Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n°5 : Les oscillations libres amorties et non-amorties

Introduction (1) Je vous souhaite la bienvenue à cette cinquième leçon du cours de vibration et ondes mécaniques. Cette leçon s’intitule « oscillations libres des systèmes non-amortis et amortis à un degré de liberté ». Cette leçon marque le début du deuxième chapitre de ce cours dont le thème est les oscillations à un degré de liberté en général. L’étude des systèmes à un degré de liberté en général. L’étude des systèmes à un degré de liberté est importantes car tous les systèmes mécaniques et toutes les structures qui oscillent peuvent être idéalisées comme de simples systèmes à un degré de liberté. Nous avons vu dans les leçons précédentes le moteur avec arbre à cames en tête ou un building à un ou plusieurs étages que l’on peut idéaliser par des systèmes à un degré de liberté, ce qui nous donne une première approximation à l’analyse des vibrations de notre système. Dans ces systèmes, seulement une coordonnée est suffisante pour spécifier la position de la masse de notre corps, à laquelle aucune force extérieure n’est appliquée dans le cadre de la leçon d’aujourd’hui. Si il y’a aucune dissipations d’énergie durant le nouveau de la masse, nous l’avons déjà vu, nous avons un système non-amortis et l’amplitude du mouvement est constante dans le temps.

Introduction (2) En pratique, sauf dans le vide, l'amplitude des vibrations libres diminue graduellement avec le temps à cause de la résistance du milieu environnant. Ces vibrations sont dites amorties. Cette leçon commence par les oscillations libres non amortis que nous revoyons avec des exemples de la vie courante tels que les oscillations d'un château d'eau, les vibrations résultant d'un impact d'un système de poulies. Nous aborderons par la suite les oscillations libres avec amortissement visqueux en posant l'équation du mouvement. Nous verrons que les solutions de cette équation offrent trois possibilités. La première qu'on appelle l'amortissement sous-critique est la plus intéressante pour ce cours car elle donne lieu à des oscillations. La deuxième qu'on appelle l'amortissement critique fait que la masse retourne à sa position d'équilibre dans le temps le plus cours. Cette solution a aussi des applications pratiques. La troisième solution qu'on l'approximation sur-critique montre que le mouvement de la masse diminue exponentiellement avec le temps. Nous verrons des notions utiles telles que le décrément logarithmiques pour l'interprétation des courbes expérimentables et l'énergie dissipée dans un amortissement visqueux.

Introduction (3) Des exemples pratiques de la vie courante seront là aussi résolus tels que la réponse de l'enclume d'un marteau-pilon qui sont des machines utilisées par les forgerons, la conception d'un amortisseur de vélomoteur ou de voiture et l'amortissement d'un canon ou de voiture et l'amortissement d'un canon avec son mécanisme de rappel qui doit le ramener, pour des raisons évidentes, à une position fixe dans le temps le plus court et sans oscillations. La troisième partie de cette leçon détaillera la théorie des oscillations libres avec amortissement sec aussi appelé amortissement de Coulomb. Nous verrons que dans ce cas, l'amplitude diminue de façon linéaire, c'est-à-dire que l'enveloppe des oscillations est droite alors que pour l'amortissement que l'amortissement visqueux, l'enveloppe des oscillations est une exponentielle négative. Finalement, en dernière partie de cette leçon, nous utiliserons MATLAB pour trouver des solutions numériques pour les différentes notions que nous aurons à développer dans cette leçon, c'est-à-dire les oscillations libres non amorties, les oscillations amorties avec amorties visqueux et les oscillations amorties avec amortissement

Idéalisation d’une structure à un étage Les systèmes mécaniques ou structurels peuvent être idéalisés comme de simples systèmes à un degré de liberté. x(t) Étage Masse m Colonnes élastiques Masse négligeable (a) Ossature de la structure (b) Système masse-ressort équivalent k m

Equation du mouvement par application du principe de Newton Procédure à suivre : Sélectionner la coordonnée appropriée pour décrire le système . Déterminer la position d'équilibre statique du système et mesurer le déplacement de la masse à partir de cette position d'équilibre statique. Dessiner un diagramme des forces de la masse lorsque un déplacement et une vitesse positive lui sont données. Indiquer les forces actives et réactives qui agissent sur la masse. Appliquer la deuxième loi de Newton qui dit que la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement est égale à la résultante des forces qui agissent sur la masse, si m est constant:

Système masse-ressort

Equation du mouvement par application de la conservation de l’énergie ou de l’équation de Lagrange

Oscillations libres non-amortis

Exemple 1 : Réponse harmonique d’un château d’eau La colonne d'un château d'eau a une hauteur de 90 m et est faite de béton armée avec une section tubulaire de diamètre intérieur de 2,4 m et de diamètre extérieur de 3 m. Le réservoir plein d'eau pèse 2J,7.105 kg. En négligeant la masse de la colonne et en supposant que le module d'Young pour du béton armé est de 2,7.1010 N/m2, déterminer : La fréquence naturelle et la période des vibrations transversales du réservoir, 2. La réponse vibratoire du réservoir suite à un déplacement initial de 25 cm, 3. La valeur maximale de la vitesse et de 1’accélération à laquelle est soumis le réservoir.

