La force centrifuge et la force de Coriolis sur un manège… Présentation dédiée à tous ceux qui ont envie d’en savoir un peu plus ! Denise Cruette Soit le manège installé près de la tour Eiffel…

Y X O Z R O’ Y’ R ‘ Z’ X’ O’ Y’ Z’ X’ R O’ Y’ Z’ X’ R Y X O Z R Soit R un système d’axes [O,XYZ] fixes par rapport à la Terre, et centré sur la Tour Eiffel (référentiel terrestre supposé galiléen) Soit R ‘ un système d’axes [O’,X’Y’Z’] fixes par rapport au plateau du manège Y X O Z R O’ Y’ R ‘ Z’ X’ Rappel: un référentiel est dit« galiléen » lorsque les mouvements qui se produisent dans ce référentiel peuvent être décrits par application du principe fondamental de la dynamique (seconde loi de Newton-1686) : « La force résultante F exercée sur un point matériel, de masse m donnée ,est égale au produit de la masse du corps et de son accélération : F = mR » Les forces appliquées considérées ici étant les forces fondamentales existant dans notre univers (attraction gravitationnelle, forces de réaction, forces électromagnétiques, etc.) et qui existent quel que soit le référentiel dans lequel on se place; Rq: Dans un référentiel galiléen est également vérifié le principe d’inertie (première loi de Newton): tout corps isolé, qui n’est soumis à aucune sorte d’interaction avec d’autres objets matériels, conserve l’état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme qu’il possédait auparavant . Si un référentiel est galiléen, tous ceux qui sont immobiles ou en translation rectiligne uniforme par rapport à celui-ci sont également galiléens O’ Y’ Z’ X’ R O’ Y’ Z’ X’ R Y X O Z R

Lorsque le manège est à l’arrêt, Considérons un wagonnet posé sur un rail situé le long de l’axe O’X’ du manège et retenu par une cordelette fixée en O’ . Lorsque le manège est à l’arrêt, le référentiel R’ , immobile par rapport à R est également « galiléen », de sorte que les forces qui s’exercent sur le groupe de piétons et sur le wagonnet sont identiques : - leur poids P Y X O Z R - et la réaction du sol R R O’ Y’ R ‘ Z’ X’ P R P

Y X O Z R R O’ Y’ R ‘ Z’ X’ Y X Z R P R P  Le manège étant maintenant en rotation uniforme dans le sens direct autour de l’axe O’Z’, déplaçons le centre du référentiel R pour le faire coïncider avec O’ appelons  l’angle [O’ X,O’X’] : la vitesse angulaire  =d/dt est constante, sectionnons la corde: le wagonnet se met en mouvement de plus en plus rapide vers l’extérieur du plateau: Y X O Z R une force nouvelle s’exerce donc sur le wagonnet R O’ Y’ R ‘ Z’ X’ D’où vient cette force ? Y X Z R P R P  le référentiel R ‘, animé d’un mouvement de rotation par rapport au référentiel, R n’est plus galiléen. Pour prendre en compte les forces induites par le mouvement du référentiel, il faut généraliser le principe fondamental de la dynamique aux référentiels non galiléens

Changement de référentiel - composition des mouvements Pour expliquer cette force, nous allons devoir rappeler les règles cinématiques de composition des vitesses et des accélérations qui permettent de calculer la vitesse et accélération d’un mobile M dans un référentiel fixe connaissant : sa vitesse et son accélération dans un référentiel mobile ainsi que le mouvement du référentiel mobile par rapport au référentiel fixe. O’ Y’ R ‘ Z’ X’ M Y X O Z R

Généralisation du principe fondamental de la dynamique au cas des référentiels non galiléens Règle de composition des vitesses: Désignons par VR est vitesse de l’objet (l’avion) dans le référentiel mobile et par VE , vitesse d’entraînement, la vitesse absolue du point fixe du repère mobile où se trouve l’avion à l’instant t. On peut montrer que la vitesse absolue VA = VR+VE O’ Y’ R ‘ Z’ X’ VA VE VR M Y X O Z R

