UTILISATION DE LA LOI BINOMIALE POUR UNE PRISE DE DÉCISION À PARTIR D'UNE FRÉQUENCE

On cherche des renseignements sur p. 1 - Contexte de travail On considère une population statistique dans laquelle on étudie un caractère qualitatif prenant une modalité donnée dans une proportion p. On cherche des renseignements sur p.

Mais cela peut s'avérer : 1 - Contexte de travail Recensement On peut étudier toute la population et avoir une connaissance précise de p. Mais cela peut s'avérer : long (la valeur de p pourra avoir changé entre temps) ou coûteux, voire impossible lorsque l'étude est destructrice des individus.

Statistique inférentielle 1 - Contexte de travail Statistique inférentielle On peut raisonner à partir d'un échantillon tiré au hasard dans la population. On détermine la fréquence f de la modalité dans l'échantillon, elle induit des résultats sur p avec une certaine marge d'erreur cependant.

Statistique inférentielle 1 - Contexte de travail Statistique inférentielle Deux problèmes relèvent de la statistique inférentielle : l'estimation (ponctuelle ou par intervalle de confiance...) les tests (tests d'hypothèse, tests d'adéquation...).

on cherche à savoir si p = 25 % (par exemple) estimation 1 - Contexte de travail Exemple : Supposons que l'on travaille sur la proportion p de bonbons à la menthe délivrés par un distributeur. test d'hypothèse on cherche à savoir si p = 25 % (par exemple) estimation on cherche à connaître la valeur de p.

2 - Les programmes de Premières

2 - Les programmes de Premières Les programmes de premières conduisent à travailler dans le cadre des tests d'hypothèse.

3- Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion On émet une hypothèse sur la proportion p d'un caractère qualitatif dans une population statistique. On cherche des raisons de rejeter cette hypothèse au vu d'un échantillon tiré au hasard.

1 - Contexte de travail Exemple : On travaille sur la proportion p de bonbons à la menthe délivrés par un distributeur. On cherche à savoir si p = 25 % : c'est l'hypothèse que l'on cherche à vérifier. On constitue au hasard un échantillon de 20 bonbons issus du distributeur.

3- Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion Si l'hypothèse émise est vraie, on connaît la distribution d'échantillonnage de la fréquence Fn du caractère étudié dans les échantillons de taille n. On connaît alors les valeurs de Fn les plus fréquemment observables. On observe la valeur f de Fn pour un échantillon.

On constitue au hasard et avec remise un échantillon de 20 bonbons. 1 - Contexte de travail Exemple : On constitue au hasard et avec remise un échantillon de 20 bonbons. Si la proportion de bonbons à la menthe délivrés par le distributeur est 25 %, le nombre de bonbons à la menthe de l'échantillon se distribue selon la loi binomiale de paramètres 20 et 0,25. Ce résultat nous permet de connaître la distribution de F20.

1 - Contexte de travail Exemple : Distribution de F20.

3- Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion On observe la valeur f de Fn pour un échantillon. On considère que le hasard fait bien les choses et on adopte la démarche suivante : si f ne fait pas partie des valeurs les plus fréquemment observables, on rejette l'hypothèse émise. si f fait partie des valeurs les plus fréquemment observables, on ne rejette pas l'hypothèse émise.

3- Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion Cet ensemble des valeurs les plus fréquemment observables se déterminent à l'aide d'un niveau de probabilité, en général 95 %. C'est un intervalle centré en p qui contient la valeur de Fn avec une probabilité d'au moins 95 % et qui soit d'amplitude minimale : c'est l'intervalle de fluctuation de p au niveau de probabilité de 95 %.

Travaillons au niveau de probabilité de 95 %. 3- Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion Exemple : Travaillons au niveau de probabilité de 95 %. On détermine l'intervalle centré en 0,25, d'amplitude minimale, qui contient la valeur de F20 pour un échantillon tiré au hasard avec une probabilité d'au moins 95 %.

3- Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion Exemple : L'intervalle [0,05 ; 0,45] contient F20 avec la probabilité d'environ 0,98.

Exemple : Règle de décision : 3- Démarche des tests d'hypothèse sur une proportion Exemple : Règle de décision : Si la valeur observée de F20 dans l'échantillon n'appartient pas à [0,05 ; 0,45] alors on rejette l'hypothèse que p = 25 %. Si la valeur observée de F20 dans l'échantillon appartient à [0,05 ; 0,45] alors on ne rejette pas l'hypothèse que p = 25 %.

INTERVALLE DE FLUCTUATION

1 - Dans le programme de Seconde 2009

1 - Dans le programme de Seconde 2009

1 - Dans les programmes de Première

3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation

3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Fréquence de A 14/20 15/20 16/20 17/20 18/20 19/10 20/20 Fréquence de A 0/20 1/20 2/20 3/20 4/20 5/20 6/20 7/20 8/20 9/20 10/20 11/20 12/20 13/20

3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Fréquence de A Probabilité 14/20 0,000 15/20 16/20 17/20 18/20 19/10 20/20 Fréquence de A Probabilité 0/20 0,03 1/20 0,021 2/20 0,067 3/20 0,134 4/20 0,190 5/20 0,202 6/20 0,169 7/20 0,112 8/20 0,061 9/20 0,027 10/20 0,010 11/20 0,003 12/20 0,001 13/20 0,000

3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Fréquence de A Probabilité 14/20 0,000 15/20 16/20 17/20 18/20 19/10 20/20 Fréquence de A Probabilité 0/20 0,03 1/20 0,021 2/20 0,067 3/20 0,134 4/20 0,190 5/20 0,202 6/20 0,169 7/20 0,112 8/20 0,061 9/20 0,027 10/20 0,010 11/20 0,003 12/20 0,001 13/20 0,000 p = 25 %

3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Fréquence de A Probabilité 0/20 0,03 1/20 0,021 2/20 0,067 3/20 0,134 4/20 0,190 5/20 0,202 6/20 0,169 7/20 0,112 8/20 0,061 9/20 0,027 10/20 0,010 11/20 0,003 12/20 0,001 13/20 0,000 p = 25 %

3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Fréquence de A Probabilité 0/20 0,03 1/20 0,021 2/20 0,067 3/20 0,134 4/20 0,190 5/20 0,202 0,561 6/20 0,169 7/20 0,112 8/20 0,061 9/20 0,027 10/20 0,010 11/20 0,003 12/20 0,001 13/20 0,000 p = 25 %

3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Fréquence de A Probabilité 0/20 0,03 1/20 0,021 2/20 0,067 3/20 0,134 4/20 0,190 5/20 0,202 0,561 0,807 6/20 0,169 7/20 0,112 8/20 0,061 9/20 0,027 10/20 0,010 11/20 0,003 12/20 0,001 13/20 0,000 p = 25 %

3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Fréquence de A Probabilité 0/20 0,03 1/20 0,021 2/20 0,067 3/20 0,134 4/20 0,190 5/20 0,202 0,561 0,807 0,935 6/20 0,169 7/20 0,112 8/20 0,061 9/20 0,027 10/20 0,010 11/20 0,003 12/20 0,001 13/20 0,000 p = 25 %

3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Fréquence de A Probabilité 0/20 0,03 1/20 0,021 2/20 0,067 3/20 0,134 4/20 0,190 5/20 0,202 0,561 0,807 0,935 0,983 6/20 0,169 7/20 0,112 8/20 0,061 9/20 0,027 10/20 0,010 11/20 0,003 12/20 0,001 13/20 0,000 p = 25 %

3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Fréquence de A Probabilité 0/20 0,03 1/20 0,021 2/20 0,067 3/20 0,134 4/20 0,190 5/20 0,202 0,561 0,807 0,935 0,983 0,999 6/20 0,169 7/20 0,112 8/20 0,061 9/20 0,027 10/20 0,010 11/20 0,003 12/20 0,001 13/20 0,000 p = 25 %