Exemple 1 : Réponse harmonique d’un château d’eau, solution

Exemple 2 : Oscillations libre résultante d’un impact Une poutre supporte une masse M à son extrémité libre. Une masse m tombe sur la masse M d'une hauteur h et adhère à la masse M sans rebondir. Déterminer la vibration transversale résultante de la poutre :

Exemple 2 : Oscillation libre résultante d’un impact, Solution Les conditions initiales du problème :

Exemple 3 : Fréquence naturelle d’un système de poulies Énoncé : Déterminez la fréquence naturelle du système de la figure, on négligera les frottements et on supposera que la masse des poulies est négligeable.

Exemple 3 : Fréquence naturelle d’un système de poulies, solution

Exemple 4 : Analyse de la stabilité d’un mouvement vibratoire

Exemple 4 : Analyse de la stabilité d’un mouvement vibratoire (suite) Pour les petites oscillations : La solution de l’équation dépend du signe de (12Kℓ2 – 3 mgℓ)

Exemple 4 : Analyse de la stabilité d’un mouvement vibratoire (suite) Si Cas n°1 Cas n°2 Cas n°3 (t) croit exponentiellement avec le temps, le mouvement est instable.

Oscillations libres avec amortissement visqueux Pour un système masse-ressort ou équivalent L’équation caractéristique

Oscillations libres avec amortissement visqueux (Suite) La solution générale de l’équation est donnée par : C1 et C2 sont des constantes arbitraires à déterminer à partir des conditions initiales.

Constante d’amortissement critique et rapport d’amortissement La valeur particulière c pour laquelle le radical s’annule est appelée constante d’amortissement critique On définit le rapport d’amortissement  (lire zêta) par : Avec ces définitions : La solution de l’équation différentielle devient :

Comportement d’un système libre amorti Les racines 1,2 et donc le comportement du système dépend de . Pour =0, nous avons des oscillations libres. Si  ≠0, il y’a trois comportements possibles <1, l’amortissement est sous critique, 2 -1<0

L’amortissement sous-critique Chaque équation contient deux constantes à déterminer à partir des conditions initiales On trouve On définit la fréquence des vibrations amorties Le facteur e-t traduit une diminution exponentielle de l’amplitude des vibrations.

L’amortissement sous-critique (suite)

L’amortissement critique 2- =1, l’amortissement est dit « critique » Les conditions initiales Cette solution montre que le mouvement est apériodique (non périodique). Ce système possède le plus petit amortissement possible. La masse retourne à sa position d’équilibre dans le temps le plus court. Cette propriété possède divers applications pratiques .

L’amortissement sur-critique 1 et 2 sont réelles et distinctes La solution s’écrit : avec Le mouvement est apériodique et diminue exponentiellement avec le temps.

Comparaison de mouvements pour les différents types d’amortissements

Décrément logarithmique Défini comme le logarithme du rapport entre deux amplitudes successives d’un mouvement libre amorti sous-critique : avec t2=t1+T où = période des oscillations amortis Pour des petits amortissements, << 1, =2  

Energie dissipée dans un amortissement visqueux La variation de l’énergie avec le temps est donnée par : On suppose un mouvement harmonique : L’énergie dissipée pendant un cycle s’écrit : On définit l’amortissement spécifique (où W est l’énergie totale) pour comparer la capacité d’amortissement de différents matériaux :

Système de torsion avec amortissement visqueux Pour les systèmes de torsion : Les résultats présentés pour les vibrations linéaires avec amortissement visqueux peuvent être directement utilisés : où tc représente la constante d’amortissement critique de torsion.

Exemple 5 : réponse de l'enclume d’un marteau-pilon L' enclume d'un marteau pilon pèse 5,000 N et est monté sur une fondation de raideur 5xl06 N/m et de coefficient d'amortissement visqueux de 10 000 N.s/m. Durant une opération de forge particulière, le marteau de poids P=1000N est lâché d'une hauteur de 2m sur l'enclume. L'enclume est au repos avant l'impact. On supposera que le coefficient de restitution entre l'enclume et le marteau est de 0,4. Ce coefficient est le rapport des différences de vitesses après et avant la collision.