Or mA = (forces fondamentales appliquées) Généralisation du principe fondamental de la dynamique au cas des référentiels non galiléens Règle de composition des accélérations On peut montrer que a = d (VA)/dt = R + E + C où R = d (VR)/dt E = d (VE)/dt et C un terme complémentaire, appelé accélération de Coriolis C n’existe que dans des référentiels en rotation et si VR0 Donc R = A - E - C et l’on peut écrire : mR = mA - m E - m C Or mA = (forces fondamentales appliquées) donc mR = (forces fondamentales appliquées) - m E - m C Et en posant: - m E = FIE «force d’inertie d’entraînement » et - m C = FIC « force de Coriolis » le principe fondamental de la dynamique généralisé s’écrit: Du fait du mouvement du référentiel mobile, on voit donc que pour décrire le mouvement dans un référentiel non galiléen en rotation , outre les forces fondamentales, on doit prendre en compte deux forces supplémentaires, dites « d’inertie » (ou de référentiel) : la force d’inertie d’entraînement et la force de Coriolis A O’ Y’ R ‘ Z’ X’ C E R M Y X O Z R mR = (forces fondamentales appliquées) + FIE + FIC

Calcul de la force d’inertie d’entraînement dans le cas du wagonnet La force d’inertie d’entraînement se déduit de l’accélération « absolue » du point fixe M de R‘ où se trouve le wagonnet à l’instant t (point coïncident). Dans R, ce point est en rotation uniforme autour de l’axe O’Z’, à la vitesse angulaire  = d/dt, sur un cercle de rayon r En projection sur une base mobile de vecteurs unitaires , n et B (base de Frénet) : sa vitesse absolue VA = r.  = r(d/dt). C’est, par définition, la vitesse d’entraînement VA = VE son accélération absolue A (dans R) : O’ Y’ (R ‘) Z’ X’ car = R Y X Z (R ) P r R E=v2/r  n B vE = r  M P Donc: a = E = = (vE2/r).n est centripète

R O’ Y’ R ‘ Z’ X’ Y X Z R P R P FIE R P FIE Calcul de la force d’inertie d’entraînement La force d’inertie d’entraînement FIE = - m E= - m(v2/r).n = - m(2 r).n R O’ Y’ R ‘ Z’ X’ Y X Z R P R P FIE R P E= v2/r FIE C’est la fameuse force « centrifuge » ! Elle met en mouvement le wagonnet initialement immobile et l’accélère de plus en plus en direction du bord du plateau (elle augmente en effet avec la distance du mobile par rapport au centre du plateau)

Application: cas de l’avion en virage Forces agissant sur le planeur selon le référentiel dans lequel on se place

Pour un observateur situé au sol dans le référentiel terrestre supposé galiléen : un avion en virage stabilisé à altitude et à vitesse V constantes et décrit un cercle de centre C et de rayon r Il est soumis à la résultante aérodynamique Ra et à son poids P. Référentiel terrestre (supposé galiléen) Ra Ra’ Va C r La composante verticale Ra’ de Ra équilibre le poids R’h P Sa composante horizontale R’h constitue la force centripète qui crée et entretient le virage.

Projetons les composantes de la vitesse, de l’accélération et des forces appliquées sur une base associée à l’avion et telle que l’un de ses vecteurs unitaires T soit porté par la direction de la vitesse, l’autre N soit dirigé vers le centre du cercle et le troisième B, perpendiculaire au plan défini par T et N et dirigé vers le haut (base de Frénet). Référentiel terrestre (supposé galiléen) Va B N Sur cette base de projection, on a : Va=v.T et a= (v2/r).N r R’h C D’après le Principe Fondamental de la Dynamique , la résultante des forces appliquées R’h= m a= m(v2/r).N On appelle facteur de charge n, le rapport RA/P

