Systèmes Electroniques Analogiques 1

S.E.A. ? L’électronique « système » : « boîte », bloc fonctionnel, modèle, association… On ne descend pas au niveau « composant », (traité en Introduction à l’Electronique) LES PRÉ REQUIS Au minimum ce qui a été traité en « remise à niveau » Relations électriques fondamentales sur R, L, C Source de tension, source de courant Loi des mailles, loi des nœuds, lois de Kirchhoff Pont diviseur de tension, pont diviseur de courant Théorèmes de Millman, de Thévenin, de Norton, de réciprocité, de superposition… Fatalement des points communs avec l’enseignement de « CIRCUIT » Des points communs avec l’enseignement de « AUTOMATIQUE » À savoir par cœur !

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« ÉLECTRONIQUE ANALOGIQUE » Sources liées et contre réaction Montages élémentaires à A. Op. Les défauts de l’amplificateur opérationnel réel

Une source liée est une source commandée : Source de tension Source de courant Commandée par une tension Commandée par un courant Cela forme 4 cas de connexion

Tension commandée par tension Tension commandée par courant Courant Source avec imperfections Re : cas général Courant commandée par tension Courant commandée par courant

Exemple de circuit à base de source commandée : Montage amplificateur (à base de modèle de transistor, dynamique petits signaux) Courant dans rπ << gm vbe Calculer vs/ve vs = - gm vbe REQ ve = vbe + vr = vbe + gm vbe RE1 vs - gm REQ = ve 1 + gm RE1

Exemple de circuits à base de sources commandées : Montages à étudier pour la préparation de TP électronique

Représentation symbolique d’une source de tension commandée par une tension soustracteur

Sources commandées et contre réaction

Sources commandées et contre réaction Un grand domaine d’application : les montages à amplificateurs opérationnels A : amplification en tension de l’Ampli. Op seul comparateur (soustracteur) Schéma bloc de l’amplificateur opérationnel seul Formalisme des schémas blocs

est le retour de l’image de la sortie sur l’entrée Sources commandées et contre réaction La contre réaction est le retour de l’image de la sortie sur l’entrée Cela forme la chaîne de retour d’un système Si la chaîne de retour fait intervenir un courant, le schéma électrique montre : Nœud de courant Le schéma bloc montre : comparateur (soustracteur) C’est un trait, pas un fil !

Le formalisme des schémas blocs est utilisé en automatique, notamment avec la notion d’asservissement chaîne directe entrée e s sortie chaîne de retour chaîne d’entrée comparateur (soustracteur) Ce schéma fonctionnel est général : Les dimensions des grandeurs aux entrées, à la sortie peuvent être de nature différente Le produit A b est sans dimension Les montages à base d’ampli Op peuvent également s’analyser et s’étudier avec les schémas blocs

Isolons la partie « boucle » : e - bs s b s Posons s, la sortie Posons e, l’entrée, placée ici D’où, en sortie du comparateur : e - bs Et donc s = A (e – bs ) s = A e – A b s s (1 + A b) = A e s A = e 1 + A b Si A b >> 1, (à vérifier systématiquement), alors : s 1 = e b

(1 + A b) est le facteur de réaction s A = e 1 + A b s 1 s i A b >> 1 = e b CAS GENERAL s a A = e 1 + A b (1 + A b) est le facteur de réaction si A b >> 1 s a = e b

Nécessité de la contre réaction, dans un montage à amplificateur opérationnel Avec un gain en tension infini, une différence ε = e+ - e- non nulle provoquera une tension de sortie qui tend vers l'infini. Une contre-réaction, qui a pour conséquence de faire chuter le gain (ce qu’on verra ultérieurement), est alors indispensable. Dans ce cas, la chaîne de retour impose ε -> 0. e+ = e-

Intérêts de la contre réaction Le gain du montage ne dépend plus de la chaîne directe e s s a A = e 1 + A b s i A b >> 1 s a = a, b robustes e b Tant que Ab >> 1, une variation de A n’a pas de conséquence : la fonction réalisée ne dépend que de a, b u u’v-uv’ dT Posons T, la fonction s/e aA = de la forme = v2 dA 1+Ab a(1+Ab) – aA b a v = = (1+Ab)2 (1+Ab)2 a dA a dA a dA (1+Ab) dA dT = Déduisons : dT = = = (1+Ab)2 T (1+Ab)2 aA (1+Ab)2 A(1+Ab) T dT dA 1 On aboutit à = T A 1+Ab

Intérêts de la contre réaction Le gain du montage ne dépend plus de la chaîne directe e s dT dA 1 = T A 1+Ab signifie : la variation relative de l’amplification de la chaîne directe est divisée par le facteur de réaction pour donner la variation relative de l’amplification du système bouclé

Un amplificateur connu par A = 1000 nominal Vérifions sur un exemple : Une chaîne de retour = 0,2 Le calcul exact, avec A nominal, donne : Vs/Ve = A/(1+Ab) = 4,975… En fait, 900 < A < 1100 c’est-à-dire une incertitude de ±10% Pour A = 900 : Vs/Ve = A/(1+Ab) = 4,97237… soit 4,97237… < Vs/Ve < 4,97737… Pour A = 1100 : Vs/Ve = A/(1+Ab) = 4,97737… => incertitude sur Vs/Ve ≈ -0,053% pour A = 900 et ≈ +0,0477% pour A = 1100 Le calcul approché donne : Ab = 1000 x 0,2 = 200 >> 1 Vs/Ve ≈ 1/b = 5 ok incertitude de ±10% => incertitude sur Vs/Ve ≈ = ± 0,05% Facteur de réaction = 200 CAS INDUSTRIEL : car dépendant de dispersion technologique, polarisation, température, alimentation… « A » incertain => Vs/Ve robuste, reproductif « b » précis, robuste car dépendant de composants passifs

