Techniques opératoires au C3 Jacques Le Vot CPC Morlaix

Problèmes relevant des 4 opérations Rappel – Programmes 2008 CE2 Tables de Pythagore + et x +, - et x  Nombre 1 chiffre Problèmes relevant des 4 opérations

Problèmes relevant des 4 opérations (1 ou x étapes) Rappel – Programmes 2008 CM1 Tables de Pythagore + et x + et – de 2 décimaux x décimal par un entier  euclidienne 2 entiers  décimale 2 entiers Problèmes relevant des 4 opérations (1 ou x étapes)

CM2 Rappel – Programmes 2008  décimal par un entier Tables de Pythagore + & x +, - et x de 2 entiers ou décimaux  décimal par un entier Problèmes relevant des 4 opérations de + en + complexes

Techniques opératoires au C3 Avant d’étudier une technique opératoire, il est nécessaire d’introduire l’opération en résolvant des problèmes. (donner du sens aux opérations) Petit phare CM2 - Hachette

Techniques opératoires au C3 Bien évaluer les difficultés potentielles que l’élève va rencontrer. Les questions à résoudre : Explicite ? Implicite ? Petit phare CM2 - Hachette

Techniques opératoires au C3 Les points « clés » pour effectuer une opération Opération Connaissance des tables + & x Connaissance des critères de divisibilité Technique de l’opération Rôle de la virgule et repérage de l’unité

Techniques opératoires au C3 Les points « clés » pour effectuer une opération Connaissance des tables + & x Maîtrise des tables de Pythagore Commutativité Multiplier / diviser un entier ou un décimal par 10, 100, 1000

Techniques opératoires au C3 Les points « clés » pour effectuer une opération Connaissance des critères de divisibilité Par 2, 3, 4, 5 et 9

Techniques opératoires au C3 Les points « clés » pour effectuer une opération Technique de l’opération Maîtrise d’une technique opératoire afin de pouvoir réaliser des calculs de plus en plus complexes (irréalisables en ligne ou en calcul mental)

Techniques opératoires au C3 Les points « clés » pour effectuer une opération Rôle de la virgule et repérage de l’unité Bien comprendre que dans un nombre la virgule indique précisément le positionnement de l’unité et ceci quel que soit l’unité proposée 14,5 km / 132,26 € / 1,823 t / 12,5 kg

Techniques opératoires au C3 La multiplication d’après les travaux de D. Pernoux http://pernoux.perso.orange.fr

Technique posée de la multiplication 120 c’est 12 paquets de dix Premier rappel 23 paquets de dix s’écrit 230 Deuxième rappel : Si on sait combien vaut 4 x 6, alors on sait calculer 4 × 60 : 4 fois 60 c’est 4 fois six paquets de 10 « Règle du zéro » Si 4 × 6 = 24 alors 4 × 60 = 240 Et, bien sûr, 60 × 4 = 240 donc 4 fois 60 c’est 24 paquets de 10 donc 4 × 60 vaut 240 1°) Multiplication d’un nombre à deux chiffres par un nombre à un chiffre : a) Combien vaut 3 fois 42 ? 4 dizaines et 2 unités 42 c’est :

3 fois 42 c’est : Pour calculer on calcule 3 × 40 et on calcule 3×2 3 × 42 3 × 4 = 12 donc 3 × 40 = 120 3 × 2 = 6 3 x 40 = 120 On a utilisé la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition. 3 × 42 = 120 + 6 = 126

Calcul en ligne rapide : 3 × 2 = 6 3 × 42 = 12 6 3 × 4 = 12 b) Combien vaut 3 × 45 ? 3 × 5 = 15 3 × 40 = 120 15 + 120 3 × 45 = 135 3 × 6 = 18 J’écris 8 et je retiens 1 Calcul en ligne rapide : 3 × 46 = 13 8 3 × 4 = 12 Avec la retenue ça fait 13

2°) Multiplication d’un nombre à deux chiffres par un nombre à deux chiffres : Combien vaut 34 × 23 ? 34 × 23 c’est le nombre de carreaux de ce quadrillage : 23 Pour trouver le nombre de carreaux du quadrillage, on décompose 34 : 4 4 × 23 34 = 30 + 4 On aura donc deux calculs à faire : 34 30 × 23 4 × 23 30 30 × 23 Et pour trouver combien vaut 34 × 23 on ajoutera les deux résultats trouvés.

