Optimiser l’anisotropie: une approche globale pour les stratifiés P. Vannucci - UVSQ Institut Jean le Rond d’Alembert – UMR7190 Université Paris 6 - CNRS ENSMA – Poitiers, 18 novembre 2010 Séminaire  

Introduction 1 Les matériaux anisotropes, et notamment les stratifiés en composite, sont une excellente solution à un grand nombre de problèmes, spécialement pour les structures légères. Cependant, ils donnent un certain nombre de problèmes compliqués aux concepteurs.

Introduction 2 Nous avons développé une série de recherches, avec le but de réconsidérer d’une manière radicale les problèmes qui concernent la conception de structures anisotropes: la représentation de l’anisotropie la formulation de stratégies de conception sous la forme de problèmes d’optimization globale (y compris les symétries élastiques) la création d’algorithmes adaptés à la recherche de stratifiés optimaux Point commun de ces recherches: la méthode polaire. Ce séminaire concerne une partie de ces recherches y x q x3=z x1 x2

Plan de l’exposé Partie 1: un peu de théorie La méthode polaire, c’est quoi? Bases de la méthode polaire Des cas exotiques Méthode polaire et stratifiés Partie 2: conception optimale des stratifiés Optimiser les stratifiés: une approche polaire L’outil numérique: BIANCA Exemples Partie 3: perspectives Stratifiés couplés Anisotropie distribuée et résistance Problèmes étranges

La méthode polaire, c’est quoi? Au fond, la méthode polaire est une stratégie mathématique pour trouver un ensemble complet d’invariants tensoriels independants d’un tenseur 2D. Ces invariants peuvent aider à comprendre l’anisotropie d’une manière différente et peuvent, souvent mais pas toujours, être très utiles dans des problèmes de conception. La méthode polaire a ses bases dans une technique classique en physique mathématique: une transformation de variable complexe (voilà pourquoi ça ne marche qu’en 2D). 1ère Partie

Bases de la méthode polaire 1 L’anisotropie est la dépendance d’une quantité de la direction; ceci entraine plusieurs difficultés, surtout en conception. L’idéal ça serait, peut être, la chose suivante: disposer d’une représentation intrinsèque de l’anisotropie, à savoir n’utilisant que des invariants tensoriels et d’un nombre suffisant de paramètres de direction pour fixer un réferentiel en plus, les invariants devraient être choisis de telle sorte qu’ils representent une quelque propriété physique; si possible, ces propriétés devraient être liées au type d’anisotropie du matériau. C’est ce qu’il a été fait en 1979 par G. Verchery avec la méthode polaire. 1ère Partie

Bases de la méthode polaire 2 La transformation de Verchery Pour un vecteur plan x= (x1, x2) les composantes contravariantes sont données par la relation Des manipulations algébriques standard donnent la transformation pour un tenseur d’ordre n quelconque: Toutes les matrices mn sont unitaires, orthogonales, bi-symétriques; en plus, Ces propriétés ont d’importantes conséquences algébriques pour la recherche des invariants (en particulier, les matrices de rotation et de symétrie miroir sont diagonales et anti-diagonales). 1ère Partie

Bases de la méthode polaire 3 Les tenseurs du type de l’élasticité Remarque: etc. Rotation de répère d’un angle q: 1ère Partie

Bases de la méthode polaire 4 Tenseurs du 4ème ordre: 1ère Partie

Bases de la méthode polaire 5 Invariants Grâce à la dernière relation, les invariants par rotation sont aisement calculés: linéaire quadratique cubique Relation de syzygie: Ces relations donnent un ensemble un ensemble complet de 5 invariants indépendants. 1ère Partie

Bases de la méthode polaire 6 Expression cartésienne des invariants 1ère Partie

Bases de la méthode polaire 7 Les composantes polaires: 1ère Partie

Bases de la méthode polaire 8 Inversement T0, T1, R0, R1 et la différence angulaire F0-F1 sont 5 invariants indépendants; le choix d’un angle polaire fixe le referentiel (normalement, F1 =0). 1ère Partie

Bases de la méthode polaire 9 Rotation du répère: partie isotrope partie anisotrope Cette particularité propre à la méthode polaire de séparer la partie isotrope de celle anisotrope se révèle être très utile en conception des stratifiés à couches identiques. 1ère Partie

Bases de la méthode polaire 10 Composantes de T-1: Remarque: 1ère Partie

Bases de la méthode polaire 11 Caractérisation invariante des symétries élastiques Orthotropie ordinaire : (Vong & Verchery, 1986) Orthotropie R1 : (Verchery 1979) Orhtotropie R0 : (Vannucci, 2002) 1ère Partie

