Inconvénients Simulation d'une molécule hors de son contexte normal Augmentation des interactions électrostatiques dans la molécule Impossibilité de simuler les effets hydrophobes

Dynamique en présence de solvant Types de dynamique Dynamique en présence de solvant Avantages Meilleure prise en compte de l'effet électrostatique Possibilité de formation de liaison H avec le solvant Prise en compte (partielle) de l'effet hydrophobe Meilleure stabilité du système Inconvénients Evaluation de tous les termes plus longues Ne permet pas de longue dynamique

Exemple d'analyse d'une dynamique Fluctuations Calcul de l'écart quadratique moyen (RMSD : Root Mean Square Deviation) de chaque structure par rapport à une structure de référence Structure de référence : structure moyenne de la dynamique structure expérimentale structure de départ

Exemple d'analyse d'une dynamique Fluctuations Exemple : Fluctuations lors d'une dynamique de 60 ps de la bactériorhodopsine