CORDIER Guillaume – mai 2004 Si  désigne l’inclinaison de l’avion Ra Ra  Va  r horizontale R’h C P On a la relation : Le facteur de charge n = RA/P= RA/ R’A= 1/cos CORDIER Guillaume – mai 2004

Ra P l’avion, immobile dans ce référentiel en rotation, est soumis : z Pour un observateur situé dans l’avion, au centre d’un référentiel O’xyz, lié cette fois à l’avion, avec O’x tangent au cercle, O’y dirigé vers le centre C du cercle et O’z selon la verticale ascendante et de vecteurs unitaires i, j, k et donc en rotation par rapport au référentiel terrestre fixe OXYZ, l’avion, immobile dans ce référentiel en rotation, est soumis : - à la résultante aérodynamique Ra, - à son poids P - et à la force centrifuge Fc (horizontale) x y z O’ Z Ra Va i k j Fc avec Fc = - m E = - mV2/r Où E est l’accélération d’entraînement (accélération absolue du point coïncidant) Pa P C * Principe fondamental de le dynamique généralisé aux référentiels non galiléens, c’est-à-dire aux référentiels qui ne sont pas en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen. Dans un référntiel galiléen n’entrent en jeu que des « forces » dites fondamentales : attraction gravitationnelle, réaction etc. Dans un référentiel non galiléen, doivent être prises en compte des forces dite « d’inertie » qui liées aux accélérations de référentiel mobile par rapport à un référentiel galiléen : il s’agit par exemple de la force centrifuge et de la force de Coriolis dans le cas de référentiels en rotation par rapport à un référenteil galiléen. ** On ne peut parler de poids apparent que dans le référentiel avion. Y P+Fc = Pa est appelé poids apparent du planeur et Ra= -Pa X O Rq: on ne peut parler de poids apparent que dans le référentiel avion

Etude de la force de Coriolis Celle-ci n’existe que : que dans un référentiel en rotation et que si l’objet étudié est déjà en mouvement.

Lorsque le manège est à l’arrêt, Pour cela , nous allons maintenant étudier le mouvement d’un employé du manège se déplaçant sur le plateau , à partir de O’, à vitesse constante en suivant l’axe O’X’. Lorsque le manège est à l’arrêt, le référentiel R’ , immobile par rapport à R est également « galiléen », de sorte que les forces qui s’exercent sur le groupe de piétons et sur l’employé sont identiques : leur poids P Y X O Z R et la réaction du sol R R O’ Y’ R ‘ Z’ X’ P R P

deux forces supplémentaires s’exercent sur l’employé : Lorsque le manège est en rotation uniforme, à la vitesse angulaire  =d/dt, dans le sens direct autour de l’axe O’Z’, le référentiel R’ , en rotation par rapport à R n’est plus « galiléen », deux forces supplémentaires s’exercent sur l’employé : La force d’inertie d’entraînement FIE Y X O Z R La force d’inertie de Coriolis FCO R O’ Y’ (R ‘) Z’ X’ Y X Z (R ) P R  P

O’ Y’ (R ‘) Z’ X’ R Y X Z (R) P R  n B vE = r FIE P et FIE = -m E Comme dans le cas du wagonnet, la force d’inertie d’entraînement se déduit de l’accélération « absolue » du point fixe M de R‘où se trouve l’employé à l’instant t (point coïncident). Dans R, ce point est en rotation uniforme autour de l’axe O’Z’, à la vitesse angulaire  = d/dt, sur un cercle de rayon r En projection sur une base mobile de vecteurs unitaires , n et B (base de Frénet) : sa vitesse absolue Va = r.  = r(d/dt). C’est, par définition, la vitesse d’entraînement VA = VE son accélération absolue A (dans R) : a = E = (vE2/r).n =r(d/dt)2.n est centripète O’ Y’ (R ‘) Z’ X’ R Y X Z (R) P r R E=v2/r  n B vE = r M FIE P et FIE = -m E est centrifuge

