COMPRENDRE : Lois et modèles Chapitre 6 : Application des lois de Newton et des lois de Kepler.

I-Mouvement dans un champ uniforme Champ de pesanteur uniforme : La Terre crée, en un point de son voisinage, un champ de pesanteur 𝒈 = 𝑷 𝒎 défini par : - sa direction verticale - son sens, vers la Terre - sa valeur, dépendant du lieu. Remarque: Ce champ est uniforme dans une région de l’espace lorsque sa direction, son sens et sa valeur sont les mêmes en tout point de cette région. On peut considérer que dans une zone d’étude peu étendue (cube d’environ 1 km de côté), que le champ de pesanteur est uniforme.

𝒂 = 𝒈 = 𝑪𝒕𝒆 Mouvement d’un point matériel: Observation : lancé d’une balle vers le fond de la salle de classe. Quelle est sa trajectoire? On lance la balle dans l'air avec une vitesse initiale vo faisant un angle quelconque avec l'horizontale. Le mouvement du point G, centre d'inertie du solide s'effectue dans le plan vertical (O,x,z). Sa trajectoire est parabolique. Si on décompose le mouvement du projectile suivant l'axe vertical et horizontal on observe -sur la verticale un mouvement uniformément accéléré tel que az = -g. - sur l'axe horizontal le mouvement est rectiligne uniforme. Son accélération ax = 0. Le vecteur accélération est constant et est égal au vecteur champ de pesanteur g 𝒂 = 𝒈 = 𝑪𝒕𝒆

? ? ? ? Etude mécanique de ce mouvement: 𝑭 𝒆𝒙𝒕= 𝑷 + 𝝅 + 𝒇 Pour étudier le mouvement d’un objet, il est nécessaire d’effectuer une étude mécanique. Elle se fait en 5 étapes essentielles : 1) Définir le système : balle de masse m 2) Définir le référentiel : référentiel terrestre supposé galiléen 3) Définir le repère : cartésien, orthonormé, lié au référentiel (O ; 𝑖 ; 𝑘 ) 4) Faire le bilan des forces extérieures s’appliquant au système: 𝑭 𝒆𝒙𝒕= 𝑷 + 𝝅 + 𝒇 Avec : 𝑷 : vecteur poids de l’objet 𝝅 : poussée d’Archimède 𝒇 : force de frottement de l’air Donc 𝑭 𝒆𝒙𝒕≈ 𝑷 ? ? ? ? La poussée d'Archimède peut-être négligé car le poids du volume d'air déplacé est négligeable devant le poids de l'objet. De plus pour de faible distance parcourue et des vitesses de déplacement faibles, on pourra négliger les forces de frottement de l'air sur le projectile.

Etude mécanique de ce mouvement: 5) Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique (noté PFD) ou seconde loi de Newton : La masse de la balle se conserve au cours du mouvement donc le PFD s’écrit : 𝑭 𝒆𝒙𝒕=𝒎 . 𝒅( 𝒗 ) 𝒅𝒕 =𝒎 . 𝒂 Or 𝑭 𝒆𝒙𝒕= 𝑷 =𝒎. 𝒈 D’où 𝐦. 𝒂 =𝒎. 𝒈 Soit 𝒂 = 𝒈 Conclusion : Le vecteur accélération est constant, le mouvement est uniformément accéléré.

Equation horaire du mouvement: A l'aide de l'étude mécanique et des conditions initiales, on peut déterminer les équations horaires du mouvement: ax(t), az(t), vx(t), vz(t), x(t) et z(t).

Equation horaire du mouvement: Les conditions initiales, à t = 0 les vecteurs positions et vitesses ont pour coordonnée : V0 cos α OM (0) V (0) V0 sin α h α est l’angle fait par le vecteur vitesse initiale avec l’axe horizontal.

𝑎 𝑡 𝑎𝑥(𝑡)=0 𝑎𝑧(𝑡)=−𝑔 𝑣 𝑡 𝑣𝑥(𝑡)=𝑉0 cos 𝛼 𝑣𝑧(𝑡)=−𝑔.𝑡+𝑉0 sin 𝛼 Equation horaire du mouvement: D’après le PFD écrit précédemment : 𝒂 = 𝒈 Donc on peut écrire, en projetant sur les axes de notre repère : 𝑎 𝑡 𝑎𝑥(𝑡)=0 𝑎𝑧(𝑡)=−𝑔 Déterminons les équations horaires des coordonnées du vecteur vitesse en calculant la PRIMITIVE du vecteur accélération : 𝑣 𝑡 𝑣𝑥=𝐶1 𝑣𝑧=−𝑔.𝑡+𝐶2 Donc d’après les conditions initiales : 𝑣 0 𝑣𝑥(0)=𝐶1=𝑉0 cos 𝛼 𝑣𝑧 0 =𝐶2=𝑉0 sin 𝛼 𝑣 𝑡 𝑣𝑥(𝑡)=𝑉0 cos 𝛼 𝑣𝑧(𝑡)=−𝑔.𝑡+𝑉0 sin 𝛼 Qu’est-ce qu’une PRIMITIVE : opération inverse de la dérivée donc si ax est la dérivée de vx par rapport au temps, alors vx est la primitive de ax par rapport au temps.