Exemple 5 : réponse de l'enclume d’un marteau-pilon, solution Conservation de la quantité du mouvement : Le coefficient de restitution Solution  Les conditions initiales de l’enclume :

Exemple 5 : réponse de l'enclume d’un marteau-pilon, solution

Exemple 6 :Conception d’un amortissement de vélomoteur Enoncé : On veut concevoir un amortisseur pour un vélomoteur de masse m=200kg. Quand l’amortisseur est sujet à une vitesse initiale due à une secousse venant d’une déformation de la route, la courbe déplacement-temps résultante est comme celle indiquée sur la figure. (a)Trouver la raideur et la constante d’amortissement nécessaire de l’amortisseur si la période de vibration doit être égale à 2 sec et l’amplitude x1 doit être réduite à un quart de l’amplitude initiale en une demi période . (b) Trouver aussi la vitesse initiale minimale qui donne un déplacement maximum de 250 mm.

Exemple 6 : Conception d’un amortissement de vélomoteur, solution (a) Puisque Le décrément logarithmique devient : La période des oscillations amorties est de 2 sec, donc : La constante d’amortissement critique est : La constante d’amortissement est donc : La raideur est égale à :

Exemple 6 : Conception d’un amortissement de vélomoteur, solution (suite) (b) , deux possibilités : qui correspond à un maximum de x(t) qui correspond à un minimum de x(t)

Exemple 7 : Amortissement d’un canon Le schéma simplifié d’un grand canon est montré sur la figure. Quand le canon tire un boulet, des gaz de haute pression accélèrent le projectile à l’intérieur d’un baril à une vitesse très élevée. La force de réaction qui en résulte pousse le baril dans la direction opposée du projectile. Puisqu’il est désirable de ramener le baril à la position fixe dans le temps le plus court sans oscillations, on utilise l’amortissement critique d’un système ressort-amortisseur qu’on appelle le mécanisme de rappel. On supposera que le baril du canon et le mécanisme de rappel ont une masse de 500 kg, et que le ressort à une raideur de 10 000N/m. Le baril recule de 0,4 m après un tir. Trouver : 1- Le coefficient d’amortissement critique de l’amortisseur. 2- La vitesse initiale de rappel du canon. 3- Le temps mis par le canon pour retourner à la position égale à 0,1 m de sa position initiale.

Exemple 4 : Amortissement d’un canon (Solution)

Oscillations libres avec amortissement sec Quand deux corps sont en contact, la loi de coulomb sur les frictions sèches dit que la force nécessaire pour qu’il y’ait glissement est proportionnelle à la force normale N agissant sur le plan de contact. L’amortissement sec est un amortissement constant car indépendant du déplacement et de la vitesse.

Oscillations libres avec amortissement sec, équation du mouvement Puisque la friction varie avec la direction de la vitesse, nous devons considérer deux cas : Durant le demi cycle pendant lequel la masse bouge de gauche à droite, la force de friction est négative la solution de cette équation est : 2- Durant le demi cycle pendant lequel la masse bouge de droite à gauche, la force de friction est positive

Oscillations libres avec amortissement sec, solution de l’équation du mouvement Supposons les conditions initiales donc le système commence son mouvement avec une vitesse nulle et de droite à gauche. Nous sommes dans le second cas. On trouve La solution devient Cette solution est valable seulement pour un demi cycle, c’est à dire Au temps , la masse sera à sa position extrême gauche, son déplacement est donné par Puisque le mouvement commença au temps t=0 à la position x=x0, au temps t =0 la réduction de la grandeur x est 2 N/k

Oscillations libres avec amortissement sec, solution de l’équation du mouvement (suite) Pendant le 2ème cycle, les conditions initiales sont : Les constantes d’intégration deviennent : La solution complète de l’équation du mouvement pour le deuxième demi-cycle est :

Oscillations libres avec amortissement sec, solution de l’équation du mouvement (suite) À un temps plus tard, nous aurons : Qui sont les conditions initiales pour le troisième demi-cycle Cette procédure peut être continuée jusqu’à l’arrêt de la masse m. Le mouvement s’arrêtera lorsque Le nombre de demi-cycles r qui se seront écoulés satisfait la relation :

Mouvement d’une masse avec l’amortissement de Coulomb Oscillations libres avec amortissement sec, solution de l’équation du mouvement (suite) Mouvement d’une masse avec l’amortissement de Coulomb

Systèmes de torsion avec amortissement sec, Nous aurons les mêmes équations à chaque demi-cycle La fréquence et l’amplitude de mouvement à la fin du cycle r sont : Le mouvement cesse quand :

Exemple 8 : coefficient de friction à partir de mesures de la position de la masse Un bloc métallique placé sur une surface rugueuse est attachée à un ressort. On lui donne un déplacement initial de 10 c, à partir de sa position d'équilibre. Après cinq périodes d'oscillation en 2 secondes, la position finale du bloc métallique donne la mesure 1 cm à partir de la position d'équilibre. Trouver le coefficient de friction entre la surface et le bloc métallique.

