ESPACES DE BANACH HOPFIENS ET COHOPFIENS Amin Kaidi

Réferences [ASL-05] Spiros A. Argyros, Jordi Lopez-Abad, Stevo Todorcevic: A class of Banach spaces with few non-strictly singular operators, Journal of Functional analysis 22 (2005), 306-384. [BKMO-06] M. Burgos, A. Kaidi, M. Mbekhta, M. Oudghiri : The descent spectrum and perturbations, Journal of Operator Theory 56 (2006) 259-271 [GM-93] W.T. Gowers, B. Maurey : The unconditional basic sequence problem, Journal of the American Mathematical Society 6 (1993), 851-874.

[HKL-10] A. Haily, A. Kaidi, A. Rodriguez: Algebra descent spectrum of operator 177 (2010), 349-368. [HKL-11] A. Haily, A. Kaidi, A. Rodriguez: Centralizers in semisimple algebras, and descent spectrum in Banach algebras, Journal of Algebra 347(2011) 214-223. [HKS-07] A. Hmaimou, A. Kaidi and E. Sánchez : Generalized Wittig modules and rings, Journal of Algebra 308 (2007), 199-214. [V-92] K. Varadarajan: Hopfian and co-hopfian objects, Publicacions Matemátiques, Vol 36 (1992), 293-317.

Motivation: Thèoréme 1. Pour un ensemble X, les affirmations suivantes sont équivalentes: X est fini ii) Toute application injective de X en X est bijective iii Toute application surjective de X en X est bijective iv) Toute application inversible á gauche est inversible v) Toute application semplifiable á gauche est semplifiable

Théorème II. Pour un espace vectoriel X, les affirmations suivantes sont équivalentes: i) X est de dimension finie ii) Toute application linéaire, injective de X dans X est bijective iii Toute application linéaire surjective de X dans X est biyective iv) Toute application linéaire inversible á gauche est inversible v) Toute application linéaire simplifiable á gauche est simplifiable

Définition [V-92]: Soit X un objet d’une catégorie 𝒞 Définition [V-92]: Soit X un objet d’une catégorie 𝒞. On dit que X est hopfien (resp. Cohopfien) si tout epimorphisme (resp. monmorphisme) est inversible. X est dit Dedekind-fini si tout endmorphisme inversible d’un coté est inversible. Remarque: Dans la catégorie des groups abéliens les 3 notions antérieures ne sont pas equivalentes.

Soit X un espace de Banach, par BL(X) on note l’algèbre d’opérateurs linéaires continus de X dans X. Définitions: Un espace de Banach X est dit hopfien (resp. cohopfien) si toute application linéaire continue surjective (resp. injective) est bijective. Et il est dit Dedekind fini si pour tout T, S dans BL(X) on a TS=I entraine ST=I Exemples et remarques : -Tout espace de Banach de dimension finie est hopfien et cohopfien.

- Tout espace de Banach hopfien ou cohopfien est Dedekind fini. Pour un espace d’Hilbert, hopfien, cohopfien, Dedekind fini sont équivalentes á la dimension finie. -Le première exemple d’espace de Banach de dimension infinie hopfien á été construit par Gowers et Maury en 1993, [GM-93]. -La construction d’un espace de Banach de dimension infinie cohopfien n’a été réalisé que récemment par Avilés et Koszmider en 2013, [ AK-13].

Proposition: Pour un espace de Banach X, les assertions suivantes sot équivalentes : i) X est hopfien. ii) X n’est pas isomorphe a aucun de ses espaces quotients propres. iii) X est Dedekind fini et pour tout opérateur surjectif T de BL(X) on a le noyau de T, N(T), est facteur direct de X.

Définition: Un espace de Banach X est dit indécomposable s’il ne peut pas être écrit comme somme direct de deux sous espaces fermés de dimension infinie. Et il est dit hereditairement indécomposable (H. I. ) si tous ses sous espaces fermés sont indécomposables. Proposition: Sois X un espace de Banach H.I. Alors tout opérateur linéaire continu de X dans X est de la forme 𝜆𝐼+𝑆 oú 𝜆 est dans 𝕂 (=: ℝ ou ℂ) et S est strictement singulier.