𝑂𝑀 𝑡 𝑥=𝑉0 cos 𝛼 .𝑡+𝐶3 𝑧=− 1 2 𝑔. 𝑡 2 +𝑉0 sin 𝛼 .𝑡+𝐶4 Equation horaire du mouvement: Déterminons les équations horaires des coordonnées du vecteur position en calculant la PRIMITIVE du vecteur vitesse : 𝑂𝑀 𝑡 𝑥=𝑉0 cos 𝛼 .𝑡+𝐶3 𝑧=− 1 2 𝑔. 𝑡 2 +𝑉0 sin 𝛼 .𝑡+𝐶4 Donc d’après les conditions initiales : 𝑂𝑀 0 𝑥 0 =0=𝐶3 𝑧 0 =ℎ=𝐶4 𝑂𝑀 𝑡 𝑥(𝑡)=𝑉0 cos 𝛼 .𝑡 𝑧(𝑡)=− 1 2 𝑔. 𝑡 2 +𝑉0 sin 𝛼 .𝑡+ℎ

Trajectoire d’un point: La trajectoire d’un point est l’ensemble des positions successives occupées par ce point pendant le mouvement. L’équation de la trajectoire est la relation liant les ordonnées et les abscisses du point à chaque instant soit l’équation z = f(x). Pour déterminer la trajectoire de la balle, nous allons utiliser les équations horaires x(t) et z(t) : Donc 𝑥=𝑉0 cos 𝛼 .𝑡 𝑧=− 1 2 𝑔. 𝑡 2 +𝑉0 sin 𝛼 .𝑡+ℎ On exprime t en fonction de x dans la première. Puis on injecte cette expression dans la seconde. 𝑡= 𝑥 𝑉0 cos 𝛼 𝑧=− 1 2 𝑔. 𝑥 𝑉0 cos 𝛼 2 +𝑉0 sin 𝛼 . 𝑥 𝑉0 cos 𝛼 +ℎ La trajectoire obtenue est un polynôme du 2nd degré donc la trajectoire de la balle est bien parabolique. Elle dépendra des conditions initiales et de α. 𝑧=− 𝑔 2.𝑉0² cos² 𝛼 𝑥 2 + tan 𝛼 .𝑥+ℎ

Mouvement dans un champ électrique uniforme: Une particule de masse m dont on étudie le mouvement porte une charge q. Elle est placée dans un champ électrique uniforme 𝐸 . A vous de jouer : Faire une étude mécanique du système. En déduire les équations horaires de la particule et l’équation de sa trajectoire.

Etude mécanique de ce mouvement: 1) Définir le système : particule de masse m, de charge q 2) Définir le référentiel : référentiel terrestre supposé galiléen 3) Définir le repère : cartésien, orthonormé, lié au référentiel (O ; 𝑖 ; 𝑗 ) 4) Faire le bilan des forces extérieures s’appliquant au système: 𝑭 𝒆𝒙𝒕= 𝑭𝒆 + 𝑷 + 𝝅 + 𝒇 Avec : 𝑭𝒆 : force électrostatique 𝑷 : vecteur poids de l’objet 𝝅 : poussée d’Archimède 𝒇 : force de frottement de l’air Donc 𝑭 𝒆𝒙𝒕≈ 𝑭𝒆 La poussée d'Archimède, le poids et les forces de frottement sont négligeables devant la force électrostatique. Par conséquent la somme des forces extérieures agissant sur le solide de charge électrique q se réduit essentiellement à la force électrostatique

Etude mécanique de ce mouvement: 5) Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique (noté PFD) ou seconde loi de Newton : La masse de la particule se conserve au cours du mouvement donc le PFD s’écrit : 𝑭 𝒆𝒙𝒕=𝒎 . 𝒅( 𝒗 ) 𝒅𝒕 =𝒎 . 𝒂 Or 𝑭 𝒆𝒙𝒕= 𝑭𝒆 =𝒒. 𝑬 D’où 𝐦. 𝒂 =𝒒. 𝑬 Soit 𝒂 = 𝒒 𝒎 𝑬