Autre intérêt de la contre réaction Élargissement de la bande passante Ao A(jω)= Ao (1+jω/ω1) Ao Ao (1+jω/ω1) Vs = = = Ao b Ve 1 + (1+jω/ω1) + Ao b (1 + Aob ) [ 1 + jω/ω1 ] (1+jω/ω1) (1 + Aob ) Ao = (1+Aob) [ 1 + jω/ω’1] bande passante x facteur de réaction ω’1 = (1 + Ao b) ω1 Ao 20 log ( ) (1+Aob) (log) ω’1

Autre intérêt de la contre réaction Réduction des perturbations Supposons une entrée supplémentaire, h, représentant une perturbation sur la sortie Par superposition : Le schéma fonctionnel devient : Contribution de l’entrée e, l’entrée h étant nulle A s = e 1 + A b A 1 s = e + h 1 + A b 1 + A b Contribution de l’entrée h, l’entrée e étant nulle 1 1 s ≈ e + h b A b Sur la sortie S, la contribution de h est A fois plus faible que celle de e. 1 s = h 1 + A b

Intérêts de la contre réaction Modification des paramètres impédances d’entrée, de sortie, selon le type de contre réaction

les 4 types de contre réaction On contrôle une grandeur de sortie : une tension, un courant par une grandeur d’entrée : une tension, un courant Notation : connexion sortie / connexion entrée

Sources commandées et contre réaction Représentations par quadripôle (élec.) par schéma bloc (autom.) 1) Par une tension d’entrée On contrôle la tension de sortie entrée série sortie parallèle 2) Par un courant d’entrée entrée parallèle 3) Par une tension d’entrée On contrôle le courant de sortie sortie série 4) Par un courant d’entrée

Sources commandées et contre réaction Représentations par schéma (élec.) par schéma bloc (autom.) 1) Par une tension d’entrée On contrôle la tension de sortie 2) Par un courant d’entrée 3) Par une tension d’entrée On contrôle le courant de sortie IL IS 4) Par un courant d’entrée Ifb Ir

Sources commandées et contre réaction 1) Parallèle / série ou tension / tension A est vs/vε vs/ve = Ab >1 La chaîne de retour est le pont diviseur de tension : e+ = ve i- = 0 e- = vs R1/(R1+R2) b = R1/(R1+R2) e+ = e- vs/ve = 1 / b vs/ve = (R1+R2)/R1 ampli de tension vs/ve = 1 + R2/R1 vs/ve = 1 + R2/R1

Convertisseur courant -> tension, ampli. de transrésistance Sources commandées et contre réaction 2) Parallèle / parallèle ou tension / courant A est vs/iε vs/ie = Ab >1 La chaîne de retour est l’admittance ir/vs : vs = - R2 iR e+ = 0 b = - 1 / R2 e- = e+ i- = 0 (ampli parfait) vs/ie = 1 / b ie = ir vs = - R2 ie Convertisseur courant -> tension, ampli. de transrésistance vs/ie = - R2 vs/ie = - R2

Convertisseur tension -> courant, ampli. de transconductance Sources commandées et contre réaction 3) série / série ou courant / tension A est is/vε is/ve = Ab >1 vr = R1 is La chaîne de retour est l’impédance vr/is : e+ = ve i- = 0 (ampli parfait) b = R1 e- = R1 is e+ = e- is/ve = 1 / b ve = R1 is Convertisseur tension -> courant, ampli. de transconductance is/ve = 1/R1 is/ve = 1/R1 source de courant (constant si ve constant)

Sources commandées et contre réaction 4) Série / Parallèle ou courant / courant A est is/iε is/ie = Ab >1 La chaîne de retour est le coefficient ir/is : i- ≈ 0 (ampli parfait) R1 est en // à R2, (car e- = 0) pont diviseur de courant : ir = ie uR1 = R1 (is+ie) uR2 = - R2 ie ir = - is . R1 /(R1+R2) e+ = 0 e- = e+ e- = 0 ir / is = - R1 /(R1+R2) = b uR2 = uR1 is/ie = 1 / b - R2 ie = R1 (is+ie) ampli de courant is/ie = - (1 + R2/R1) is/ie = - (1 + R2/R1)

Modification des paramètres impédances d’entrée, de sortie, selon le type de contre réaction

1) 3) Entrée série : l’impédance d’entrée est augmentée Par Thévenin en vr : Rsfb = impédance interne du quadripôle de retour b Rem : b ou β Vfb ou vr ≈ L’impédance d’entrée est : Ri x facteur de réaction

1) 2) Sortie parallèle : l’impédance de sortie est diminuée Rem : b ou β Calcul de l’impédance de sortie, source d’entrée étant nulle Retour de Vs sur V (ve = 0) => V = -Vr car Ve= 0 is Rifb = impédance interne du quadripôle de retour b Is, courant (fléché entrant positif) : ≈ L’impédance de sortie est : R0 ÷ facteur de réaction