Bases de la méthode polaire 12 Orthotropie ordinaire Si l’on fixe F1=0, les composantes cartésiennes du tenseur de l’élasticité des matériaux orthotropes ordinaires sont: K et le rapport d’anisotropie determinent la qualité de l’orthotropie ordinaire. 1ère Partie

Bases de la méthode polaire 13 Variation angulaire de Txxxx(q): 3 cas Le type d’orthotropie influence fortement l’optimum d’un problème donné (Vannucci, IJMS, 2010). Bornes sur les modules polaires élastiques pour le cas orthotrope: W W r<1, K=0;1 r>1, K=0 r>1, K=1 T1 R1 K= 1 K= 0 1ère Partie 18

Bases de la méthode polaire 14 Quelques exemples de matériaux anisotropes 1ère Partie

Des cas exotiques 1 1ère Partie Orthotropie R0 : un étrange cas (ou deux?) Si R0 =0, Les composantes cartésiennes sont isotropes ou varient comme celles d’un tenseur du 2nd ordre. Les conditions cartésiennes pour l’orthotropie R0 sont 1ère Partie

Des cas exotiques 2 1ère Partie Les composantes de S=T-1: Aucune des composantes de S n’est zéro, ni isotrope ou comme celle d’un tenseur du 2nd ordre. 1ère Partie

Des cas exotiques 3 1ère Partie La relation entre T et S est parfaitement symétrique: ainsi, il existe aussi une autre classe de matériaux orthotropes, le matériaux r0-orthotropes, qui ont r0=0 (Vannucci, JoE, 2002). Ceci montre que l’anisotropie est plus une question de comportement que de matériaux: le même matériaux peut avoir différents comportements en rigidité et en souplesse. Toutefois, le nombre de constantes indépendantes est le même, 3 dans les deux cas. 1ère Partie

Des cas exotiques 4 1ère Partie Un étrange matériau (Vannucci, JoE, 2010). Pour un matériau r0-orthotrope Cet étrange matériau est peut être le plus repandu de tous: le papier! (Horio & Onogi, 1951; Campbell 1961; Ostoja-Starzewski & Stahl, 2000). 1ère Partie

Des cas exotiques 5 1ère Partie Anisotropie de corps complexes (Vannucci & Verchery, IJSS, 2010). L’influence des symétries tensorielles sur les symétries matérielles peut être étudié en analysant les invariants polaires de corps complexes. Un exemple: T a seulement les symétries majeures 1ère Partie

Des cas exotiques 6 1ère Partie Il y a 9 invariants polaires: T0, T1, T2, T3, R0, R1, R2, F0-F1, F1-F2. On dénombre 7 conditions suffisantes d’orthotropie, qui déterminent 1 orthotropie ordinaire et 6 orthotropies spéciales. 1ère Partie

Méthode polaire et stratifiés 1 La Classical Laminated Plates Theory (CLPT) donne la loi de comportement pour un stratifié mince: 1ère Partie

Méthode polaire et stratifiés 2 Tenseurs normalisés: Un stratifié est découplé si B=O et quasi-homogène si, en plus, aussi le tenseur d’homogénéité est nul: C=A*-D*=O. Avec le formalisme polaire, pour un stratifié de n plis identiques, on obtient: 1ère Partie

Méthode polaire et stratifiés 3 1ère Partie

Méthode polaire et stratifiés 4 1ère Partie

Méthode polaire et stratifiés 5 2 remarques fondamentales pour la conception des stratifiés à plis identiques: seulement la partie anisotrope entre dans le processus de conception; ainsi, il n’y a que deux équations polaires pour chaque tenseur. la partie matérielle et géométrique peuvent être séparées: par exemple: Partie géométrique: paramètres de stratification, x0, x1….. Partie matérielle: paramètres polaires 1ère Partie Domaine d’existence des paramètres de stratification:

Optimiser les stratifiés: une approche polaire 1 Objectif de la recherche: utiliser le formalisme polaire pour formaliser une procédure d’optimisation sans aucune hypothèse simplificatrice (true global optimization, Vannucci, IJSMO, 2006) Trois motifs: recherche des vrais minima globaux (si une hypothèse simplificatrice est faite, il est en général impossible de trouver un minimum global); ouvrir la voie vers de nouvelles stratégies de conception des stratifiés, capables, en principe, d’obtenir de nouveaux, plus intéressants stratifiés (plus légers? plus rigides? plus résistants?); certains problèmes nouveaux, très compliqués, ne peuvent pas être abordés dans un cadre simplifié, traditionnel. Le point clé est: en conception des stratifiés, les propriétés mécaniques générales doivent être considérées comme partie du processus de conception: les anisotropies du stratifié doivent être conçues. 2ème Partie