O’ Y’ (R ‘) Z’ X’ Y X Z   (R) M Maintenant, pour calculer la force de Coriolis FIC = - mIC , il convient de calculer l’accélération de Coriolis IC Pour exprimer commodément C , il est pratique d’introduire le vecteur rotation du plateau , porté par l’axe de OZ , dirigé selon la verticale ascendante dans le cas d’une rotation de sens direct et de module . Remarque: le sens direct est celui que nous empruntons quotidiennement sur nos ronds-points O’ Y’ (R ‘) Z’ X’ Y X Z   (R) M Plaçons ce vecteur en M

Celle-ci est donc dirigée 90° à droite du vecteur vitesse relative Dans le cas d’un référentiel mobile en rotation par rapport à un référentiel galiléen, on peut démontrer que l’accélération de Coriolis est égale au produit vectoriel: Dont le résultat est un vecteur dont le module est égal à 2 .vR , (où vR est le module de la vitesse relative) et la direction peut être obtenue en appliquant la règle des trois doigts de la main gauche : le pouce selon la direction du vecteur rotation le majeur selon la direction de la vitesse relative L’index donnant la direction de l’accélération de Coriolis R O’ Y’ R ‘ Z’ X’ Celle-ci est donc dirigée 90° à droite du vecteur vitesse relative Y X Z P R On voit donc bien que: si VR est nulle (employé immobile), l’accélération de Coriolis est nulle si le référentiel mobile n’est pas en rotation par rapport au référentiel galiléen, l’accélération de Coriolis est nulle  C VR  C VR Le trièdre {, VR,C} est direct

R O’ Y’ R ‘ Z’ X’ Y X Z P R  C VR FC0 Or la force de Coriolis FCO = - m C Celle-ci est donc de sens opposé à l’accélération de Coriolis Dans le cas d’une rotation de sens direct, FCO est dirigée 90° à gauche du vecteur vitesse relative R O’ Y’ R ‘ Z’ X’ Y X Z P R  C VR FC0 La force de Coriolis tend donc en permanence à dévier le mouvement vers sa droite

La trajectoire est constamment déviée vers la doite En résumé, dans le référentiel du manège en rotation de sens direct, l’employé est soumis à: R et P qui sont les forces fondamentales dans le référentiel galiléen FIE force d’inertie d’entraînement, ici centrifuge, qui l’accélère en direction du bord du plateau FCO la force de Coriolis, dirigée vers la droite du mouvement et qui le dévie constamment, cette déviation augmentant avec la vitesse relative. R O’ Y’ R ‘ Z’ X’ Y X Z P R R FIE VR FCO P La trajectoire est constamment déviée vers la doite

Et si le plateau tourne dans le sens des aiguilles d’une montre ? FIE force d’inertie d’entraînement est inchangée  est cette fois dirigé vers le bas afin que la rotation soit de sens direct autour de lui C est orientée 90° à droite du mouvement (le trièdre {, VR,C} doit être direct) FCO force de Coriolis, est dirigée vers la gauche du mouvement et le dévie constamment, cette déviation augmentant avec la vitesse relative. R O’ Y’ R ‘ Z’ X’ Y X Z P R FCO FIE C VR  La trajectoire est constamment déviée vers la gauche

mR ‘ = (somme des forces fondamentales) + FCE + FCO En résumé Force centrifuge et force de Coriolis, appelées forces d’inertie, sont des effets qui n’apparaissent dans des référentiels en rotation par rapport à un référentiel galiléen. Induites par le mouvement propre de ces référentiels par rapport à un référentiel galiléen, on peut aussi parler de « forces de référentiel ». Dans un référentiel R‘ en rotation par rapport à un référentiel R galiléen le principe fondamental de la dynamique s’écrit: mR ‘ = (somme des forces fondamentales) + FCE + FCO La force de Coriolis ne s’exerce que sur des objets en mouvement dans le référentiel en rotation Elle agit perpendiculairement au déplacement (au vecteur vitesse relative), vers la droite dans le cas où la rotation du référentiel mobile est de sens direct, vers la gauche dans le cas contraire Contrairement à la force centrifuge, la force de Coriolis ne peut mettre un objet en mouvement, ni l’accélérer. Elle est uniquement déviatrice. Pour se convaincre de tout cela, rendez-vous au manège de la cité des sciences !