3) 4) sortie série : l’impédance de sortie est augmentée Calcul de l’impédance de sortie, Courant d’entrée étant nul : on injecte un courant IS à la sortie Vs Rem : b ou β Retour de Is sur i (ie = 0) => courant A iε s’écrit : i = -ir car ie= 0 ≈ L’impédance de sortie est : R0 x facteur de réaction

2) 4) Entrée parallèle : l’impédance d’entrée est diminuée Rem : b ou β Ifb ou iε Rsfb = impédance interne du quadripôle de retour b ≈ L’impédance d’entrée est : Ri ÷ facteur de réaction

RECAPITULATION 1) 3) Entrée série. l’impédance d’entrée est : Ri x facteur de réaction 1) 2) Sortie parallèle. l’impédance de sortie est : R0 ÷ facteur de réaction 3) 4) Sortie série. l’impédance de sortie est : R0 x facteur de réaction 2) 4) Entrée parallèle. l’impédance d’entrée est : Ri ÷ facteur de réaction X par (1+Ab) X par (1+Ab) R0 Ri ÷ par (1+Ab) ÷ par (1+Ab)

montage (vu en TD8 et TP « circuit système automatique ») Application n° 1: montage (vu en TD8 et TP « circuit système automatique ») 11) ampli contre réactionné On donne : ie << iR2 uRo << vs Entrée : Ve(p) Sortie : Vs(p) Identifier A, b 12) ampli contre réactionné On donne : uRo << vs A >> 1 Entrée : Ie(p) Sortie : Vs(p) Identifier A’, b

Application n° 2: Montage élémentaires à A. Op : A. Op : idéalisé avec ampli en tension Av = 105 Ri = 100 MegOhm R0 = 50 ohm R1, R2 telles que le gain en tension du montage bouclé = 20 dB Donner : le type de CR : parallèle/série ou tension/tension (cas 1) R1 Av R1 la chaîne de retour : b = le facteur de réaction : 1 + A b = 1 + R1+R2 R1+R2 Par = 10, (=> R2 = 9 R1 ) => b = 0,1 1+Ab ≈ 104 Ze = 108 104 l’impédance d’entrée : Entrée série = > Ri x facteur de réaction Ze = 1 Terra Ohm Zs = 50/104 l’impédance de sortie : Sortie parallèle => R0 ÷ facteur de réaction Zs = 5 milli Ohm

Application n° 3: Montage élémentaires à A. Op : A. Op : idéalisé avec ampli en tension Av = 105 Ri = 100 MegOhm R0 = 50 ohm ir R1, R2 telles que le gain en tension = 20 dB A = vs = Av vε iε Ri iε = - vε /Ri vε A = vs/iε = - Av Ri = - 1013 Donner : le type de CR : parallèle/parallèle ou tension/courant (cas 2) la chaîne de retour : b = iR/vs = - 1/R2 le facteur de réaction : 1 + A b Supposons R2 = 10 k, R1 = 1 k 1+Ab = 1 + 1013 10-4 ≈ 109 Ze = 108/109 l’impédance d’entrée : Entrée parallèle = > Ri ÷ facteur de réaction Ze = 0,1 Ohm (masse virtuelle) que l’on ajoute à R1 : vue de ve, impédance d’entrée est R1 l’impédance de sortie : Sortie parallèle => R0 ÷ facteur de réaction Zs = 50/109 Zs = 50 nano Ohm

Comparaison intéressante : A. Op : idéalisé avec Av = 105 Ri = 100 MegOhm R0 = 50 Ohm Ampli de tension de gain 20 dB Non inverseur Inverseur R2 = 9 kΩ, R1 = 1 kΩ R2 = 10 kΩ, R1 = 1 kΩ Ze = 1 TΩ Ze = 1 kΩ Quasi infinie Zs = 5 mΩ Zs = 50 nΩ Quasi nulle On dirait de même pour une comparaison suiveur, inverseur sans gain

Exercice de cours : calcul rapide : A. Op connu par son gain : 106 dB Résistance d’entrée : 1 MΩ Résistance de sortie : 75 Ω Par les systèmes bouclés, Atténuation de retour b : Résistance d’entrée du montage Résistance de sortie du montage 1 Vs Coefficient d’amplification = b Ve Calcul exact :

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Rappel : Schéma bloc avec entrée sur l’entrée inverseuse atténuation d’entrée Affectée du signe moins car entrée inverseuse atténuation de retour

Schéma bloc avec 2 entrées  = v2 - ( v1 + vs ) R3+R4 R1+R2 R1+R2  atténuation d’entrée v1 (affectée du signe -) atténuation de retour atténuation d’entrée v2 A Vs = (v2 a2 + v1 a1) 1+Ab 1 Vs = (v2 a2 + v1 a1) A b >> 1 b

