La réflexion dans le plan cartésien Auteures : Nathalie Charest et Chantal Prince Enseignantes de mathématique, CSRS

La réflexion dans le plan cartésien Comme pour la translation, nous effectuons une réflexion en appliquant une règle sur les coordonnées des points formant la figure initiale. Appliquons la règle suivante sur les coordonnées des points formant le triangle ABC. S1: ( x, y)  ( -x, y) x y A B C Appliquer une règle signifie que nous devons remplacer les coordonnées (x, y) de la règle par les coordonnées d’un point de la figure initiale. Regarde bien ce qui suit. S1: ( x, y)  ( - x, y) A( -2, 4) (- (-2), 4) A’( 2,4) B( -1, 1) (- (-1), 1) B’( 1,1) C( -3, 1) (- (-3), 1) C’( 3,1)

La réflexion dans le plan cartésien Comme pour la translation, nous effectuons une réflexion en appliquant une règle sur les coordonnées des points formant la figure initiale. Appliquons la règle suivante sur les coordonnées des points formant le triangle ABC. S1: ( x, y)  ( -x, y) x y A B C A’ Place les points A’, B’ et C’ obtenus dans le plan cartésien. B’ C’ A’( 2,4) B’( 1,1) C’( 3,1)

La réflexion dans le plan cartésien Comme pour la translation, nous effectuons une réflexion en appliquant une règle sur les coordonnées des points formant la figure initiale. Appliquons la règle suivante sur les coordonnées des points formant le triangle ABC. S1: ( x, y)  ( -x, y) x y A B C A’ En reliant ces points, tu obtiendras la figure image. B’ C’ A(-2, 4) A’( 2,4) B(-1, 1) B’( 1,1) C(-3, 1) C’( 3,1)

La règle d'une réflexion 1. Effectuons la réflexion de ces points par rapport à l’axe des abscisses (x) et observons l’effet sur les coordonnées des points A, B, C et D x y A(-4, -2) A’( -4, 2) B(-2, 0) B’( -2, 0) C(0, -1) C’( 0, 1) D(2, 3) D’( 2, -3) D A’ C B’ B C’ On observe que seule la coordonnée «y» change de signe. A D’ Remarque: les points B et B’ sont situés au même endroit.

La règle d'une réflexion 2. Effectuons la réflexion de ces mêmes points, mais par rapport à l’axe des ordonnées (y) et observons à nouveau l’effet sur les coordonnées des points A, B, C et D. x y A(-4, -1) A’( 4, -1) B(-2, 0) B’( 2, 0) C(0, 1) C’( 0, 1) D(2, 2) D’( -2, 2) D’ D C’ C B B’ Cette fois, il n’y a que la coordonnée «x» qui change de signe, la coordonnée «y» reste la même. A A’ Nous pouvons donc conclure que: Sx: ( x, y)  ( x, -y) Sy: ( x, y)  ( -x, y) Remarque: les points C et C’ sont situés au même endroit.

La règle d'une réflexion 3. Mais qu’en est-il des règles pour les réflexions où l ’axe coupe les quadrants II et IV? x y Observons l’effet de la réflexion S pour les points A et B. A A(1, 3) A’( -3,1) B(1, -2) B’( 2,-1) B’ A’ On remarque que les coordonnées, dans les deux cas, changent de place et changent de signes. B Donc la règle pour S est: S (x, y )  (-y, -x) S

La règle d'une réflexion 4. Mais qu ’en est-il des règles pour les réflexions où l’axe coupe les quadrants I et III? x y Observons l’effet de la réflexion S pour les points A et B. A A(1, 3) A’( 3,1) B(1, -2) B’( -2,1) B’ A’ On observe que les coordonnées conservent leur signe, mais changent de place. B Donc la règle pour S est: S (x, y )  (y, x) S

La règle d'une réflexion Réfléchissons un peu! x y Dans le quadrant I et III, les signes des 2 coordonnées sont identiques (+, +) et (-, -) . II I ( -,+) Donc pour S , on ne change pas les signes. ( +,+) Dans le quadrant II et IV, les signes des coordonnées sont différents (-, +) et (+,-). Donc pour S , on change les signes. III IV ( -,-) ( +,-)

La règle d'une réflexion En Résumé:  Pour Sx seule la coordonnée «y» change de signe. Sx : ( x, y)  ( x, -y) Fin Pour Sy seule la coordonnée «x» change de signe. Sy: ( x, y)  ( -x, y) Pour S les coordonnées changent de place et changent de signes. S (x, y )  (-y, -x) Pour S les coordonnées changent de place, mais conservent leurs signes. S (x, y )  (y, x)