23 4 × 23 4 × 23 = 92 3 × 23 = 69 donc 30 × 23 = 690 34 30 × 23

Disposition habituelle des calculs : 23 2 3 × 3 4 4 4 × 23 9 2 6 9 0 7 8 2 30 × 23 34 30

4 × 3 = 12 J’écris 2 et je retiens 1 Calcul posé : 1 2 3 × 3 4 4 × 3 = 12 J’écris 2 et je retiens 1 4 × 2 = 8 Avec la retenue ça fait 9 Maintenant, je devrais multiplier 23 par 30 mais je mets un 0 et je vais pouvoir multiplier 23 par 3. 9 2 1 6 9 7 8 2 3 × 3 = 9 6 + 1 = 7 3 × 2 = 6 2 + 0 = 2 9 + 9 = 18 J’écris 8 et je mets une retenue

3°) Multiplications avec des nombres comportant plus de deux chiffres Calcul de 127 × 352 Calcul de 127 × 302 1 2 7 × 3 5 2 1 2 7 × 3 0 2 2 5 4 2 × 127 2 5 4 2 × 127 6 3 5 0 50 × 127 0 0 0 0 0 × 127 300 × 127 3 8 1 0 0 3 8 1 0 0 300 × 127 4 4 7 0 4 3 8 3 5 4

4°) Multiplications de nombres décimaux Tout se déroule comme dans l’exemple précédent Je fais l’opération sans tenir compte de la virgule et je la positionne au résultat En fait, je vais multiplier 12,7 par 10 (idem pour 35,2) Le résultat doit donc être divisé par 100 Calcul de 12,7 × 35,2 1 2 , 7 × 3 5 , 2 2 5 4 2 × 127 6 3 5 0 50 × 127 300 × 127 3 8 1 0 0 4 4 7 0 4 ,

Techniques opératoires au C3 La division d’après les travaux de D. Pernoux http://pernoux.perso.orange.fr

Quelques points de repères concernant la technique opératoire de la division euclidienne (CM) Rappels pour l’enseignant a) Notion de division euclidienne Effectuer la division d’un entier naturel a par un entier naturel b non nul, c’est trouver les deux entiers q et r, appelés respectivement quotient et reste, qui sont représentés sur le schéma suivant : a r b 2b qb (q+1)b q est tel que qb soit le plus grand multiple de b inférieur ou égal à a et r est égal à a – qb Traduction Si je divise 13 par 3. a = 13 et b =3 la réponse est 4 et le reste 1 q = 4 et r = 1 4 (q) est tel que 4x3 (qb) est le plus grand multiple de 3 inférieur ou égal à 13 (a) et r = a – qb donc 13 – 12 = 1

b) Les deux sens de la division euclidienne Dans une situation où on fabrique des « paquets » en partageant équitablement des objets . La division peut servir à trouver combien il y a d’objets dans chaque « paquet » quand on connaît le nombre total d’objets et le nombre de « paquets » La division peut servir à trouver le nombre de « paquets » quand on connaît le nombre total d’objets et le nombre d’objets dans chaque « paquet »

Ce n'est pas indispensable mais c) Rappels concernant la signification des différentes étapes de la technique posée traditionnelle 23 personnes jouent un même ticket et gagnent 4237 €au loto On veut partager équitablement les 4237 € entre les 23 gagnants On peut chercher d’abord le nombre de chiffres du quotient. Ce n'est pas indispensable mais ça évite de donner un quotient ayant un ordre de grandeur manifestement erroné (malgré tout extrêmement utile) ça permet également de garder du sens (on sait mieux, à tout moment la somme que va toucher chaque gagnant) et c'est une aide pour éviter certaines erreurs au moment où on met en œuvre la technique de la division elle-même.

Le quotient sera donc un nombre à trois chiffres. 4 est plus petit que 23. On ne peut pas donner 1000 € à chaque gagnant. milliers centaines dizaines unités 42 est plus grand que 23. On peut donc donner des parts de 100 € à chaque gagnant. 4 2 3 7 2 3 Le quotient sera donc un nombre à trois chiffres. centaines

. . . On cherche combien de parts de 100 € on peut donner à chaque gagnant : 23×1 = 23 23×2 = 46 23×3 = 69 … On peut donner 1 part de 100 € à chacun des 23 gagnants. 42 Parts totales de 100 4 2 3 7 2 3 - . . . 2 3 0 0 1 1 9 3 7 On a donné en tout 23 × 100 soit 2300 € Part individuelle de 100 Après avoir donné 1 fois100 € à chaque gagnant, il reste 1937 €.