Et sur la Terre , grand manège autour du soleil ?

Les référentiels terrestres locaux Reprenons le cas du référentiel centré sur la tour Eiffel; Si nous supposons que : 0X est dirigé vers l’Est, OY vers le Nord et OZ selon la verticale locale ascendante, sur le globe terrestre, ce référentiel local est ainsi positionné Y (NORD X (EST) O Z R Equateur Parallèle O X  Méridien Y Z Un tel référentiel, en rotation autour de l’axe des pôles, peut-il être considéré comme galiléen ? C Nous allons voir que tout dépend de l’échelle spatiale et temporelle du mouvement considéré et de sa durée

Référentiel galiléens, Nous avons rappelé (diapo 2) que si un référentiel est galiléen, tous ceux qui sont immobiles ou en translation rectiligne uniforme par rapport à celui-ci, sont également galiléens O’ Y’ Z’ X’ O’ Y’ Z’ X’ R R O Z R Y O’ Y’ Z’ X’ R X O’ Y’ Z’ X’ R O’ Y’ Z’ X’ R

le référentiel « absolu » de Copernic Mais existe-t-il réellement dans la nature un référentiel galiléen ? A l’heure actuelle, le meilleur référentiel galiléen que l’on soit en mesure de mettre en évidence est le référentiel de Copernic, - dont l’origine est située au centre du soleil - et dont les axes pointent vers des étoiles lointaines, n’ayant pas de mouvement apparent dans notre galaxie (étoiles dites fixes) Z O Y X

le référentiel géocentrique On peut associer à la Terre un référentiel dont le centre coïncide avec le centre C de la Terre dont les axes CX,CY,CZ conservent une direction fixe par rapport au référentiel de Copernic Ce référentiel en translation « elliptique » (et non rectiligne uniforme) par rapport au référentiel de Galilée, n’est en principe pas galiléen Z C X Y Z C X Y Z Z O Y X C X Y Cependant pour des mouvements dont les distances caractéristiques sont faibles devant la dimension de l’orbite terrestre et dont les durées caractéristiques sont faibles devant la période de révolution de la Terre (1 an), on peut, avec une très bonne approximation, le considérer comme galiléen.

Mais, tel n’est pas le cas pour la Météorologie et la Balistique Par rapport au référentiel géocentrique (C,XYZ), le référentiel local (O,X’Y’Z’), en rotation avec la Terre, n’est pas galiléen Cependant, pour tous les mouvements dont les durées sont faibles devant la période de rotation propre de la Terre (1 jour), on peut, avec une précision raisonnable, considérer le référentiel local comme galiléen. De même tout référentiel lié à un solide immobile par rapport à la terre (salle de cours, murs du laboratoire d’expériences) pourra être considéré comme galiléen. Z Direction fixe  Y’ C O X’ Z’ X Y Direction fixe Direction fixe Mais, tel n’est pas le cas pour la Météorologie et la Balistique

La force de Coriolis due à la rotation terrestre

Y X Z O’ Y’ (R ‘) Z’ X’ ® VR FCO P R Z X’ Y X Pour un avion long courrier survolant le pôle Nord en direction de l’Est, tout se passe comme sur la plateforme du manège précédent, en rotation dans le sens direct. Y X Z O’ Y’ (R ‘) Z’ X’ ® VR FCO P R Z Z’ Y’  X’ Y X Et la force de Coriolis : FCO = - 2   V dévie sa trajectoire horizontale vers la droite