3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation

3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation 0,561 p = 25 %

3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation 0,807 p = 25 %

3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation 0,935 p = 25 %

3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation 0,983 p = 25 %

3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation 0,999 p = 25 %

3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation En résumé :

3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation

3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Pour l'exemple :

3 - Un exemple de détermination de l'intervalle de fluctuation Pour l'exemple :

PRISE DE DÉCISION

1 - Application à la prise de décision Programmes de Première 2011

1 - Application à la prise de décision Exemple 1 : En 2000, dans le village de Xicun, en Chine, il est né 20 enfants, parmi lesquels 16 garçons. (Source : Washington Post du 29 mai 2001.) Peut-on considérer que cette répartition est le fruit du seul hasard ?

1 - Application à la prise de décision Exemple 1 : On veut rejeter ou non l'hypothèse que la distribution des sexes des enfants nés en 2000 à Xicun est due au seul hasard. On considère que la variable aléatoire "sexe à la naissance" prend les deux valeurs fille et garçon avec la même probabilité 0,5.

1 - Application à la prise de décision Exemple 1 : Si la distribution des sexes des enfants nés en 2000 à Xicun est due au seul hasard, les 20 enfants sont assimilés à un échantillon d'enfants choisis au hasard dans la population. La distribution des sexes dans un tel échantillon suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,5. L'intervalle de fluctuation de la fréquence de garçons dans l'échantillon au niveau de probabilité de 95 % est [0,3 ; 0,7].

1 - Application à la prise de décision Exemple 1 : La fréquence de garçons observée à Xicun est 0,8 qui n'appartient pas à [0,3 ; 0,7].

1 - Application à la prise de décision

1 - Application à la prise de décision Exemple 1 : La fréquence de garçons observée à Xicun est 0,8 qui n'appartient pas à [0,3 ; 0,7]. On considère que la différence entre 0,8 et la valeur attendue 0,5 est significative et on rejette l'hypothèse que la répartition des sexes des enfants est due au seul hasard. On a pu, par la suite, établir un lien avec l’acquisition en 1999, dans ce village d’une machine à ultra-sons bon marché, permettant aux médecins de déterminer le sexe du fœtus.

1 - Application à la prise de décision Exemple 2 : Dans la réserve indienne d’Aamjiwnaag, située au Canada à proximité d’industries chimiques, il est né entre 1999 et 2003, 132 enfants dont 46 garçons. (Sources : Science et Vie février 2006 – Environmental Health Perspectives octobre 2005). Peut-on considérer que cette répartition est le fruit du seul hasard ?

1 - Application à la prise de décision Exemple 2 : On veut rejeter ou non l'hypothèse que la distribution des sexes des enfants nés entre 1999 et 2003 à Aamjiwnaag est due au seul hasard. On considère que la variable aléatoire "sexe à la naissance" prend les deux valeurs fille et garçon avec la même probabilité 0,5.

1 - Application à la prise de décision Exemple 2 : Si la distribution des sexes des enfants nés entre 1999 et 2003 à Aamjiwnaag est due au seul hasard, les 132 enfants sont assimilés à un échantillon d'enfants choisis au hasard dans la population. La distribution des sexes dans un tel échantillon suit la loi binomiale de paramètres 132 et 0,5. L'intervalle de fluctuation de la fréquence de garçons dans l'échantillon au niveau de probabilité de 95 % est approché par [0,416 ; 0,584].

1 - Application à la prise de décision Exemple 2 : La fréquence de garçons observée à Aamjiwnaag est environ 0,348 qui n'appartient pas à [0,416 ; 0,584]. On considère que la différence entre 0,348 et la valeur attendue 0,5 est significative et on rejette que la répartition des sexes des enfants est due au seul hasard. Ce résultat conduit à suspecter l'impact des usines chimiques voisines utilisant des polluants chimiques sur le sex-ratio.

1 - Application à la prise de décision

1 - Application à la prise de décision Exemple 2 :