Égalité des figures Si une figure peut être obtenue à partir d’une autre par opération d’un glissement on dit que les deux figures sont directement égales. Si une figure peut être obtenue à partir d’une autre par un retournement on dit que les deux figures sont inversement égales.

Symétrie par rapport à un point (symétrie centrale) Deux points A et A’ sont symétriques par rapport à un point O, si le point O se situe au milieu du segment AA’. http://home.nordnet.fr/~rdassonval/rdsymetriec.html Si à chaque point M d’une figure F, on fait correspondre son symétrique M’ par rapport à O, on obtient une figure F’, lieu des points M’, et qui est dite transformée de F par symétrie, ou symétrique de F par rapport à O. Le point O est appelé centre de symétrie. http://home.nordnet.fr/~rdassonval/symetriecentrale2.html http://home.nordnet.fr/~rdassonval/symetriecentrale5.html

Symétrie par rapport à un point (symétrie centrale) Une figure admet un centre de symétrie, quand tous ses points sont deux à deux symétriques par rapport à ce centre. Deux figures symétriques par rapport à un point sont directement égales. Si à une figure nous avons appliqué deux symétries centrales consécutives, la figure résultante est l’image de translation de la figure originale. http://instrumenpoche.sesamath.net/IMG/lecteur_iep.php?anim=composym.xml

Symétrie par rapport à un axe (symétrie axiale) Deux points A et A’ sont symétriques par rapport à un axe xy, si cet axe est perpendiculaire au milieu du segment AA’. http://home.nordnet.fr/~rdassonval/rdsymetrieorthogonale.html http://home.nordnet.fr/~rdassonval/rdsymetrieorthogonale2.html Si à chaque point A d’une figure F, on fait correspondre son symétrique A’ par rapport à l’axe xy, on obtient une figure F’, lieu des points A’, et qui est dite figure symétrique de F par rapport à xy. L’axe xy est appelé axe de symétrie. http://home.nordnet.fr/~rdassonval/symoraxe.html http://home.nordnet.fr/~rdassonval/symortdroitee.html

Symétrie par rapport à un axe (symétrie axiale) Une figure admet un axe de symétrie par rapport à un axe xy, si cet axe est perpendiculaire au milieu du segment AA’. Deux figures symétriques par rapport à un axe sont inversement égales. Toute figure qui admet deux axes rectangulaires de symétrie, a le point de concours des axes pour centre de symétrie. http://home.nordnet.fr/~rdassonval/symod1d2.html

Circonférence (1). La circonférence est une courbe plane et fermée dont tous les points sont équidistants d’un point intérieur appelé centre. La circonférence divise le plan en deux régions, l’une intérieure qui contient le centre, l’autre extérieure. Le cercle est la portion intérieure à la circonférence. On appelle rayon le segment rectiligne qui joint le centre à un point quelconque de la circonférence. Un arc est une partie quelconque de la circonférence limitée à deux points. Une corde est le segment de droite qui joint deux points quelconques de la circonférence. Un diamètre est un corde qui passe par le centre.

Circonférence (2). Théorème. Tout diamètre d’une circonférence est un axe de symétrie de la courbe. Théorème. Le diamètre est la plus grande corde du cercle.

Circonférence (3). Soit un point mobile M qui se déplace sur une demi-droite partant de O. Dépendamment de sa distance du centre par rapport au rayon le point est: - à l’intérieur de la circonférence - sur la circonférence - à l’extérieur Théorème. Les distances maxima et minima d’un point à une circonférence sont les distances de ce point aux extrémités du diamètre ou du diamètre prolongé sur lequel le point est situé.