Z Y X Z O’ Y’ (R ‘) Z’ X’ (R) VR FCO  Y X X’ Z’ Y’ Pour le même avion long courrier survolant le pôle Sud en direction de l’Est, tout se passe comme sur la plateforme du manège précédent, en rotation dans le sens indirect. Soit en remettant l’observateur la tête « en haut » : Z Y X Z O’ Y’ (R ‘) Z’ X’ (R) VR FCO   Y  X X’ Z’ Y’ Et la force de Coriolis : FCO = - 2   V dévie le mouvement vers la gauche

Et à une latitude quelconque ? Plaçons-nous dans un plan méridien et orientons le vecteur rotation terrestre  selon la verticale. Soit (O,X’Y’Z’) le référentiel terrestre local (OX’ est dirigé vers l’arrière de la figure) Désignons par  la latitude de 0 Déplaçons le vecteur rotation  en O  Y’ C O Z’  - Sa composante Y’ selon OY’ (direction du Nord) est :  cos Y’ - Sa composante Z’ selon OZ’, verticale locale, est : sin Z’  Localement, le référentiel O,X’,Y’Z’ est en rotation : autour de l’axe OZ’, à la vitesse angulaire Z’ = sin , et autour de l’axe OY’, à la vitesse angulaire Y’ = cos .

Z’ R ‘ Z R O’  X FCO Y’ VR P Y X’ Vu en perspective, cette fois, plaçons-nous dans un plan méridien et représentons les composantes du vecteur rotation terrestre: Z’ selon la verticale locale : sin Y’ selon OY’ (direction du Nord) :  cos Tout se passe comme si le manège précédent, posé sur la surface « horizontale » définie par le plan (OX’,OY’), tournait autour de l’axe OZ’, à la vitesse angulaire : Z’ = sin Y X Z O’ Y’ R ‘ Z’ X’ R VR FCO P  Y’ C O Z’ Y’ Z’ Z’ X’  Un mobile se déplaçant dans le plan horizontal (OX’,OY’) est soumis à la force de Coriolis d’intensité 2m Z’ et dont la direction est opposée à celle de l’accélération de Coriolis, donnée par la règle des trois doigts précédemment décrite Pour la démonstration complète de cette relation, voir l’annexe 1

Et à l’équateur ? R ‘ O’ Z’ Z R P VR X’ Y’ Z’ = sin = 0 et Y’ =  cos =  Tout se passe comme si le manège précédent, posé sur la surface « horizontale » définie par le plan (OX’,OY’), est maintenant parallèle au vecteur rotation terrestre. Il ne tourne plus autour de l’axe OZ’ et la force de Coriolis est nulle! Z O’ Y’ R ‘ Z’ X’ VR P R   Y’ C O Z’ Y’ X’ Normal… puisqu’elle change de sens dans l’hémisphère sud !

Annexe 1: calcul de la force de Coriolis à une latitude donnée En désignant respectivement par , et les vecteurs unitaires des axes OX’, OY’ et OZ’ et par u et v les composantes de la vitesse selon les axes OX’ et OY’ La force de Coriolis est égale à : car : (1) Le terme est généralement bien inférieur à l’accélération de la pesanteur, de sorte que l’on peut le négliger. La force de Coriolis à la latitude  peut donc s’écrire: Remarque: à la latitude de 43° N, f= 10-4 s-1

Ordre de grandeurs Pour un missile de croisière , de masse m = 1000 kg , se déplaçant initialement vers l’Est, à la latitude de 43° N, où f= 2sin = 10-4 s-1 , à la vitesse de 1000 m/s, sur une distance de 1000 km, On peut calculer la déviation vers le Sud, due à la force de Coriolis, de la façon suivante : D’après l’équation (1) précédente on à: m(dv/dt) = - mfu , soit: dv/dt = -fu. Or nous cherchons à calculer l’écart y au bout de 1000 km, en supposant que f est consatnt Résultat : le missile sera déporté de 50 km vers le sud