1] Amplificateur de différence traité par les schémas blocs vs = f(V1, V2) e- = v1 R1/(R1+R2) + vs R2/(R1+R2) e+ = v2 R3/(R3+R4) e+ = e- R1+R2 R3 R1 vs = v2 - v1 R3+R4 R1+R2 R2 Si R2 = R4 et R1 = R3 Si R2 = R4 = R1 = R3 R1 1 vs = v2 - v1 vs = v2 - v1 Vs = (v2 a2 + v1 a1) R2 b

vs = f(Ve, α) R1+R2 R3 R1 vs = v2 - v1 R3+R4 R1+R2 R2 2 1 vs = ve α - 2] Application de l’amplificateur de différence : Atténuateur ajustable α : position du potentiomètre vs = f(Ve, α) R1+R2 Rappel : R3 R1 vs = v2 - v1 R3+R4 R1+R2 R2 2 1 vs = ve α - ve 2 1 Vs = (2α -1)Ve

Atténuateur ajustable, suite α : position du potentiomètre Vs = (2α -1)Ve Rappel : Si R2 = R4 = R1 = R3 vs = v2 - v1 α = 0,5 d’où Vs = 0 Vs = (2 x 0,75 -1) Ve 0,5 < α < 1  Vs = 0,5 Ve exemple : α =0,75 Coef positif Vs = (2 x 0,25 -1) Ve 0 < α < 0,5  Vs = -0,5 Ve exemple : α =0,25 Coef négatif

Amplificateur ajustable : Caractéristique de transfert statique Vs Vs = Ve α = 100 % 1 ex : α = 0,75, Vs = Ve/2 0,5 Vs = 0 Ve α = 50 % 1 α = 0 % Vs = (2α -1)Ve Vs = - Ve

Atténuateur ajustable, traité par les schémas blocs : devient : a1 = - 1/2 (si A/2 >>1) a2 = α b = 1/2 Vs = (2α -1)Ve

Schéma bloc avec a, b complexes : a(jω), b(jω) Intégrateur inverseur Vs(jω) a(jω) = Ve(jω) b(jω) (si A(jω)b(jω) >>1) Dérivateur inverseur

3] a(jω)/b(jω): Application type : déterminer us(jω)/ue(jω) Par les schémas blocs a(jω) = Pont diviseur formé par (R1, C1, R3) et (R2//C2), avec us = 0, affecté d’un signe - e- - R2 1 e- (1+jR2C2ω) a(jω) = = ue(j) (1+jR1C1ω) Somme des impédances

a(jω)/b(jω): Application type : déterminer us(jω)/ue(jω) Par les schémas blocs b(jω) = Pont diviseur formé par (R2//C2) et (R1, C1, R3) avec ue = 0 e- R1 R3 e- + (1+jR1C1ω) b(jω) = = us(j) Somme des impédances

a(jω)/b(jω): Application type : déterminer us(jω)/ue(jω) Par les schémas blocs a(jω)/b(jω): - R2 (1+jR2C2ω) 1 - R2 a(jω) Somme des impédances (1+jR1C1ω) (1+jR2C2ω) = = R1 b(jω) + (1+jR1C1ω) R3 + R1 R3 (1+jR1C1ω) Somme des impédances - R2 Req = R1//R3 (1+jR2C2ω) 1 R2 = = - R3+jR3R1C1ω (1+jR2C2ω) (1+jReqC1ω) + R1 R1+R3

a(jω)/b(jω): Application type : déterminer us(jω)/ue(jω) Par les équations de mailles, nœuds.. Thévenin Z2 = - Z1 Z2 = Z1 = R3 + ZTh Req = R1//R3 1 R2 = - (1+jR2C2ω) (1+jReqC1ω) R1+R3

R1+R2 >> R3 // R4 vérifié 4] Ampli grand gain On donne: R1+R2 >> R3 // R4 Signifie que la branche R1, R2 ne perturbe pas le pont R3 R4 En effet, par Thévenin : R3 R2 Vs R3 // R4 R3+R4 R1 R3 Courant dans la branche R1, R2 est négligeable devant celui du pont R3 R4 R3 ≡ La source de Thévenin est à vide Vs Vs R3+R4 R3+R4 R3 R1 R3+R4 R1+R2 e- = vs vs = ve R3+R4 R1+R2 R3 R1 e+ = ve 2 coefficients multiplicatifs Suggestion de valeurs numériques pour un gain en tension de 80 dB R1 = 1 kΩ R2 = 100 kΩ R3 = 1 kΩ R4 = 100 kΩ Amplification 101 x 101 = 10201 ≈ 10000 R1+R2 >> R3 // R4 vérifié 101 kΩ >> 1 kΩ

Ampli grand gain traité par les schémas blocs R3 R1 b = R1+R2 >> R3 // R4 R3+R4 R1+R2 Vs a R3+R4 R1+R2 s i A b >> 1 = Ve b = R3 R1 Autre représentation :

5] Ampli inverseur grand gain = I2 Ve - V1 Ve - V1 I1 I1 = I2 = = R1 R2 V1 R1 R2 R2 I2 I4 V1 = - Ve R1 V1 Vs - V1 I4 = I3 + I2 Pas de simplification I3 = I4 = R4 R3 V1 Vs - V1 V1 = - R4 R3 R2 Vs R3 R2 R3 R2 = - + + Ve R2 R1 R1 R4 R1 R2 R2 Vs - Ve Ve + Ve = + R4 R1 R3 R3 R1 R2 R1 Exemple numérique : R1 = 1 kΩ R2 = 100 kΩ R4 = 1 kΩ R3 = 100 kΩ Vs 1 R2 R2 Ve = - + + R3 R1 R3 R1 R4 R1 Vs = - (100 + 100 + 10000) = - 10200 ≈ - 10000 Ve