Optimiser les stratifiés: une approche polaire 2 Stratégie générale: construire une fonction convenable et générale, dans l’espace des paramètres polaires du stratifié, qui dans certains cas sera l’objectif, dans d’autres une contrainte au problème de minimum: 2ème Partie

Optimiser les stratifiés: une approche polaire 3 Trois différents types de problèmes de conception 1. conception des propriétés élastiques: minimiser I pour une matrice H donnée: 2. même problème, mais avec des contraintes: 3. minimiser un objectif donné avec des propriétés élastiques spécifiées et avec certaines contraintes imposées: 2ème Partie min f(x) et I[Pk(x)]=0

Optimiser les stratifiés: une approche polaire 4 Le choix des symétries élastiques détermine les composantes de la matrice H. Toutes les combinaisons possibles de propriétés de A, B et D peuvent être prises en compte (et aussi pour d’autres champs, e.g. thermoélasticité, piézoélectricité). 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 C=O -1 1 -1 1 -1 1 - 1 1 B=O 1 2 R1A=0 2ème Partie

L’outil numérique: BIANCA 1 Aspects numériques: Le défaut de cette approche est qu’il faut disposer de techniques numériques très performantes pour la recherche des minima globaux. En vue du type d’objectif/contraintes (fonctions très non linéaires, multimodales), les métaheuristiques sont plus indiquées des méthodes classiques de descente. Pour des problèmes très compliqués, les métaheuristiques classiques utilisées dans ce domaine, n’étaient pas une garantie de succès (trop simplifiées, parfois rustiques). Nous avons développé 2 codes pour ces types de problèmes: BIANCA: un algorithme génétique avec traitement de contraintes d’égalité et d’inégalité, basé sur un représentation très détaillée de l’information et capable de croiser aussi les espèces; il peut résoudre les trois types de problèmes. ALE-PSO: un code par essaim particulaire avec contrôle des coefficients aléatoires, avec traitement des contraintes d’inégalité; plus rapide de BIANCA, il peut résoudre le deux premiers types de problèmes. 2ème Partie

L’outil numérique: BIANCA 2 BIANCA est un AG qui cherche à simuler le plus possible la structure du génotype et le réglage biologique que celui-ci a sur le fonctionnement des êtres vivants. La structure de la représentation génétique et de ses transformations permet de gérer le fonctionnement d’êtres complexes et leur évolution par adaptation darwinienne. Il suffit de penser que dans chaque cellule humaine il y a environ 2 m d’ADN, qui stocke à l’échelle moléculaire une énorme quantité d’informations et qui est capable de les faire évoluer, pour un total d’environ 25 milliards de km d’ADN pour chaque humain adulte. 2ème Partie

L’outil numérique: BIANCA 3 BIANCA a été construit en s’inspirant de ça: gérer la complexité. L’architecture de BIANCA est celle typique d’un AG classique: Opérateur d'adaptation: calcul de la fitness des individus Opérateur de sélection aléatoire guidée des individus Opérateur de croisement: cross-over aléatoire des individus Opérateur de mutation aléatoire des individus Nouvelle population Critère d'arrêt Résultats: meilleure individu, adaptation moyenne de la population Entrée: population de n individus non oui 2ème Partie

L’outil numérique: BIANCA 4 Toutefois, on a ajouté des particularités: BIANCA est: multi-chromosome, et multi-gène multi-population codage binaire virtuel opérations génétiques booléennes sur chaque gène peut faire l’élitisme aussi en présence de contraintes traite les contraintes par une nouvelle méthode (pénalisation automatique dynamique) croise et fait évoluer aussi les espèces, indépendamment des individus traite les problèmes multi-objectif peut être interfacé avec tout autre logiciel de calcul (notamment ABAQUS, ANSYS, NASTRAN, MATLAB etc.) 2ème Partie

L’outil numérique: BIANCA 5 La complexité est gérée dans BIANCA directement à partir de la représentation de l’information: un individu, solution possible au problème donné, est représenté par un vecteur being(npop, nind, nchrom, ngene) npop: nombre de populations parallèles nind: nombre d’individus dans une population nchrom: nombre de chromosomes dans chaque individu ngene: nombre de gènes dans chaque chromosome 2ème Partie being 1 beings

