Comment construire le nombre en maternelle à travers la résolution de problème ? LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Que disent les programmes sur les problèmes ? Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par l’enseignant de comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage. La taille des collections, le fait de pouvoir agir ou non sur les objets sont des variables importantes que l’enseignant utilise pour adapter les situations aux capacités de chacun. À la fin de l’école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l’univers du calcul mais c’est le cours préparatoire qui installera le symbolisme (signes des opérations,signe “égal” ) et les techniques.

Quelles compétences doivent-ils acquérir ? À la fin de l’école maternelle l’enfant est capable de : - comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités - mémoriser la suite des nombres au moins jusqu’à 30 ; - associer le nom de nombres connus avec leur écriture chiffrée ; - se situer et situer les objets qui l’entourent dans l’espace ; - se repérer dans l’espace d’une page ; - comprendre et utiliser à bon escient le vocabulaire du repérage et des relations dans le temps et dans l’espace

Des justifications pédagogiques et didactiques Une pédagogie socio-constructiviste : le problème place l’élève dans une situation de déséquilibre cognitif et lui permet de faire évoluer ses connaissances. Le problème est un moteur de l’apprentissage. Le problème permet aussi d’utiliser les compétences acquises. Le problème sert à consolider les apprentissages. Résoudre des problèmes dès la maternelle permet aussi de construire des attitudes. LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Questionnaire proposé par M.H. Salin de Bordeaux Y a-t-il bien un problème posé aux élèves ? Quel est le ou les savoirs visés ? Quelles sont les procédures possibles pour résoudre le problème? L'utilisation de la connaissance visée est-elle nécessaire pour parvenir à la solution du problème posé aux élèves ? L'élève peut-il comprendre la consigne et s'engager vers une solution sans disposer de cette connaissance entièrement élaborée ? Comment voit-il qu'il a réussi ou échoué ? Est-il entièrement dépendant de l'adulte ou la situation comporte-t-elle des rétroactions ? La validation du résultat peut-elle lui donner des informations sur la façon de réussir ? La validation du résultat est-elle confondue avec l'activité ? Peut-il recommencer en modifiant sa procédure ? LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Enumération : le problème de la boîte d'allumettes Jeu individuel en atelier dirigé de 15 mn environ pour 4 élèves. Un élève dispose devant lui d’une collection de boîtes d’allumettes identiques percées sur le côté d’un petit trou permettant le passage d’un bâtonnet (allumette). Il s’agit d'introduire une allumette (une seule) dans chaque boîte. Pour savoir si l'action a réussi, on ouvrira les boîtes une par une. Dans une première suite de séquences, les boîtes sont déplaçables. Elles sont ensuite fixées sur un tableau, présageant ainsi l'exploration d'une collection dessinée. Extrait du CD-ROM d’Hatier, apprentissages en maternelle

La construction du nombre LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Des problèmes pour développer les compétences logiques Les compétences logiques nécessaires pour construire le nombre : être capable de trier et de classer être capable d’énumération être capable de désigner être capable d’ordonner LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Les différentes situations Le nombre, quelques définitions : compter/ dénombrer..., les fonctions du nombre, etc… Les différentes situations Les ateliers autour des compétences "comparer des quantités", "résoudre des problèmes de comparaison" Mise en commun Synthèse (les procédures, les variables didactiques, les activités en PS, MS et GS, le lexique, exemples d'activités fonctionnelles, rituels, aux coins regroupement, l'évaluation...) Une séquence lien math/sciences Les difficultés des élèves : situations de référence pour aider les élèves à progresser Bibliographie LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

A quoi servent les nombres ? Les nombres servent à : Mémoriser une quantité Comprendre que le nombre est un moyen expert pour construire une collection équipotente à une collection donnée hors de la présence de celle-ci Partager des quantités Comprendre qu'une collection peut se partager et que ce partage peut se traduire complètement avec des nombres ; établir des relations entre le tout et les parties Comparer des quantités : Comprendre que deux quantités (et donc deux nombres) sont comparables et passer des relations dichotomiques (beaucoup/ pas beaucoup ; petit/ grand ; avant/ après) à l'établissement d'une double relation (plus que/ moins que ; plus petit que / plus grand que) Comprendre qu'étant donné un nombre, on peut situer tous les autres par rapport à celui là. Comprendre que pour comparer deux collections, on peut utiliser la comparaison des nombres LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

