CHAPITRE 6 LES PROBABILITES

I- Vocabulaire Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat ne peut être donné à priori. Une expérience aléatoire a donc plusieurs résultats possibles ce sont les issues ou éventualités relatives à cette expérience. L’ensemble de toutes les issues possibles est l’univers, noté Ω. Exemple: on lance un dé équilibré à 6 faces et on note le numéro obtenu sur la face supérieure. On a alors Ω={1;2;3;4;5;6}.

II- Evènement Un évènement est une partie de Ω. Exemple: pour l’expérience précédente, on considère les évènements: A=« obtenir un nombre pair » B=« obtenir un multiple de 3 » On a A={2;4;6} et B={3;6}. Un évènement qui contient une seule éventualité est un évènement élémentaire. Un évènement qui ne contient aucune éventualité est un évènement impossible. Un évènement qui contient toutes les éventualités est un évènement certain.

Exemple: pour l’expérience précédente: C=« obtenir un nombre supérieur à 7 » C={}=Ø ensemble vide. D=« obtenir un entier » D={1;2;3;4;5;6}=Ω. 1) Evènement contraire L’évènement contraire de E, notée E, est l’évènement qui contient toutes les éventualités de Ω n’appartenant pas à E.

Exemple: A=« obtenir un nombre pair »={2;4;6} A={1;3;5}=« ne pas obtenir un nombre pair » « obtenir un nombre impair » B=« obtenir un multiple de 3 »={3;6} B={1;2;4;5}=« ne pas obtenir un multiple de 3 » Remarque: l’évènement contraire de l’évènement impossible est l’évènement certain l’évènement contraire de l’évènement certain est l’évènement impossible pout tout évènement E: E=E

2) Réunion et intersection La réunion de deux évènements A et B, noté AuB, est l’évènement constitué de toutes les éventualités appartenant à A ou à B. Exemple: A=« obtenir un nombre pair »={2;4;6} B=« obtenir un multiple de 3 »={3;6} AuB={2;3;4;6} L’intersection de deux évènements A et B est l’évènement, noté AnB, qui contient toutes les éventualités appartenant à A et à B. Exemple: A={2;4;6} B={3;6} AnB={6}

Deux évènements sont disjoint (ou incompatible) si AnB=Ø. III- Loi de probabilité Définir une loi de probabilité sur Ω c’est associer à chaque éventualité ei un nombre positif pi tel que Σpi=1. Exemple: on peut considérer que pour l’expérience aléatoire précédente le dé soit truqué de telle sorte que: p({1})=p({2})=p({3})=0,1 p({6})=0,4 p({4})=p({5})=0,15

La probabilité d’un évènement E, notée p(E), est égale à la somme des probabilités des issues qui le composent. Exemple: A=« obtenir un nombre pair »={2;4;6} p(A)=p({2})+p({4})+p({6})=0,65 B={3;6} p(B)=p({3})+p({6})=0,50 Cas d’équiprobabilité: Lorsqu’on se trouve dans un cas d’équiprobabilité et que Ω comporte n issues, toutes les issues ont la même probabilité d’apparition, ainsi p(ei)=1/n.

Exemple: pour l’exemple du début, si le dé est équilibré, la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant: ei 1 2 3 4 5 6 p(ei) 1/6 A={2;4;6}, on a alors p(A)=1/6+1/6+1/6=3/6=1/2 B={3;6}, on a alors p(B)=1/6+1/6=2/6=1/3 Dans le cas général, pour un évènement E comportant k issues: p(E)=k/n(cas fav/cas pos)

Indications: fav=favorable pos=possible Σ=somme IV- Propriétés propriété 1: pour tout évènement A, on a: -p(A)=1-p(A) Exemple: dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard. B=« tirer un roi » et B=« ne pas tirer un roi ». On a p(B)=4/32 ainsi p(B)=1-4/32=32/32-4/32 =28/32

Propriété 2: pour tout évènement A et B, on a: -p(AuB)=p(A)+p(B)-p(AnB) Exemple: on lance un dé équilibré, on note A=« obtenir un nombre pair »={2;4;6} B=« obtenir un multiple de 3 »={3;6} p(AuB)=p(A)+p(B)-p(AnB)=3/6+2/6-1/6=4/6 Remarque: on a p(AuB)=p(A)+p(B) uniquement lorsque A et B sont disjoints c’est-à- dire AnB=Ø (donc p(AnB)=0).