STATIQUE PLANE I- Principe fondamental de la statique En mécanique, la statique a pour objectif l'étude de l'équilibre des corps. En statique plane, les actions et les forces étudiées appartiennent toutes à un même plan « forces coplanaires » I- Principe fondamental de la statique 1. Enoncé du principe: cas des forces coplanaires Un solide indéformable en équilibre sous l'action de n forces extérieures reste en équilibre si : 1) la somme vectorielle S de toutes les forces extérieures est nulle 2) le moment résultant MI en n'importe quel point I de toutes les forces extérieures est nul

2. Principe des actions mutuelles Pour deux solides 0 et 1 en contact, l'action exercée par le solide 0 sur le solide 1 est égale et opposée à l'action exercée par le solide 1 sur le solide O.

Etapes pour l’isolement du solide Objectif: déterminer complètement les actions mécaniques exercées sur un solide appartenant à un mécanisme donné Extraire le solide et le dessiner dans la même position géométrique Etapes pour l’isolement du solide Repérer toutes les zones de contact entre le solide et les autres solides Schématiser les actions aux zones de contact et leur donner un nom Comptabiliser les actions de contact, ajouter les actions à distance, puis faire le bilan de toutes les actions agissant sur le solide test La résolution est-elle possible à partir des éléments du bilan précédent Déterminer d’autres éléments (en isolant d’autres solides) Résoudre graphiquement ou analytiquement. non oui Résultats: le problème est terminé lorsque toutes les actions agissant sur le solide sont complètement connues

III-Isolement d’un solide Le solide isolé peut être un croquis à main levée, un dessin simplifié ou un dessin précis à l'échelle du solide étudié, destiné à décrire et à définir toutes les actions ou efforts qui s'y exercent: poids, actions de contact... Tous les éléments connus concernant les actions extérieures agissant sur le solide isolé doivent être clairement indiqués: Direction, intensité, sens, point d'application mais aussi les distances entre les actions et les axes choisis pour des calculs. Exemple: plongeoir

Solide isolé: Planche 1 Solide isolé: Nageur 2 La planche (1) supporte quatre actions en A, B, C et G1 (centre de gravité) schématisées par les vecteurs forces (poids de la planche). Solide isolé: Planche 1 Le nageur (2) est soumis à deux actions, son poids en G2 et en C. D'après le principe des actions mutuelles: Solide isolé: Nageur 2

IV- Cas des ensembles de solides Dans le cas des ensembles de solides, les actions mutuelles exercées entre les solides de l'ensemble deviennent des efforts intérieurs. V . Equations d'équilibre. Principaux cas Après isolement du solide et réalisation du bilan des inconnues, l'application du principe fondamental conduit à des résolutions que l'on peut regrouper par famille. 1. Solide soumis à l'action de deux forces Un solide est en équilibre sous l’action de deux forces , si ces deux forces sont égale et directement opposés.

2. Solide soumis à l'action de trois forces concourantes Un solide est en équilibre sous l’action de trois forces, si les forces sont concourantes au même point et si la somme vectorielle est nulle. 3. Cas général projection sur les axes x et y. L'équation de moment en n'importe quel point I fournit une troisième équation scalaire:

Elles sont essentiellement de deux types: poids et aimantation. VI . Schématisation et représentation des actions mécaniques Les actions mécaniques représentent les efforts exercés sur et entre les solides réels. On peut les diviser en deux grandes familles: les actions à distance et les actions de contact, 1. Actions mécaniques à distance Elles sont essentiellement de deux types: poids et aimantation. 2. Actions mécaniques de contact Les actions de contact se divisent en trois groupes: - les actions ou charges concentrées, - les actions réparties sur une ligne ou charges linéiques, - les actions réparties sur une surface ou charges surfaciques. a) Actions ou charges concentrées Chaque fois que l'effort de contact est concentré en un point ou sur une toute petite surface, l'action est schématisée par un vecteur-force. Unités: N ou dérivés (daN, kN, etc.). Poteau Poutre Poutre isolé Solide 1 isolé

b) Actions réparties sur une ligne ou charges linéiques L'effort de contact est réparti sur une ligne droite ou non. L'action exercée est schématisée par une charge linéique (q), uniforme ou non. Unités: N.m-1 ou N/m.

c) Actions réparties sur une surface ou pression de contact Lorsque l'effort de contact est réparti sur une surface, l'action exercée est schématisée par une pression de contact ou une pression (p) qui peut être uniforme ou non. Unités: Pa (N.m-2), bar (1 bar = 105 Pa). Exemple : action d'un plan horizontal (0) sur un prisme triangulaire (1) Dans ce cas, la pression de contact est linéairement croissante en allant de A (p = 0) à B (p = pmaxi). R, résultante des pressions de contact, est égale à mg.