A quoi servent les nombres ? Calculer : Comprendre qu'une quantité peut résulter de la composition de plusieurs quantités Comprendre que l'on peut opérer sur des nombres pour prévoir le résultat d'une transformation (sur des collections ou sur une piste graduée) LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Définitions Compter : réciter la comptine Dénombrer : définition donnée par J. Briand “apprentissages mathématiques en maternelle CD Rom Hatier Dénombrement au sens large : on dit qu’un sujet sait dénombrer une collection quand il sait lui attribuer le nom ou l’écriture de son cardinal (le nombre de ses éléments), par comptage, c’est-à-dire en ayant recours à la comptine ou en dénombrant par perception globale… Surcompter : compter à partir d’un nombre donné Décompter : compter en arrière à partir d’un nombre donné LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Comparer deux collections Met en jeu : Le dénombrement Rappel : comptage / dénombrement (faussement simple)  Principe d’ordre stable : la stabilité de l’ordre des mots de la comptine permet de retrouver le même résultat à chaque fois.  Principe de correspondance terme à terme : énumération, relation entre le mot-nombre et l’objet.  Principe de cardinalité : le dernier mot-nombre prononcé représente le nombre d’éléments de la collection.  Principe d’abstraction : la nature des objets n’influe pas sur le cardinal.  Principe de non pertinence de l’ordre : l’ordre dans lequel les objets sont énumérés n’influe pas sur le résultat. La capacité à mémoriser La capacité à ordonner Les différents contextes à travailler : ordinal, cardinal, grandeur et mesure LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Les différentes situations autour du nombre Evaluation diagnostique Situations d’apprentissage Activités rituelles Situations fonctionnelles Activités d’accompagnement, de réinvestissement Evaluation LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Ateliers : comparer des collections A partir de situations proposées en classe de maternelle, compléter la grille en indiquant la (les) connaissance(s) en jeu (notions mathématiques et vocabulaires scientifiques), les procédures possibles mises en oeuvre par les élèves d'une classe donnée, les difficultés possibles rencontrées par les élèves LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE- STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Reprendre questionnaire de M. Salin Connaissances en jeu (notions mathématiques ptés et vocabulaires spécifiques) Les différentes procédures Les difficultés rencontrées par les élèves Quelles variables pour compléxifier ou simplifier. Reprendre questionnaire de M. Salin LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Ateliers : comparer des collections Jeux de construction (tour 3 jaunes et 2 rouges/ tour 3 vertes et 1 bleue deux tours éloigné l'une de l'autre : dans quelle tour, y a-t-il le plus de briques ? ) "Pêche aux trombones avec aimant" : attraper le plus possible de trombones avec un aimant. Qui a attrapé le plus de trombones en une seule fois ? Trombones de couleur A partir du résultat d'une pêche aux trombones : voici le résultat d'une pêche : qui a attrapé le plus de trombones en une seule fois ? (exercice sur fiche) 6 bouteilles d'eau ou de lait / 7 bouchons (diapo suivante) LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Dispositif bouteilles/ bouchons : Le maître place un nombre de bouteilles de lait en plastique vides dans un coin de la salle et un nombre de bouchons dans un autre coin. Il dit à ses élèves : tout à l'heure, on prendra les bouchons et on mettra un bouchon par bouteille. Le maître pose les questions suivantes : Y aura-t-il trop de bouchons ? Pas assez de bouchons ? Ou juste ce qu'il faut de bouchons pour boucher chaque bouteille avec un seul bouchon ? Habillages très variés : poupées/ habits, lapins/ carottes places de voyageurs/ voyageurs (le bus ne part que s'il est plein/ un voyageur sur chaque siège): y aura-t-il trop de voyageurs ? Pas assez de voyageurs ou juste ce qu'il faut de voyageurs pour qu'il y ait un voyageur sur chaque siège ?