Proposition [HKR-10]: Soit X un espace de Banach tel que pour tout T dans BL(X) on a, Int(𝜎 𝑇 , l’intérieur du spectre de T vide. Alors X n’est pas isomorphe á aucun sousespace propre ni á aucun espace quotient propre. En particulier X est hopfien. Corollaire [HKR-10]: Tout espace de Banach H.I. est hopfien. Remarques: Ils existent d’espaces de Banach hopfiens que ne sont pas H.I. Dans [ALT-05], les auteurs construisent un espace reflexif non séparable dont les opérateurs ont un spectre dénombrable.

Définitions [BKMO-06], [HKR-11]: Soit T un opérateur linéaire d’un espace vectoriel X sur un corps K. La descente d(T) de T est définie par: 𝑑 𝑇 ≔ min 𝑛≥0:𝑅 𝑇 𝑛 =𝑅 𝑇 𝑛+1 Avec la convention min ∅=∞. Où R(.) note le rang Le spectre descente de T est : 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 𝑇 ≔{𝜆∈ 𝐾:𝑑 𝑇−𝜆𝐼 =∞} Si A est une K-algèbre et a ∈A on pose: 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 𝑎, 𝐴 =: 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 ( 𝐿 𝑎 ) Où 𝐿 𝑎 est l’application 𝑥↦𝑎𝑥 de A dans A.

𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 𝑇, 𝐵𝐿(𝑋) ≠ 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 (𝑇) Théorème [HKR-10]: Il existe d’espaces de Banach X avec un opérateur T de BL(X) tel que: 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 𝑇, 𝐵𝐿(𝑋) ≠ 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 (𝑇) Définition [HKR-10]: On dira qu’un espace de Banach X vérifie l’égalité du spectre descente ( DSE) si: 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 𝑇, 𝐵𝐿(𝑋) = 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 (𝑇) pour tout T dans BL(X). Les espaces 𝑙 𝑝 :p=1 ou 2 sont DSE-espaces et ils ne la vérifient pas 1<𝑝≤∞ 𝑝≠2 .

Théorème [HKR-10]: Les espaces de Banach hopfiens vérifient la DSE. Théorème [HKR-10]: Soit X un espace de Banach. Alors les affirmations suivantes sont équivalentes: X est hopfien X est Dedekind fini et vérifie la DSE. Pour tout T dans BL(X) on a 𝐼𝑛𝑡(𝜎 𝑇 )⊆ 𝜎 𝑑𝑒𝑠𝑐 (𝑇)

Théoréme [HKR-10]: Tout espace de Banach cohopfien X, dont le dual (topologique) X* est w*-séparable est de dimension finie. Remarque [HKR-10]: Tous les espaces de Banach séparables et H. I. ont la propriété précédente. THÉORÈME [AK-13]: Il existe un espace topologique compact séparé (infini) K tel que l’espace de Banach C(K) est cohopfien.

Espaces de Banach fortement hopfiens ou fortement cohopfiens. Définition [HKS-07]: Un espace de Banach X est dit fortement hopfien (resp. fortement cohopfien) si pour tout T de BL(X) on a l’ascente de T, a(T): a(T)≔ min 𝑛≥0:𝑁 𝑇 𝑛 =𝑁 𝑇 𝑛+1 , (resp. d(T)) est fini. Remarque: Tout espace de Banach fortement hopfien est hopfien. Tout espace de Banach fortement cohopfien est cohopfien. Théorème: Tout espace de Banach fortement hopfien ou fortement cohopfien est de dimension finie.

Problèmes ouvertes I) Caractériser les espaces topologiques compacts pour lesquels C(K) est hopfien ou cohopfien. 2) Caractériser les espaces de Banach Hopfiens ou cohopfiens hereditaires (Les sous espaces fermés et/ou les espaces quotients sont de même type).

3) Caractériser les espace de Banach hopfiens ou cohopfiens X par de propriétés de leur algèbre d’opérateurs BL(X). 4) Est-ce que les espaces de Banach cohopfiens sont hopfiens. 5) Est-ce que tout espace de Banach Dedekind fini est hopfien.

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