𝑎 𝑡 𝑎𝑥(𝑡)=0 𝑎𝑦(𝑡)=− 𝑞 𝑚 𝐸 Equation horaire du mouvement: A l'aide de l'étude mécanique et des conditions initiales, on peut déterminer les équations horaires du mouvement: ax(t), ay(t), vx(t), vy(t), x(t) et y(t). Les conditions initiales, à t = 0 les vecteurs positions et vitesses ont pour coordonnée : D’après le PFD écrit précédemment : 𝒂 = 𝒒 𝒎 𝑬 Donc on peut écrire, en projetant sur les axes de notre repère : 𝑎 𝑡 𝑎𝑥(𝑡)=0 𝑎𝑦(𝑡)=− 𝑞 𝑚 𝐸 V0 cos α OM (0) V (0) V0 sin α

𝑣 𝑡 𝑣𝑥(𝑡)=𝑉0 cos 𝛼 𝑣𝑦(𝑡)=− 𝑞 𝑚 𝐸.𝑡+𝑉0 sin 𝛼 Equation horaire du mouvement: Déterminons les équations horaires des coordonnées du vecteur vitesse en calculant la PRIMITIVE du vecteur accélération : 𝑣 𝑡 𝑣𝑥=𝐶1 𝑣𝑦=− 𝑞 𝑚 𝐸.𝑡+𝐶2 Donc d’après les conditions initiales : 𝑣 0 𝑣𝑥(0)=𝐶1=𝑉0 cos 𝛼 𝑣𝑦 0 =𝐶2=𝑉0 sin 𝛼 𝑣 𝑡 𝑣𝑥(𝑡)=𝑉0 cos 𝛼 𝑣𝑦(𝑡)=− 𝑞 𝑚 𝐸.𝑡+𝑉0 sin 𝛼

𝑂𝑀 𝑡 𝑥(𝑡)=𝑉0 cos 𝛼 .𝑡+𝐶3 𝑦(𝑡)=− 1 2 𝑞 𝑚 𝐸. 𝑡 2 +𝑉0 sin 𝛼 .𝑡+𝐶4 Equation horaire du mouvement: Déterminons les équations horaires des coordonnées du vecteur position en calculant la PRIMITIVE du vecteur vitesse : 𝑂𝑀 𝑡 𝑥(𝑡)=𝑉0 cos 𝛼 .𝑡+𝐶3 𝑦(𝑡)=− 1 2 𝑞 𝑚 𝐸. 𝑡 2 +𝑉0 sin 𝛼 .𝑡+𝐶4 Donc d’après les conditions initiales : 𝑂𝑀 0 𝑥 0 =0=𝐶3 𝑦 0 =0=𝐶4 𝑂𝑀 𝑡 𝑥(𝑡)=𝑉0 cos 𝛼 .𝑡 𝑦(𝑡)=− 1 2 𝑞 𝑚 𝐸. 𝑡 2 +𝑉0 sin 𝛼 .𝑡

Trajectoire de la particule: L’équation de la trajectoire est la relation liant les ordonnées et les abscisses du point à chaque instant soit l’équation y = f(x). Pour déterminer la trajectoire de la particule, nous allons utiliser les équations horaires x(t) et y(t) : Donc 𝑥=𝑉0 cos 𝛼 .𝑡 𝑦=− 1 2 𝑞 𝑚 𝐸. 𝑡 2 +𝑉0 sin 𝛼 .𝑡 On exprime t en fonction de x dans la première. Puis on injecte cette expression dans la seconde. 𝑡= 𝑥 𝑉0 cos 𝛼 𝑦=− 1 2 𝑞 𝑚 𝐸. 𝑥 𝑉0 cos 𝛼 2 +𝑉0 sin 𝛼 . 𝑥 𝑉0 cos 𝛼 La trajectoire obtenue est un polynôme du 2nd degré donc la trajectoire de la particule est bien parabolique. Elle dépendra des conditions initiales, de α , de m et de la charge de la particule q. 𝑦=− 𝑞.𝐸 2.𝑚.𝑉0² cos² 𝛼 𝑥 2 + tan 𝛼 .𝑥

II-Mouvement des planètes Depuis Ptolémée (200 avant JC) et jusqu’au XVème siècle, la croyance était que la Terre était le centre de l’Univers. Copernic (1473-1543) pense que le Soleil est le centre de l’Univers et que les planètes tournent autour. Lois de KEPLER: Johannes KEPLER (1571-1630) a énoncé 3 lois empiriques grâce à ses calculs et grâce aux observations remarquables de Tycho BRAHE (1546-1601) des mouvements des six planètes connues à l’époque: Mercure, Venus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne.