Ampli inverseur grand gain traité par les schémas blocs R2 + R34 a = - R1 + R2 + R34 R4 R1 b = R1 + R2 + R34 R3 + R4 a R2 + R34 R3 + R4 R1 + R2 + R34 = - b R1 + R2 + R34 R4 R1 Posons R34 = R3 // R4 R3 R4 R2 + R3 + R4 R3 + R4 = - Vs a s i A b >> 1 R4 = R1 Ve b R3 R2 + R2 R4+ R3 R4 R3 + R4 = - R1 R4 (R3 + R4) Autre représentation : R3 R2 R3 R2 + = - + R1 R1 R4 R1

6] Sommateur (et amplificateur) à 3 entrées : R2 RA+RB R3 R1 R3 R1 R2 vs = ve1 + ve2 + ve3 D D D RB D = R1 R2 + R2 R3 + R1 R3 Généralisable à n entrées, mais expression de plus en plus complexe RB e- = vs RA+RB « Moyenneur pondéré » R2 R1 e+ = ve1 + ve2 R1+R2 R1+R2 e+ = e- RA+RB R2 R1 vs = ve1 + ve2 R1+R2 R1+R2 RB Une entrée non connectée (flottante), modifie les coefficients

Sommateur (et amplificateur) traité par les schémas blocs RB R2 R1 b = a1 = a2 = RA+RB R1+R2 R1+R2 1 vs = (ve2 a2 + ve1 a1) b RA+RB R2 R1 vs = ve1 + ve2 R1+R2 R1+R2 RB

7] Sommateur inverseur (et amplificateur) = = I1 R1 R2 vs = - RA I I = I1 + I2 Ve1 Ve2 vs = - RA + R1 R2 RA RA vs = - ve1 + ve2 Si R1 = R2 = RA R1 R2 vs = - ve2 + ve1 « Moyenneur pondéré » Une entrée non connectée (flottante), n’a pas de conséquence vis-à-vis des autres entrées Généralisable facilement à n entrées

Sommateur inverseur traité par les schémas blocs Schéma bloc avec 2 entrées R12 Posons R1 // R2 = R12 b = RA+R12 RA2 Posons RA // R1 = RA1 a1 = - R1+RA2 RA1 a2 = - Posons RA // R2 = RA2 R2+RA1 Si Ab >>1 1 vs = (ve2 a2 + ve1 a1) b RA2 RA1 RA+R12 vs = - ve1 + ve2 R1+RA2 R2+RA1 R12 En développant, on aboutit après simplification, à : RA RA vs = - ve1 + ve2 R1 R2

8] Convertisseur Numérique Analogique Interrupteur parfait L’expression de ETH dépend de l’état de K4 c’est-à-dire de la valeur de n4.

ETh = n4 Vref/2 n4 = 0 ou 1 ETh = n4 Vref/2

ETh = n4 Vref/2 Vref Vref ETh = n4 + n3 4 2 ETh = Vref (n3/2 + n4/4) n4 = 0 ou 1 Vref Vref ETh = n4 + n3 4 2 ETh = Vref (n3/2 + n4/4) n3, n4 = 0 ou 1

Vref (n3/2 + n4/4) ETh = Vref (n2/2 + n3/4 + n4/8) n3, n4 = 0 ou 1

Convertisseur Numérique Analogique n1 n2 n3 n4 Vs = - Vref + + + 2 4 8 16 ETh = n4 Vref/2 ETh = Vref (n3/2 + n4/4) ETh = Vref (n2/2 + n3/4 + n4/8) ETh = Vref (n1/2 + n2/4 + n3/8 + n4/16) Convertisseur Numérique Analogique

9] application du Sommateur inverseur pondéré RA RA vs = - ve1 + ve2 R1 R2 En supposant les entrées A0, A1… tensions précises ou nulles, le montage est un : Convertisseur Numérique Analogique

10] montage gyrateur Ve/Ie Ie L = R1 R2 C Étude harmonique jR1C j C Par pont diviseur : e+ = Ve Par loi d’Ohm : I1 = Ve Ve/Ie 1+ j R1 C 1+ j R1 C I2 Ve Ie jR1C 1 Ve – e+ Ve Ve = (1- ) I2 = ( ) = R2 1+ j R1 C R2 1+ j R1 C R2 I1 j C 1 Ve Ie = I1 + I2 = Ve + ( ) 1+ j R1 C R2 1+ j R1 C Ve 1 Ve 1+ j R2 C = ( j C + ) = 1+ j R1 C R2 R2 1+ j R1 C Ve 1+ j R1 C Exemple :  Impédance d’entrée de ce montage : = R2 Ie 1+ j R2 C R1 = 100 kΩ Avec R1 >> R2 R1 R2 = 100 Ω 1+ j R1 C ≈ j R1 C Ze 1+ j R2 C ≈ 1 C = 0,1 µF (log) f1 = 16 Hz R2 f f2 = 16 kHz 1 Ze ≈ jR1R2C 1 L = 1 H 2R1C Homogène à jL 2R2C  {Ze} dans [160 Hz ; 1,6 kHz] environ L = R1 R2 C

