Analyses typologiques But : Classer en groupes (les plus homogènes possibles) des unités statistiques en partant d’un ensemble de variables. Supposition préalable : Les regroupements existent ou peuvent exister. Remarque : La typologie, une fois constituée, peut devenir un nouveau critère de description et/ou d’analyse. Méthodes hiérarchiques Deux grands types de méthodes typologiques : Méthodes non-hiérarchiques

La Classification Hiérarchique Représenter les individus par un ensemble de parties hiérarchiquement emboîtées. Méthode « descendante » Méthode « ascendante » Du groupe aux individus Des individus au groupe Les différents regroupements peuvent être représentés graphiquement à l’aide d’un dendrogramme.

Classification Hiérarchique Méthode « descendante » Méthode « ascendante »

Classification Hiérarchique Méthode « ascendante » Etape n°1 Etape n°2 Etape n°3 1 3 4 2 5 1 3 4 2 5 1 3 4 2 5 Etape n°4 Etape n°5 1 3 4 2 5 1 3 4 2 5

Classification Hiérarchique On ne définit pas a priori le nombre de classes Utilisation du dendrogramme Remarque : ® le nombre d’individus doit au moins être deux fois supérieur au nombre de variables.

Exemple élémentaire 1 2 3 4 5 6 Cinq points dans un plan Distances euclidiennes 1 2 3 4 5 6 Regroupement : 1 et 3 Nouvel individu 6 Iintra = 0 Iintra = 1

Distances euclidiennes Regroupement 2 et 5 Distances euclidiennes 1 2 3 4 5 6 7 Iintra = 0 Iintra = 2 Regroupement : 2 et 5 Nouvel individu 7

Distances euclidiennes Regroupement 4 et 6 Distances euclidiennes 1 2 3 4 5 6 7 Iintra = 2 Iintra = 6 8 Regroupement : 4 et 6 Nouvel individu 8

Regroupement 7 et 8 et dendrogramme 1 3 4 2 5 6 7 8 9 13 1 2 3 4 5 6 7 Iintra = 6 Iintra = 13 8

INERTIE TOTALE = INERTIE INTER + INERTIE INTRA Si on regroupe x (de poids m) et x’ (de poids m’) en y = Contribution de y à l’inertie Contribution du couple x x’ à l’inertie

4 individus : A B C D 4 POINTS dans un espace de dimension 4 4 variables : V1 V2 V3 V4 Coordonnées du centre de gravité du nuage : V1 V2 V3 V4 A 5 10 13 4 B 16 7 6 1 C 8 15 14 3 D 9 2 11 12 9,5 8,5 11 5 4,5²+1,5²+2²+1² 6,5²+1,5²+5²+4² Inertie totale : 262 1,5²+6,5²+3²+2² 0,5²+6,5²+0²+7² Carré de la distance entre A et B : 188 11² + 3² + 7² + 3² Perte d’inertie consécutive au regroupement de A et B : 94 EXEMPLE Poids de A Poids de B

On regroupe A et C en une classe notée E de poids 2 DISTANCES A B C D 188 36 148 196 220 260 On regroupe A et C en une classe notée E de poids 2 PERTES D’INERTIE A B C D 94 18 74 98 110 130

Carré de la distance entre E et F : 134 V1 V2 V3 V4 A 5 10 13 4 B 16 7 6 1 C 8 15 14 3 D 9 2 11 12 E : 6,5 12,5 13,5 3,5 DISTANCES B D E 220 183 195 Carré de la distance entre E et F : 134 On regroupe E et F en G Perte d’inertie : 134 PERTES B D E 110 122 130 F : 12,5 4,5 8,5 6,5

1 2 3 18 110 134 24 92

CLASSIFICATION NON HIERARCHIQUE Méthode des « nuées dynamiques » Agrégation autour de centres mobiles Dans cette méthode, on définit au préalable le nombre de classes qu’on veut obtenir dans la partition finale EXEMPLE 6 individus (ABCDEF) et 2 variables A B C D E F Var 1 2 3 6 8 7 9 Var 2 1 5 On décide d’une partition en 2 classes On choisit au hasard les deux premiers « centres » : C et F

Carré de la distance à C Carré de la distance à F Centre le + proche A B C D E F Var 1 2 3 6 8 7 9 Var 2 1 5 ABCE ABC Poids :4 Poids :3 G1 : 4,5 3,5 G’1 DEF DF Poids :2 Poids :3 G2 : 8,5 6,5 G’2 Et ainsi de suite… Centres initiaux : C et F Carré de la distance à C Carré de la distance à F Centre le + proche A B C D E F Carré de la distance à G1 Carré de la distance à G2 12,5 32 72,5 74 G1 C 4,5 18 50,5 52 G1 C G1 4,5 8,5 10 C 24,5 0,5 G2 F 8 2 12,5 2 2,5 4 G2 C 26,5 10 0,5 G2 F