Outils disponibles Papier, crayon, bande numérique sans zéro, ciseaux, pâte à modeler, carte constellations, carte configuration de doigts, carte à points… LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Mise en commun LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Les différentes procédures mises en oeuvre par les élèves de cycle 1 Procédures non numériques : pour faire les comparaisons, l'élève utilise les collections présentes ou des collections intermédiaires. Le nombre n'est jamais explicitement présent dans son activité. Procédures numériques LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Les procédures non numériques Estimation : les comparaisons se font en tenant compte soit de la disposition spatiale (place ossupée, disposition des objets), soit d'un certain sens de la pluralité Peu fiable dans le cas où les collections ont des objets dissemblables ou quand les nombres à comparer sont voisins LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Les procédures non numériques Subitizing : Pour les nombres inférieurs à 3, ou pour les points du dé (disposition spatiale particulière) L'utilisation des doigts : ils peuvent utiliser pour figurer des objets Selon brissiaud, il semble ne pas toujours utiliser la même configuration de doigts Pour comparer des quantités : commencer toujours par le pouce avec la première main vue de dos pour que les élèves voient les doigts se lever successivement de leur gauche vers leur droite LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Les procédures non numériques Correspondance terme à terme : les objets des deux collections sont mis en relation un à un, soit spatialement, soit en utilisant "un lien verbal" : "un/un, deux/deux" ou encore "celui-là, là, celui-là, là..." Distribution un à un des éléments de deux collections simultanées LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Les procédures numériques Utilisation de sous-collections : cela consiste à décomposer une collection (5 objets) en sous-collections (3 et 2) rendant la comparaison évidente (3 et 2 > 3) Dénombrement : on compte les objets d'une collection puis de l'autre et on compare les 2 nombres obtenus Utilisation de la comptine : si en dénombrant une collection, on dépasse le cardinal d'une autre collection, c'est collection est plus grande (9 est plus grand que 7) Utilisation de la bande numérique : utilisation de l'ordre/ aspect ordinal (plus loin, avant/ après), aspect cardinal (9 est plus grand que 7) Surcomptage : reconnaissance d'une partie de la collection à dénombrer + procédure ci-dessus

Situation-problème très intéressante (bouteilles) : anticiper le résultat d'une comparaison (les enfants ne doivent pas déplacer les bouteilles ou les bouchons) deux nombres à comparer. L'élève doit compter les bouteilles, puis les bouchons et s'apercevoir qu'il a "compté les bouchons plus loin que les bouteilles" (trop de bouchons) La collection la plus nombreuse est celle dont le comptage va le plus loin. La manipulation peut conduire à la décomposition 8 bouchons c'est 7 bouchons et encore 1 bouchon LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Les variables didactiques Quelques éléments de situation que l'on peut faire varier pour faire changer de procédures Nature du matériel proposé : Objets manipulables (jetons, billes, trombones et autres), objets fixés (gommettes collées, objets fixés avec patafix...), objets représentés Nature de ce qui est à comparer : Deux collections ou deux pistes ou une collection et une piste Une collection et un nombre représenté ou un nombre écrit, deux nombres écrits Le champ numérique : La taille des nombres L'écart entre les nombres comparés Le nombre de collection LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Comment faire en sorte que les procédures construites dans cette situation d’apprentissage soient automatisées ? LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Exemples d'activités pour les rituels Comparer le nombre de filles et de garçons présents dans la classe (MS/ GS), pour un groupe donné (PS/MS), comparer les absents et les présents (étiquettes). correspondance terme à terme ( alignement des filles et des garçons / disposition deux par deux : une fille/ un garçon) dénombrement avec utilisation de la comptine 12 plus petit que 15) dénombrement avec utilisation de la bande numérique 15 c'est plus loin que 12, c'est après… Ritualiser cet apprentissage pour faire des automatismes

Exemples d'activités fonctionnelles Les mathématiques sont un outil pour résoudre des problèmes de la vie quotidienne : Goûters : préparer les goûters et comparer le nombre de biscuits aux enfants de la classe, pour un groupe donné Atelier peinture : préparer le matériel (nombre de tabliers, de pinceaux, de feuilles blanches, de pots de peinture...) Savoir qui a gagné ? EPS : préparer les dossards (voir diapo suivante) LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

NOTION : CONSTRUIRE LE NOMBRE Compétence : Comprendre à quoi sert le nombre, Jeu du garage « LE NOMBRE MEMOIRE D’UNE QUANTITE 1,2, 3» Pour travailler cette compétence un certain nombre de problèmes peuvent être mis en place plusieurs fois dans l’année. On connaît en général le problème des wagons ou du car : pour que le car puisse partir, il faut qu’il soit rempli. Il faut aller chercher les voyageurs dans un coin éloigné de la classe. On peut aussi demander à un élève d ’aller chercher juste assez de foulards pour son groupe avant la séance d ’EPS. ... LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Activités papier crayon Extraits du document d’accompagnement des programmes 2002 : « Vers les mathématiques : quel travail en maternelle ? (http://www.eduscol.education.fr/D0048/vers_les_math.pdf) D’une manière générale, les activités doivent correspondre à des centres d’intérêt des enfants. Les activités gratuites, non motivantes, sans rapport avec ce que vivent les enfants sont évitées. En particulier, la place des activités papier-crayon doit être limitée. Sans intérêt pour les enfants de Petite Section, elle est réduite en Moyenne Section et doit rester modeste en Grande Section. Ces activités papier-crayon ne se justifient que si elles sont en lien avec un vécu (action effective, jeu…) qu’elles accompagnent ou qu’elles prolongent pour en garder une trace figurative ou symbolique. LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Activités aux coins regroupements Problème du type bouteilles d'eau/ bouchons Comparaison de différentes collections (briques, jetons...) Taper dans ses mains 5 fois (taper une collection plus petite…) Bande numérique pour chaque élève : on demande de trouver trois nombres avant 7 ou deux nombres après 12 Premier calcul mental (Charnay) Des cartes nombres sont posées dans l'ordre sur le sol : 1, 2, 3, 4, 5, 6..... les élèves ferment les yeux. Le maître ou un élève intervertit deux nombres ou enlève un nombre... Les élèves doivent dire ce qui s'est passé Activités aux coins regroupements LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Un exemple de module d’apprentissage en sciences et maths LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Jeux libres Au coin regroupement : Qu’est-ce que c’est Jeux libres Au coin regroupement : Qu’est-ce que c’est ? A quoi servent-ils ? Où les trouve-t-on ?