L’outil numérique: BIANCA 6 Le cas des stratifiés: Chaque stratifié est un individu Il est représenté par un vecteur being Son génotype a un nombre de chromosome n: chaque chromosome représente une couche Chaque chromosome est composé d’un nombre de gènes égal au nombre de paramètres significatifs pour le problème (e.g. orientation, épaisseur, propriétés mécaniques etc.). Remarque: stratifiés avec n différent appartiennent à différentes espèces 2ème Partie

Exemples 1 2ème Partie Exemple de problème de type 1 12-plis, carbone-époxyde T300/5208; R1=0 en membrane et flexion, B=O et réponse piézoélectrique isotrope (actionneurs: PZT4). Meilleure solution trouvée par l’A.G. BIANCA: [0/90/44.98/-41.80/-74.53/40.47/0/-71.92/34.36/-45/-1.86/85.08] 2ème Partie

Exemples 2 2ème Partie Exemple de problème de type 1 12-plis, carbone-époxyde T300/5208; isotrope en membrane, K=0 orthotrope en flexion, B=O; réponse thermoélastique isotrope en membrane; une direction de courbure thermique nulle par gradient de température. Meilleure solution trouvée par l’A.G. BIANCA: [0/-29.9/44.3/-61.8/89.3/61.8/31.5/-89.1/33.4/-71.7/-11.6/-28.1] 2ème Partie

[0°/30°/–15°/15°/90°/–75°/0°/45°/–75°/0°/–15°/15°]. Exemples 3 Exemple de problème de type 2 12-plis, carbone-époxyde T300/5208; orthotrope en membrane, B=O, avec orientations d{0°,15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90° etc} et Emmax≥100 GPa (0.55 E1); Emmin≥40 GPa (3.88 E2); Meilleure solution trouvée par l’A.G. BIANCA: [0°/30°/–15°/15°/90°/–75°/0°/45°/–75°/0°/–15°/15°]. 2ème Partie

Examples 4 2ème Partie Exemple de problème de type 3 : 16-plis, carbone-époxyde T300/5208, B=O, A et D orthotropes (K=1)avec axes coïncident, angles discrétisés à 1°. Problème: a/b=1.5 Nx=Ny=1 N/mm 2ème Partie

[-24/39/-47/37/32/-47/-6/-47/55/59/18/-38/-38/19/-40/42] Examples 5 Résultats: Meilleure solution trouvée par BIANCA [-24/39/-47/37/32/-47/-6/-47/55/59/18/-38/-38/19/-40/42] qui donne: lopt= 6.86 x 106 ExA= 60.6 GPa EyA= 31.1 GPa I(P(x))= 8.8 x 10-5 2ème Partie

Examples 6 2ème Partie Exemple de problème de type 3 : Même stratifié de l’exemple précédent, maintenant soumis à Nx= 105 N/mm, Ny=0. Problème: avec Approche multiéchelle à l’optimisation en résistance d’un stratifié: minimisation de la déformation du stratifié et contrôle au niveau du pli de l’état de contrainte (ici, par le critère de Hoffmann). Critère de Park sur les déformations du stratifié 2ème Partie

[0/-6/-84/-5/42/4/-1/5/-72/-22/65/-84/5/-14/5/4] Examples 7 Résultats: Meilleure solution trouvée par BIANCA [0/-6/-84/-5/42/4/-1/5/-72/-22/65/-84/5/-14/5/4] qui donne: Rindex= 2 x 107 EyA= 49.5 GPa I(P(x))= 7.74 x 10-5 2ème Partie

Examples 8 Un cas multi-objectif: stratifié 10-plis, B=O, A et D orthotropes (K=1) avec axes coïncident, angles discrétisés à 1°; objectifs: 2ème Partie w11=33.21 Hz ExA=159 GPa [14/-2/-25/-7/-1/-3/17/1/15/-15]

Examples 9 Un problème avec croisement des espèces: la conception de stratifiés ayant le moindre nombre de plis pour obtenir des propriétés données. Le nombre de couches n est introduit comme un coefficient de pénalisation: si la fonction à minimiser est f (e.g. la forme quadratique I(Pk)) le problème est transformé en: Exemple: trouver le stratifié avec le moindre nombre de couches dans l’intervalle [9, 16], ayant B=O, A isotrope et D orthotrope, avec discrétisation des plis à 1° et les épaisseurs des plis variables continument dans [0.1 mm, 0.2 mm]. 2ème Partie