On cherche combien de fois 10 € on peut encore donner à chaque gagnant : 23×1 = 23 23×2 = 46 23×3 = 69 23×4 = 92 23×5 =115 23×6 =138 23×7 =161 23×8 =184 23×9 =207 On peut encore donner 8 fois10 € à chaque gagnant parts de10 193 4 2 3 7 2 3 On peut donc encore donner en tout 23 × 80 € soit 1840 € . . 2 3 0 0 1 8 1 9 3 7 Après avoir donné 1 part de 100 € puis 8 parts de 10 € à chaque gagnant, il reste 97 €. 1 8 4 0 parts de 10 9 7

. On cherche combien d’euros on peut encore donner à chaque gagnant : 23×1 = 23 23×2 = 46 23×3 = 69 23×4 = 92 23×5 =115 23×6 =138 23×7 =161 23×8 =184 23×9 =207 On peut encore donner 4 € à chaque gagnant 97 4237 23 2300 1937 1840 97 . 18 184 On a pu donner 184 € à chaque gagnant (le quotient est égal à 184) euros isolés On peut encore donner 23 × 4 soit 92 € 92 Il reste 5 € (qu’on ne peut pas partager) 5

Remarques sur la division euclidienne Savoirs et savoir-faire utiles : savoir faire la différence entre partages équitables et partages non équitables connaître les techniques de l’addition, de la soustraction et de la multiplication et les tables de multiplication savoir ce qu’est un multiple et savoir écrire la table des multiples d’un nombre donné (exemple : table des multiples de 23) Problèmes précédant le travail sur la technique posée traditionnelle On peut commencer par une situation de regroupement («Combien de paquets ?») avec un quotient à un chiffre qui permettra de faire un travail sur les multiples sans aborder encore la technique posée traditionnelle. Exemple : 171 bonbons - des paquets de 25 bonbons - combien de paquets ? On peut continuer par une situation de partage («Combien dans chaque paquet ?») avec un quotient à un chiffre qui permettra, elle aussi, de faire un travail sur les multiples toujours sans aborder la technique traditionnelle. Exemple : 213 bonbons - 25 enfants – combien de bonbons chacun ?

171 = (25 x 6) + 21 (situation 1) et 213 = (25 x 8) + 13 (situation 2) Les élèves sont amenés à résoudre ces problèmes en utilisant des procédures personnelles (additives, multiplicative…) Pour arriver à 171 = (25 x 6) + 21 (situation 1) et 213 = (25 x 8) + 13 (situation 2)

Travail sur le nombre de chiffres du quotient : Sans effectuer les divisions, trouver le nombre de chiffres du quotient (indiquer le nombre de chiffres du quotient en mettant – ou – – ou – – – à la place du quotient) et expliquer comment vous faites pour le trouver. 8 2 5 1 5 5 3 9 1 9 8 0 1 7

Apprentissage de la technique posée traditionnelle 24 flibustiers veulent se partager équitablement 3750 pièces d’or. Combien auront-ils chacun ? 3 7 5 0 2 4 - 2 4 0 0 1 3 5 0 1 2 0 0 1 5 0 1 4 4 6 1 5 _ _ _ 1 × 24 = 24 2 × 24 = 48 3 × 24 = 72 4 × 24 = 96 5 × 24 = 120 6 × 24 = 144 7 × 24 = 168 8 × 24 = 192 9 × 24 = 216 On peut écrire : 3750 = (156 × 24) + 6

Le résultat de la division de 3750 par 24 est 156 et il reste 6 - Remarque : Il peut être éventuellement envisageable de travailler avec certains élèves la « technique dépouillée » mais il ne semble pas souhaitable d’exiger que tous les élèves sachent utiliser cette technique. Cette technique exige une très bonne connaissance des tables de multiplication. Aussi bien : 9 x 4 = 36 que 36 = 4 x 9 3 7 5 0 2 4 1 3 5 1 5 1 5 6 6 Le résultat de la division de 3750 par 24 est 156 et il reste 6

Le reste de cette division décimale est bien 12 centièmes (0,12) Apprentissage de la technique posée traditionnelle (division décimale) , 3 7 5 2 4 - 2 4 0 1 3 5 1 2 0 1 5 1 _ _ 5 6 , 2 - 1 4 4 6 - 4 8 Le reste de cette division décimale est bien 12 centièmes (0,12) 1 2 375 = (15,62 x 24) + 0,12