11] montage avec branche de retour sur la borne e+ R1 Ie = Ve – Vs e+ = Ve Ve/Ie e- = e+ R Vs e- = Vs R + R2 R Vs = Ve R + R2 Ve/Ie R + R2 k R d’où Vs = Ve R k = -R1/R2 R + R2 R2 Ve – Vs devient : Ve - Ve = - Ve = R1 Ie R R Ve - R1 = R Ie R2 Résistance négative

12] montage avec branche de retour sur la borne e+ Expliciter IL en fonction de Ve. e- = Ve + Vs e+ = RL IL IR2 = UR2 / R2 = (Vs - e+) / R2 UR2 IL = IR2 – IR1 IR1 = e+ / R1 IR2 IR1 e+ 1 1 Vs – e+ Vs IL = - = - e+ + R1 R2 R1 R2 R2 Vs Vs Ve + Vs IL = - e+ IL = - R2 R2 Vs Ve Vs e+ = e- = - - Ve R2 R1 R2 IL = - Courant contrôlé par une tension R1 SOURCE DE HOWLAND

13] montage avec branche de retour sur la borne e+ Expliciter IL en fonction de Ve. IR1 IR2 Ve - e+ IR1 = e- = Vs R1 e+ = RL IL Vs - e+ IR2 = IL = IR2 + IR1 R2 Ve e+ Vs e+ IL = + - - R2 R1 R1 R2 Ve Vs + - e+ R1 R2 e+ = e- Ve Vs Vs IL = + SOURCE DE HOWLAND - R1 R2 Ve IL = Ve Vs Vs = Courant contrôlé par une tension + - R1 R1 R2 R2

Quel avantage permet ce montage ? 14] montage avec 2 Amplificateurs opérationnels : +15 V Vs = Vs1 – Vs2 Vs1 = Ve(1+R2/R1) Vs = f(Ve) Vs2 = - Ve(R4/R3) -15 V Supposons Ve > 0 de valeur telle que Vs1 = 15 V Vs1 +15 V et Vs2 = - 15 V Vs = 30 V Vs2 Vs est en différentiel. -15 V Vs = Ve [1 + R2/R1 + R4/R3 ] Pour des raisons de tensions d’alimentation de chaque amplificateur opérationnel, les potentiels de chaque sortie respective ne peuvent sortir de l’intervalle [ -15 V ; + 15 V ]. Plus grande dynamique en tension Quel avantage permet ce montage ? Plus de puissance

17] Montage avec une alimentation simple + VCC Schéma d’origine alimenté en ± VCC Entrée par rapport à la masse Sortie par rapport à la masse 0 V - VCC La contre réaction assure e- = e+ On décale tout de + VCC Ce potentiel de référence reste au milieu des alimentations + 2 VCC Entrée par rapport à VCC Sortie par rapport à VCC + VCC 0 V

17] Montage avec une alimentation simple, suite Coupe la composante continue E Coupe la composante continue C1 C2 f0 Entrée par rapport à la masse E Sortie par rapport à la masse On place un condensateur de découplage On fabrique un point milieu En continu, le montage est un suiveur, d’où polarisation par E/2 de e+, pour avoir E/2 en sortie de l’A.Op. En petits signaux, la broche e+ est à la masse En dynamique, le schéma de travail est équivalent à: Réponse harmonique vs(j)/ve(j) Il y a 2 étages en cascade, le deuxième ne perturbe pas le premier 

17] Montage avec une alimentation simple, suite On peut faire les 2 études séparées: RL R2 = a(j) = - RL+1/jC2 R2+ R1+1/jC1 R1+1/jC1 jRLC2 R2 b(j) = = 20 log R2+ R1+1/jC1 R1 1+jRLC2 a(j) R2 = - 0 dB 0 dB b(j)  R1+1/jC1  jR2C1 1 1 = - 1 1+jR1C1 R2C1 R1C1 RLC2 j/N = - 1+j/1 La composante continue est coupée La composante continue est coupée N = 1/R2C1 1 = 1/R1C1

17] Montage avec une alimentation simple, suite f0 Entrée par rapport à la masse E Sortie par rapport à la masse Exemple 1 1 < RLC2 R1C1 R2 20 log Réponse harmonique du circuit complet R1 0 dB  2  f0 1 1 RLC2 R1C1 Amplification R2/R1 Les fréquences faibles sont atténuées

17] Montage avec une alimentation simple, suite Même principe sur un Ampli non inverseur : En continu, le montage est un ampli Av=1+R2/R1, d’où polarisation par E/(2Av) de e+, pour avoir E/2 en sortie de l’A.Op. Puis étude –classique- en petits signaux

« ÉLECTRONIQUE ANALOGIQUE » Sources liées et contre réaction Montages élémentaires à A. Op. Les défauts de l’amplificateur opérationnel réel

Source de tension parfaite commandée par une tension : Une vue trop idéale… PLAN : Défauts intervenant dès le régime statique Défauts intervenant en régime dynamique, petits signaux Défauts intervenant en régime dynamique, grands signaux

Défauts intervenant dès le régime statique Impédance d'entrée non infinie : qq 10 MΩ (bipolaire) à qq GΩ (JFET) à qq T Ω (CMOS) Rem : la nature de Ri est différente selon la technologie Rem : ce défaut intervient également en régime dynamique Rem : appelée aussi Rdiff Conséquences : En électronique « grand public », relativement peu, d’autant plus en contre réaction à entrée série.