Exemple 9 : Oscillations libres d’un système masse-ressort non amorti utilisant MATLAB Soit un système masse-ressort avec une masse de 20 kg et une raideur de ressort de 500 kg/s2 et sujet à un déplacement initial de X0=4cm/s. Faire les graphes donnant la variation avec le temps du déplacement de la vitesse et de l'accélération de la masse en utilisant MATLAB. Solution :

Exemple 9 : Oscillations libres d’un système masse-ressort non amorti utilisant MATLAB (suite)

Exemple 9 : Oscillations libres d’un système masse-ressort non amorti utilisant MATLAB (suite)

Exemple 10 : Oscillations libres d’un système avec amortissement visqueux utilisant MATLAB Développer un programme général pour trouver la réponse des oscillations libres d'un système soumis à un amortissement visqueux. Utiliser les valeurs suivantes : m = 450kg ; k= 26519,2 ; α =1000 ; x0 =0,539657 et Solution : Le programme a été écrit pour accepter les valeurs suivantes : m= masse k= raideur du ressort C=constante d'amortissement x0 =déplacement initial x0 =vitesse initiale n = nombre d'incréments de temps pour trouver les x(t) Delt = intervalle de temps t Le programme donne les outouts suivants : itération i, temps (i), le programme donne aussi un graphe en fonction du temps de

Exemple 10 : Oscillations libres d’un système avec amortissement visqueux utilisant MATLAB (suite)

Exemple 10 : Oscillations libres d’un système avec amortissement visqueux utilisant MATLAB (suite)

Exemple 11 : Oscillations libres d’un système masse-ressort avec amortissement de Coulomb Trouver la réponse des oscillations libres d'un système masse-ressort sujet à un amortissement de Coulomb pour les valeurs initiales suivantes : données : m= 10kg , k=200N/m , =0,5 Solution : L'équation du mouvement s'écrit : On utilise la méthode de Runge Kutta (on lui fait appel) qui demande à ce qu'on réécrive l'équation du mouvement comme deux équations du premier ordre comme suit : Ces deux équations s'exprime en notation matricielle où

Exemple 11 : Oscillations libres d’un système masse-ressort avec amortissement de Coulomb (suite)

Exemple 11 : Oscillations libres d’un système masse-ressort avec amortissement de Coulomb (suite)

Conclusion Pour conclure cette leçon où nous avons détaillé les oscillations libres non-amorties et amorties des mouvements à un degré de liberté, il faut rappeler que ce cours a été divisé en quatre parties. Nous avons d'abord traité de nouveau 'les oscillations libres non amorties om notre théorie a été agrémentée par des exemples pratiques tels que les oscillations d'un château d'eau, les oscillations d'un ensemble de poulies et la stabilité des oscillations d'une tige. La deuxième partie de cette leçon a détaillé tout ce qui concerne les oscillations libres avec amortissement visqueux. Trois solutions possibles ressortent de l'équation du mouvement du système. L'amortissement sous critique qui donne lieu a des oscillations et qui est donc le plus intéressant pour ce cours. Nous avons vu que pour cet amortissement l'amplitude diminuait de manière exponentielle. Nous avons défini le décrément logarithmique qui est une notion utile pour interpréter des courbes expérimentales et nous avons calculé l'énergie dissipée dans un amortissement visqueux. La deuxième solution possible est l'amortissement critique où la masse retourne à sa position d'équilibre dans le temps le plus court. La troisième solution est appelée amortissement sur critique. Dans ce cas l'amplitude est une exponentielle négative. Nous avons vu dans cette leçon que pour les système de torsion avec amortissement visqueux, les mêmes résultats que pour les mouvements linéaires peuvent être utilisés. La troisième partie de ce cours a traité la physique des oscillations libres avec amortissement sec, aussi appelé amortissement de Coulomb. Nous avons vu dans ce cas les enveloppes de l(amplitude étaient deux droites donc que celle-ci diminuait de manière linéaire et non exponentielle comme dans le cas de l'amortissement visqueux. Nous avons enfin en dernière partie de cette leçon traité toutes les formes d'oscillations libres amorties et non amorties de manière numérique à travers MATLAB, ce qui ouvre la vois à la résolution d'exercice plus complexe. Je vous donne rendez-vous la prochaine leçon qui traitera des oscillations à un degré de liberté soumis à une force sinusoïdale. A très bientôt.