Circonférence (4). Par deux points A et B on peut passer une infinité de circonférences, et le lieu des centres est la médiatrice de AB. Par trois points non alignés, on peut passer une circonférence et une seule. Exercices: Trouver le centre d’un arc donné. Trouver une circonférence circonscrite au triangle ABC (cercle circonscrit). On dit que le triangle est inscrit à la circonférence. http://home.nordnet.fr/~rdassonval/ddthauteur2.html

Positions relatives d’une circonférence et d’une droite Si d est la distance entre le centre d’une circonférence de rayon R et une droite alors La droite est sécante si d < R (deux points communs) La droite est tangente à la circonférence si d = R (un point commun) La droite est extérieure si d > R (pas de points communs)

Tangente à la circonférence Théorème. Toute droite AB tangente en C à une circonférence est perpendiculaire au rayon OC qui aboutit au point de contact On appelle tangente à une courbe, en un point donné A de cette courbe, la position limite d’une sécante AM qui tourne autour du point A de manière que le point commun M se rapproche indéfiniment du point A. On appelle normale à une courbe en un point M, la perpendiculaire à la tangente en ce point.

Construction de la tangente à une circonférence Exercices: À l’aide d’une règle et d’un compas construire la tangente à une circonférence donnée, parallèle à une droite donnée À l’aide d’une règle et d’un compas construire la tangente à une circonférence donnée, passant par un point donné http://instrumenpoche.sesamath.net/IMG/lecteur_iep.php?anim=g13_tangente_2.xml

Positions relatives de deux circonférences Dépendamment de la distance de deux centres des circonférences et des longueurs de leurs rayons, deux circonférences peuvent être: Extérieures Tangentes extérieurement Sécantes Tangentes intérieurement Intérieures

Arcs et cordes Théorème. Dans des cercles égaux Deux cordes égales sous-tendent deux arcs égaux. Deux cordes inégales sous-tendent des arcs (inférieurs à une demi-circonférence) inégaux; et la plus grande corde sous-tend le plus grand arc. De deux cordes inégales la plus grande est la plus rapprochée du centre. Théorème. Tout diamètre perpendiculaire à une corde divise cette corde et chacun des arcs sous-tendus en deux parties égales.

Arcs et angles Un angle inscrit est un angle qui a son sommet sur la circonférence et qui est formé par deux cordes. Un segment circulaire est la portion de cercle comprise entre un arc et la corde qui le sous-tend. Un angle inscrit a même mesure que la moitié de l’arc compris entre ses côtés.

Arcs et angles (1) Un angle inscrit est un angle qui a son sommet sur la circonférence et qui est formé par deux cordes. Un segment circulaire est la portion de cercle comprise entre un arc et la corde qui le sous-tend. Un angle inscrit dans un segment est un angle qui a son sommet sur l’arc de ce segment et dont les côtés passent par les extrémités de ce même arc. Angle inscrit dans un segment Segment circulaire Angle inscrit

Arcs et angles (2) Théorème. L’angle inscrit a même mesure que la moitié de l’arc compris entre ses côtés. Conséquences. Tous les angles inscrits dans un même segment sont égaux. Tout angle inscrit dans une demi-circonférence est droit

Arcs et angles (3) Théorème. L’angle formé par une tangente AT et une corde AB issue du point de contact A a même mesure que la moitié de l’arc compris entre ses côtés. Théorème. L’angle qui a son sommet à l’intérieur de la circonférence a même mesure que la demi-somme des arcs compris antre ses côtés et entre leurs prolongements. Théorème. L’angle formé par deux sécantes issues d’un même point A hors du cercle a même mesure que la demi-différence des arcs compris entre ses côtés.

Arcs et angles (4). Arc capable d’un angle donné. Théorème. Le lieu des points M du plan d’où l’on voit un segment de droite AB sous un angle donné a est formé de deux arcs de cercle sous-tendus par le segment et symétriques par rapport à ce segment. Ses arcs sont appelés les arcs capables de l’angle a. Exercice. Construire les arcs capables d’un angle donné.

Quadrilatère inscriptible. Théorème. Dans un quadrilatère convexe inscrit, les angles opposés sont supplémentaires. Un quadrilatère ayant les angles opposés supplémentaires s’appelle un quadrilatère inscriptible.