Découvrir les objets aimantés, les caractériser (« 5 sens ») Question : les objets aimantés sont-ils tous identiques ?

Trace écrite accompagnant des dessins d’objets aimantés

Comparer les objets aimantés pour caractériser leurs points communs Question : quelles sont les ressemblances entre tous les objets aimantés ?

Découverte du monde : la matière LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Découvrir les propriétés des aimants Questions : Quels sont les objets qui sont attirés par les aimants ? Quels sont les objets qui ne sont pas attirés par les aimants ? LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Bibliographie BERDONNEAU C., “Aider les élèves en difficulté en mathématiques Cp/Ce1 - Tome 1 et 2 ”, éd. Hachette 2006. BRIAND J., “apprentissages mathématiques en maternelle ”, CD Rom Hatier, 2004 CHAMPDAVOINE L., “ les mathématiques par les jeux ”, un tome pour chaque niveau de maternelle, éd. Nathan. COHERE Marie-Pierre, “50 activités pour découvrir le monde à l'école maternelle vers les mathématiques ”, éd Scéren/CRDP Midi-Pyrénées, 2006 ERMEL, “ apprentissages numériques par la résolution de problèmes” éd. Hatier. GRELIER J.F., “Devenir élève par les apprentissages géométriques au cycle 1 ”, éd Scéren/CRDP Midi-Pyrénées, 2009 HERVE P.,  “La résolution de problèmes arithmétiques à l'école ” , Hatier, 2005 MARTIN F., “Apprentissages mathématiques : jeux en maternelle ”, Centre régional de documentation pédagogique d'Aquitaine. NEY L., RAJAN C., VASLOT E., “ Outils pour les cycles : des situations pour apprendre le nombre, Cycle 1 et GS ”, CRDP de Champagne –Ardenne, 2006. PIERRARD A., “faire des mathématiques en maternelle ”, éd Scéren/CRDP Grenoble VALENTIN D., “découvrir le monde avec les mathématiques, situations pour la petite et moyenne section ”, éd. Hatier 2004. VALENTIN D., “découvrir le monde avec les mathématiques, situations pour la grande section ”, éd. Hatier 2004. GRAND N, 2000. Spécial Maternelle (2 tomes: approche du nombre et structuration de l'espace). IREM de Grenoble. APMEP, fichier Evariste école, 2006 CRDP de l'académie de Versailles, Chacun son chemin, un problème de partage : apprentissages numériques au cycle 2, 2004

Bibliographie Ouvrage de Rémi Brissiaud « Premiers pas vers les maths – Les chemins de la réussite à l’école maternelle » C'est un ouvrage très intéressant qui explique bien les difficultés posées par le dénombrement par comptage et qui propose des activités, en particulier au niveau du travail sur les décompositions des nombres, qu’il me semble important de mettre en œuvre en classe. Cependant faut-il suivre Brissiaud quand il préconise de bannir tout dénombrement par comptage en PS et début de MS ? Même s'il pose des problèmes, le dénombrement par comptage est un procédé de dénombrement parmi d'autres. . Les parents ne connaissent pour la plupart que ce mode de dénombrement et l'apprennent de toute façon à leurs enfants. Il me semble donc souhaitable que l'enseignant ne laisse pas l'apprentissage de cette procédure à la seule responsabilité des parents justement parce que ce n'est pas une procédure facile et parce que l'enseignant a des connaissances sur les difficultés à surmonter que les parents n'ont en général pas. LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014

Bibliographie LA MATERNELLE SOCLE DU SOCLE-CLAUDIE RICCI IEN ET FATIHA INZA EMFE-STAGE PRF AMSUD MAI 2014