Examples 10 Objectif: Best individual Average 2ème Partie

Exemples 11 Un exemple hors stratifiés: optimisation du poids d’un caisson alaire Matériau: Al-7075-T6 (E= 72 GPa, n=0.33). Variables: vecteur des dimensions géométriques (x) et nombre des raidisseurs, n, dans [19-27]. Chaque raidisseur est représenté par un chromosome. Calcul fait par interfaçage BIANCA - ANSYS. Problème: 2ème Partie

Exemples 12 2ème Partie Résultats: 25 raidisseurs charge critique finale: l0 poids final: 13.97 kg épargne en poids par rapport à la solution de référence: 15% 2ème Partie

Exemples 13 2ème Partie Diagrammes de convergence Average Best individual 2ème Partie

Futures directions de récherche L’élément essentiel est le fait qu’on a montré que la conception des stratifiés peut être libérée de toute contrainte, ce qui ouvre de nouvelles perspectives. Il faut intégrer dans le processus de conception d’autres exigences et phénomènes: résistance, endommagement, contraintes technologiques etc. Différentes recherches sont actuellement en cours; notamment, sur: anisotropie distribuée et résistance stratifiés couplés phénomènes étranges 3ème Partie

Anisotropie distribuée et résistance 1 Objectif: éteindre les travaux de Vincenti et Desmorat en intégrant des critères de résistance à l’optimisation distribuée de l’anisotropie (conception locale optimale des champs d’anisotropie). Cette recherche est motivée par les techniques actuelles de fibre placement par des machines à contrôle numérique. Objectif général: concevoir les meilleures champs d’anisotropie par rapport à un critère donné, englobant la résistance. Approche de type free-material (optimisation en 2 phases) Fibre placement 3ème Partie

Anisotropie distribuée et résistance 2 Structure Ω + loading Algorithm for structural optimization (phase 1) equivalent homogeneous material principal orthotropy direction anisotropic stiffness parameters Design of the optimal laminate (phase 2) constitutive parameters of the laminate (material and orientations in each layer) satisfying the results of structural optimization 3ème Partie Optimal laminate for the prescribed loading

Anisotropie distribuée et résistance 3 Un exemple quasi aéronautique (Desmorat, Vincenti, Léné, Julien, Jibawi, 2010) 3ème Partie

Anisotropie distribuée et résistance 4 La prise en compte de la tenue de la structure dans un processus de calcul de ce type pose des problèmes supplémentaires: cohérence de modèle structural entre la 1ère et la 2ème phase; formulation variationnelle adéquate; choix du critère de résistance/tenue. Travail théorique préalable (en cours): interprétation polaire des critères de résistance pour les matériaux anisotropes: interprétation physique des résultats théoriques; leur utilisation dans le cadre d’un processus de conception. 3ème Partie

Stratifiés couplés 1 3ème Partie Les couplages sont des phénomènes normalement éliminés par les concepteurs, mais ils peuvent s’avérer intéressants dans beaucoup de cas. Les couplages d’intérêts ici sont les couplages de type traction-cisaillement, flexion-torsion, membrane-flexion, les couplage thermo-élastiques et piézoélectriques. Applications possibles: structures multistables, stratifiés thermiquement stables, pales d’éoliennes, aubes de turbines etc. Le point est que la procédure générale vue peut prendre en compte toute exigence de conception, sans limitations. 3ème Partie

Stratifiés couplés 2 3ème Partie Travaux en collaboration avec C. York, du Department of Aerospace Engineering of the University of Glasgow. Le travaux portent sur: optimisation de pales d’éoliennes à contrôle passif par couplage mécanique; analyse théorique des couplages. Exemple: analyse de la structure des tenseurs de souplesse des stratifiés en présence de couplage (B≠O). Il y a 1188 situations possibles pour les stratifiés à couches identiques, 3564 pour ceux à couches différentes; Un premier résultat concerne la condition pour obtenir b=bT: si les tenseurs de rigidité sont orthotropes, cette condition est 3ème Partie

Problèmes étranges 3ème Partie Au cours des recherches nous avons mis en évidence des phénomènes étranges: interaction géométrie-anisotropie: comment la géométrie filtre l’anisotropie; stratifiés étranges: stratifiés qui ont des propriétés non communes; stabilité et sensibilité de la solution par rapport à la formulation d’un problème d’optimum: influence de l’anisotropie. Au delà des applications possibles, il est intéressant de s’occuper de ce genre de problèmes car ils peuvent aider à mieux comprendre l’anisotropie sous ses multiples facettes. 3ème Partie

Merci pour votre attention.