3. Actions de contact exercées dans les liaisons mécaniques usuelles En statique plane, les liaisons entre solides se ramènent à quatre familles principales: appui simple. articulation ou pivot, glissière, encastrement.

VII . Méthodes de résolution graphique 1. Cas d'un solide soumis à trois forces concourantes 1) Point de concours I A C A C I B B 2) Direction de F3 passant par I 3) Parallèle à IA K A I 6) // à IC C 4) Tracer F1 à l’échelle B 5) // à IB

8) Module et sens de F3 7) Module et sens de F2 9) Résultats A C B

2. Solides soumis à l'action de quatre forces et plus Si les forces ne sont pas parallèles, le nombre d'inconnues déterminables, est de trois, on a deux cas (une direction et deux modules inconnus ou trois modules inconnus) a) Cas d’une direction et deux modules inconnus. A C C B K D D Se ramener à 3 forces concourantes C I K D

b) Cas de trois modules inconnus (méthode de Culman) Toutes les directions des forces sont connues, une seule force sur les quatre est complètement connue. (connue) C C A (module ?) A I J B B D D (module ?) (module ?) I J IJ

3. Statique graphique - Méthode du dynamique et du funiculaire Cette méthode, intéressante dès que les forces à manipuler sont nombreuses, permet de déterminer des résultantes et résoudre des problèmes d'équilibre, avec des forces parallèles ou concourantes. La méthode est purement graphique. a) Résultante d'un système de forces Déterminons graphiquement la résultante R des actions exercées sur un solide (4). 4 Les constructions graphiques sont effectuées en alternance : sur le funiculaire: figure définissant la position géométrique des forces. - sur le dynamique ou polygone des forces: figure définissant les intensités des forces. Ordre des tracés - Dynamique: Tracer F1; F2 et F3 à l’échelle puis déduire la direction et l’intensité de R Choisir un pôle P puis tracer les rayons polaires 0, 1, 2 et 3. - Funiculaire: Tracer les côtés du funiculaire 0’, 1’,2’ et 3’ tels que (0’//0), (1’//1), (2’//2) et (3’//3) Déterminer I point de concours des côtés extrêmes du funiculaire ( 0' et 3’) La résultante R passe par l

Funiculaire Dynamique 0’ 3’ 1’ 2’ K 1 I P 0’//0 2 1’//1 2’//2 // 3 3’//3

b) Étude de l'équilibre d'un solide sous l'action de forces parallèles Déterminons les actions en A et B exercées par le sol sur les roues de la voiture. On se place dans le plan de symétrie du véhicule. P est le poids de celui-ci, le sol est supposé horizontal et P, A et B sont parallèles. G 1 A B 1720 810 (1150 daN) Repérage des actions Actions Dynamique Funiculaire 0’ 1’ 2’ 3’ Ordre des tracés - Dynamique: Tracer P = 1 150 daN à l’échelle (exemple: 1 cm pour 200 daN) Choisir un pôle S puis tracer les rayons polaires (1) et (2). - Funiculaire: Tracer 1’ parallèle à 1 et 2’ parallèle à 2 se coupant sur .

Funiculaire Dynamique I 1 1’ J 2’ S 1’//1 2 2’//2 1720 810 Propriété: pour tout solide en équilibre, les côtés extrêmes du funiculaire sont confondus; la droite commune est appelée ligne de fermeture. Le funiculaire est dit fermé. (0’) LDF 1 I (0) 1’ (3) J S 2’ (3’) 2 0’ et 3’ confondus 0 et 3 // à 0’ et 3’

Tracer 1’//1 passant par A; 2’//2 puis la ligne de fermeture AJ. c) Étude de l'équilibre d'un solide sous l'action de forces concourantes poutre A B articulation appui simple C Soit une poutre, articulée en A et en appui simple en B, supporte une charge inclinée de 2600 daN en C. Déterminer les actions et exercées par les appuis en A et B. Poutre isolé C A B Repérage des actions Actions Dynamique Funiculaire 0’ 1’ 2’ 3’ Ordre des tracés - Dynamique: Tracer F ( 1 cm pour 200 daN); pôle S; rayons polaires (1) et (2) puis tracer la direction de B à partir de l’extrémité de F. - Funiculaire: Tracer 1’//1 passant par A; 2’//2 puis la ligne de fermeture AJ. - Dynamique: Tracer le rayon (0) ou (3) // à AJ; l’intersection de (0) avec la direction de B puis la fermeture du dynamique.

Dynamique Funiculaire LDF 3’ 1 J A 2’ 0’ C B S 1’ (0) // (3) I Ont doit faire passer 1’ et 0’3’ (LDF) par le point A, seul point connu de la direction de 2 SI//AJ(LDF) Direction de