Chapitre 11: Vecteurs et repères du plan:

Généralités Repères: Définition:On dit qu’un repère du plan (O, I, J) est orthonormé lorsque : è  Les axes des abscisses et des ordonnées sont perpendiculaires, c’est à dire (OI)  (OJ). è Les unités de longueur sont les mêmes sur les deux axes c’est à dire OI = OJ. I et J sont toujours les points de coordonnées respectives (1 ; 0) et (0 ; 1). Question 1: Definition d’un repère ? Intérêt d’un repère? (repérage des points) Touche D: Dessiner les vecteurs i et j

Exemples et contre exemples.     Repères non orthonormés car les axes non perpendiculaires ou les unités sont différentes. Repère orthonormé

Rappels: coordonnées d’un point. Chaque point peut être repéré dans le plan muni d’un repère par son abscisse x et son ordonnée y. Touche F: afficher les coordonnées de A On peut bouger le point A:

II. Coordonnées d’un vecteur dans un repère.

Touche x: Vecteur K*i, piloter avec les fleches du clavier Touche y: vecteur k1*j ; piloter avec les fleches du clavier. Touche D: Dessiner des représentants de vect (AB) pour montrer les coordonnéés.

II. Coordonnées d’un vecteur dans un repère. 1) Définition : Les coordonnées d’un vecteur dans un repère décrivent un déplacement horizontal puis vertical. (point de départ point d’arrivée) Ainsi, un déplacement de « 3 unités vers la droite et 2 unités vers le bas » sera représenté par un vecteur de coordonnées (3 ; -2).

Exercice: Calcule les coordonnées du vecteur Faire bouger vect (AB) (obtenir des cas particuliers) Afficher les représentants de vect (AB) (touche D) pour Montrer que ces vecteurs ont les mêmes coordonnéé Bilan: 2 vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées.

2) Calcul des coordonnées d’un vecteur.

a) Cherchons une formule pour calculer les coordonnées d’un vecteur Faire bouger vect (AB) (obtenir des cas particuliers) Afficher les représentants de vect (AB) (touche D) pour Montrer que ces vecteurs ont les mêmes coordonnéé Bilan: 2 vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées.

b) activité: Relève les coordonnées des points A,B,C,D,E,F,G et H b) activité: Relève les coordonnées des points A,B,C,D,E,F,G et H. Nomme les parallélogrammes de la figure.

Parallélogrammes de la figure: Avec A et B: ABDC, ABFE, ABHG Correction Parallélogrammes de la figure: Avec A et B: ABDC, ABFE, ABHG Avec C et D: CDFE, CDHG Avec E et F: EFHG

Points A B C D E F G H abscisse -5 -2 -1 2 2,5 5,5 ordonnée 3 1 -0,5 -2,5 -3

b) Bilan: Admettons et retenons:

III. Applications

Premier type de problème: Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme. Étant donnés quatre points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 ), C ( 3 ; 1 ) et F ( -6 , -2). Prouver que AFBC est un parallélogramme. Il suffit de prouver que AF et CB sont égaux. On calcule les coordonnées: A C 1 O 1 B F Les vecteurs sont égaux donc AFBC est un parallélogramme.

Ce qui se vérifie sur le croquis…. Etant donnés trois points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 )et C ( 3; 1 ) , calculer les coordonnées du point D tel que ABDC soit un parallélogramme. On peut résoudre un deuxième type de problème Attention à l’ordre des points! J’appelle (x;y) les coordonnées du point D, ABDC est un parallélogramme si : (-1 - (-2) ; -3 - 2 ) = ( x - 3 ; y - 1 ) -1 + 2 = x - 3 et -3 - 2 = y - 1 x = 4 et y = - 4 Ce qui se vérifie sur le croquis….

IV. Coordonnées du milieu d’un segment

Démonstration

A retenir Les coordonnées du milieu d'un segment [AB] sont données par la formule

Prouver que AFBC est un parallélogramme. Autre méthode pour prouver qu’un quadrilatère est ou n’est pas un parallélogramme. Étant donnés quatre points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 ) , C ( 3 ; 1 ) et F ( -6 , -2). Prouver que AFBC est un parallélogramme. Pour que AFBC soit un parallélogramme il suffit de vérifier que ses diagonales ont même milieu. A C 1 O 1 B F Donc AFBC est un parallélogramme

AB²= ( xB - xA )² + ( yB - yA)² IV. Distance entre 2 points dans un repère. Si le repère est orthonormé Les droites (AC) et ( CB) sont parallèles aux axes, donc perpendiculaires entre elles. Le Triangle ABC est rectangle en C et le théorème de Pythagore permet d ’écrire: AB² = AC² + CB² AB²= ( xB - xA )² + ( yB - yA)² B yB yB - yA A yA C 1 O xB 1 xA xB - xA