Première loi de KEPLER ou loi des orbites: Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont l’un des foyers est le centre du Soleil. Point Math : F1 et F2 sont les foyers de l’ellipse. a : « demi-grand axe » b : « demi-petit axe » Tout point X de l’ellipse vérifie la relation: XF1 + XF2 = 2a = constante

Deuxième loi de KEPLER ou loi des aires: Le segment de droite reliant le Soleil à la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

Troisième loi de KEPLER ou loi des périodes: Pour toutes les planètes du système solaire, le rapport entre le carré de la période de révolution et le cube du demi grand axe est une constante. T2/a3 = constante Le rapport T²/a3 est le même pour tous les satellites de la Terre,

III-Mouvement des satellites Déterminons les caractéristiques du mouvement d’un satellite de masse m, qui tourne à l’altitude h, autour de la Terre. On suppose que la Terre a une répartition des masses à symétrie sphérique donc que le centre de la Terre est confondu avec son centre d’inertie. Etude mécanique de ce mouvement: 1) Définir le système : satellite de masse m, 2) Définir le référentiel : référentiel géocentrique supposé galiléen 3) Définir le repère : lié au satellite (O ; 𝑢 ; 𝑡 ), orthonormé 𝒖 : vecteur unitaire de direction et de sens Le centre du satellite vers le centre de la Terre. 𝒕 : vecteur unitaire de direction la tangente à la trajectoire du satellite et de sens donné par le déplacement du satellite.

𝑭 𝒆𝒙𝒕= 𝑭 = 𝑮.𝑴𝑻.𝒎 (𝑹𝑻+𝒉)² . 𝒖 𝑭 𝒆𝒙𝒕=𝒎 . 𝒅( 𝒗 ) 𝒅𝒕 =𝒎 . 𝒂 4) Faire le bilan des forces extérieures s’appliquant au système: 𝑭 𝒆𝒙𝒕= 𝑭 = 𝑮.𝑴𝑻.𝒎 (𝑹𝑻+𝒉)² . 𝒖 Avec : 𝑭 : force d’attraction gravitationnelle exercée par la Terre 5) Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique (noté PFD) ou seconde loi de Newton. La masse du satellite se conserve au cours du mouvement donc : 𝑭 𝒆𝒙𝒕=𝒎 . 𝒅( 𝒗 ) 𝒅𝒕 =𝒎 . 𝒂 D’où 𝐦. 𝒂 = 𝑮.𝑴𝑻.𝒎 (𝑹𝑻+𝒉)² . 𝒖 Soit 𝒂 = 𝑮.𝑴𝑻 (𝑹𝑻+𝒉)² . 𝒖 L’accélération du centre d’inertie du satellite est donc indépendante de la masse de ce dernier et est centripète.

Comment décrire la trajectoire du satellite autour de la Terre ? Bien qu’elliptique, les trajectoires des satellites peuvent, très souvent, être assimilées à des cercles. 𝒖 Alors le vecteur unitaire 𝒖 est confondu avec le vecteur 𝑵 de la base de Frenet tout comme le vecteur unitaire 𝒕 est confondu avec le vecteur 𝑻 . 𝑵 Pour mémoire, dans la base de Frenet, on peut décomposer le vecteur accélération comme ceci, pour tout mouvement circulaire : 𝑎 = 𝑣² 𝑅 . 𝑁 + 𝑑𝑣 𝑑𝑡 . 𝑇 Or 𝑎 = 𝑮.𝑴𝑻 𝑹² . 𝑁 L’accélération n’a donc pas de composante tangentielle. dv/dt est donc nulle. v est donc constant (attention: le vecteur v, lui, n’est pas constant). Le mouvement d’un satellite est donc circulaire uniforme. (1) (2)

La vitesse ne dépend donc que de l’altitude du satellite. Quelle est la valeur de la vitesse du satellite ? Par identification sur les équations (1) et (2), on obtient : 𝑣² 𝑟 = 𝐺.𝑀𝑇 𝑟² Soit ou La vitesse ne dépend donc que de l’altitude du satellite. 𝒗= 𝑮.𝑴𝑻 𝒓 𝒗= 𝑮.𝑴𝑻 𝑹𝑻+𝒉

𝑻=𝟐𝝅 𝒓 𝟑 𝑮.𝑴𝑻 𝑻²=𝟒𝝅² 𝒓 𝟑 𝑮.𝑴𝑻 𝑻² 𝒓 𝟑 = 𝟒𝝅² 𝑮.𝑴𝑻 =𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 Quelle est la valeur de la période de révolution du satellite ? Par définition : 𝑇= 2.𝜋.𝑅 𝑣 Soit Remarque : on retrouve la 3ème loi de KEPLER : Donc Application au calcul de l’altitude d’un satellite. 𝑻=𝟐𝝅 𝒓 𝟑 𝑮.𝑴𝑻 𝑻²=𝟒𝝅² 𝒓 𝟑 𝑮.𝑴𝑻 𝑻² 𝒓 𝟑 = 𝟒𝝅² 𝑮.𝑴𝑻 =𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