Défauts intervenant dès le régime statique Impédance de sortie non nulle : qq Ω à qq dizaines Ω (résistance ajoutée au sein de la puce) à qq k Ω (CMOS) Rem : ce défaut intervient également en régime dynamique Rem : en technologie bipolaire, Ro est une résistance réelle, intégrée dans la puce, placée pour éviter l’emballement thermique des transistors de sortie Conséquences : En électronique « grand public », relativement peu, d’autant plus en contre réaction à sortie parallèle.

Défauts intervenant dès le régime statique Courant de sortie limité par une électronique de protection Rem : ce défaut intervient également en régime dynamique Conséquences : Par exemple Imax = 30 mA. - Si Vsmax = 15 V, cela interdit une résistance de charge inférieure à 15/30 = 0,5 kΩ. - Peut modifier les variations de tension si appel de courant important.

Défauts intervenant dès le régime statique Amplification en tension non infinie : Av = qq 1E6 = Ao en statique Conséquences : En continu (ou très basse fréquence), relativement peu, car valeur demeurant très élevée.

Que mesure-t-on en Vs Voffset Défauts intervenant dès le régime statique Tension « d'offset » (tension de décalage) : qq µV à qq 10 µV (valeur de l’offset ramené à l’entrée) Que mesure-t-on en Vs Ao Voffset Ou VCC : SATURATION Voffset Voffset (Modèlisation)

Défauts intervenant dès le régime statique Tension « d'offset » (tension de décalage), suite Conséquences : Si le signal à transmettre est une valeur continue, cette tension d’offset faussera la valeur de Vs. (Il est très difficile de concevoir un ampli « laissant passer le DC ») De plus, cette tension résiduelle peut être gênante si amplifiée par la suite. L’offset est la conséquence d’une dissymétrie de l’étage d’entrée. On peut rattraper par une action qui contrebalance ce défaut Réglage manuel, avec tous ses défauts…

Défauts intervenant dès le régime statique Courant « BIAS » : qq nA (en CMOS, 0 A) courant continu lié à la polarisation de l’étage d’entrée de l’A.Op. Conséquences : Courant consommé sur ce qui est présenté en amont. - Tension supplémentaire en Vs : C’est ce dernier point que nous allons examiner, sur un montage de base

Montage de base Avec un A. Op. parfait, ce montage est : 1/jCω 1 Vs(jω) un intégrateur inverseur = - = - Ve(jω) R1 R1C jω Ki = - avec Ki = 1/R1C Ki est en s-1 jω A. Op. parfait Dont la réponse harmonique est :

Montage de base Conséquence des IB : À Ve = 0, on attend 0 V en sortie (A. Op sans offset, pas d’autre défaut) Si on suppose une masse virtuelle en e-, R1 est en court-circuit, donc parcourue par aucun courant, - on retrouve vs en uC. Conséquence des IB : On suppose e+ = e- et vs = 1/C ∫ ic dt IB1 = constant = iC Intégrer une constante : rampe La tension uc = vs croit en permanence, jusqu’à saturation en vs

À CAUSE DE IBIAS, CET INTÉGRATEUR SEUL NE PEUT PAS FONCTIONNER. REMARQUE IMPORTANTE : La tension uc = vs croit en permanence, jusqu’à saturation en vs À CAUSE DE IBIAS, CET INTÉGRATEUR SEUL NE PEUT PAS FONCTIONNER.

Conséquence de IBIAS : tension supplémentaire en Vs Remède : on ajoute une résistance en // IB1 = constant, que l’on peut modéliser par un générateur de courant, débité par vs et entrant dans e- C se charge, et la tension à ses bornes converge vers une valeur finie = R2 IB1. En fonctionnement, (où ve n’est plus nulle mais est un signal), par superposition, le signal en vs sera donc : une composante continue, (conséquence de IBIAS) + l’intégration inversée de ve(t) (fonctionnement de l’intégrateur inverseur) Norton / Thévenin Cette tension continue est encore un défaut, (mais ce n’est plus une valeur qui tend vers l’infini) mais on peut éventuellement y pallier. Maille équivalente vue par R2//C

Conséquence d’avoir placé R2 Mais de placer R2 modifie la fonction de transfert du montage résultant : R2/(1+jR2Cω) R2 1 Vs(jω) = - = - Ve(jω) R1 R1 1 + jR2C ω Dont la réponse harmonique est : En basse fréquence, le montage n’agit pas en intégrateur inverseur mais en amplificateur inverseur de coef R2/R1 Pour f >> 1/(2 R2C) le montage agit en intégrateur inverseur En fait, le montage s’apparente à un filtre passe bas (inverseur), donc intégrateur si f >> 1/(2  R2C)

Comment pallier cette tension supplémentaire ? Observons l’amplificateur inverseur e- = e+ = vs = En absence de R3, le signal vs est porté par une composante continue R2 IB

Défauts intervenant en régime variable petits signaux

Défauts intervenant en régime variable petits signaux Réponse harmonique de l'amplificateur opérationnel Exemple d’illustration Us Ue 20 log R2 a = - R2+R1 20 log a/b R1 b = 20 log R2/R1 R2+R1 f Réponse en fréquence du montage non liée à l’amplificateur opérationnel s a A = e 1 + A b A b >> 1, car réponse en fréquence idéale s a = e b

Défauts intervenant en régime variable petits signaux Réponse harmonique de l'amplificateur opérationnel Modèle simplifié : Ao (1+jω/ω1) Réponse harmonique de type passe bas Valeur finie La réponse harmonique du montage s’en trouve modifiée :

Ao (1+jω/ω1) s s a A = a = e e 1 + A b Ao b 1 + (1+jω/ω1) Ao Ao s a a Réponse en fréquence non idéale (1+jω/ω1) s s a A = a = e e 1 + A b Ao b 1 + (1+jω/ω1) Ao Ao s a a = = e (1+jω/ω1) + Ao b (1+Aob) [ 1 + jω ] (1+Aob)ω1 Ao a = (1+Aob) [ 1 + jω/ω’1] ω’1 = (1 + Ao b) ω1 A b >> 1 s a En hautes fréquences, le montage n’amplifie plus ! = e b En basses fréquences, inchangé ω’1

Défauts intervenant en régime variable petits signaux Réponse harmonique de l'amplificateur opérationnel Autres modèles simplifiés, plus réalistes : Type 2 Type 1 Les amplificateurs opérationnels dont la réponse en fréquence est de ce type peuvent, selon le montage, être instable Vu en TP élec erii3, Étudié sur le plan théorique en cours SEA3, erii4 La notion d’instabilité sera vue en automatique (erii3)

Défauts intervenant en régime variable, ou continu, petits ou grands signaux : mode commun ε/2 Vmc ε ε/2 Vs = Av. ε Vmc est le potentiel milieu entre e+ et e- Il existe un potentiel non nul sur les broches e+ et e-. La conséquence est la contribution de ce potentiel sur Vs Amplification en mode commun

mode commun, suite ε Très généralement, sur un amplificateur opérationnel, la tension de mode commun (Vmc) est très supérieure à la tension différentielle (ε), mais l’amplification en mode commun (Amc) est très très inférieure à l’amplification différentielle (Av) … D’ailleurs, on définit le taux de réjection en mode commun (TRMC) ou par "common mode rejection ratio" (C.M.R.R.) en dB, par : 20 log | Av / Amc |. Idéalement, le CMRR est infini

ε mode commun, suite Exemple 1 : Av = 1E6, Amc = 3 CMRR = 20 log | Av / Amc | = 20 log 1E6 / 3 = 110 dB Exemple d’application numérique : ε de l’ordre de 10 µV Potentiel en e+ = potentiel en e- = Vmc de l’ordre de 0,5 V Dans ces conditions, le terme principal en vs reste Av ε Vs est composé de 2 termes : 10 V et 1,5 V Exemple 2 : Av = 1000, Amc = 0,1 Le potentiel de e+ ≈ le potentiel de e- ≈ Vmc Allure de vs(t) CMRR = 20 log 1000/0,1 = 80 dB Vs = 1000 ε + 0,1 . 10

mode commun, suite Exemple 3 : Av = 10, Amc = 0,2 CMRR = 20 log 10/0,2 = 34 dB Allure de vs(t) Signal utile d’amplitude 10 mV, période 1 ms 20 mV 10 mV 0 V 1 kHz 50 Hz + « ronflette » d’amplitude 20 mV, période 20 ms

mode commun, suite Le modèle qui ne montre que Ri est incomplet. Vis-à-vis de la masse, les broches e+ et e- présentent également une résistance : Ces résistances sont de très forte valeur, et n’ont pas de conséquence pour des montages usuels grand public

Défauts intervenant en régime variable grands signaux

Défauts intervenant en régime variable ou continu grands signaux Saturation : |VS | < | VCC | – | Chute de tension interne | Conséquences : Même si dans certaines technologies, Vsmax est quasiment VCC, se souvenir que la tension de sortie est forcément limitée !

Défauts intervenant en régime variable grands signaux Slew rate (vitesse de balayage) La tension de sortie d’un amplificateur opérationnel ne peut pas croître plus rapidement qu’une pente max, appelée slew rate, (liée à la constitution interne de l’A.Op). en régime sinusoïdal, la tension de sortie est déformée si on travaille à forte amplitude et/ou à fréquence élevée (quel que soit le montage). Si le signal de sortie s'écrit vs = Vmax sin ωt, sa variation dvs/dt sera la plus élevée au passage à zéro de la sinusoïde, et s'écrit : ω Vmax. Le signal en sortie d'un amplificateur Op. restera sinusoïdal tant que : SR > ω Vmax. Exo : Ampli Op donné pour S.R. 0,5 V/µs. On désire un signal sinusoïdal à Vmax = 1 V. Jusqu’à quelle fréquence est-ce possible ? Vérifié tant que 0,5 E6 > ω, soit f < 500 000 / 2 = 80 kHz

Défauts intervenant en régime variable grands signaux Slew rate (vitesse de balayage) SR > ω Vmax. SR ou f < pour signal sinusoïdal 2  Vmax Soit, sur une échelle log, log : Si on veut un signal (encore) sinusoïdal en sortie de l’amplificateur opérationnel à 1 V d’amplitude et 800 kHz de fréquence, il faut choisir un A. Op donné pour SR > 5 V / µs.