Démarches de résolution de problèmes © R. & M. Lyons Janvier 2010

Un problème existe lorsqu’entre un état initial et un état final recherché, il y a un obstacle.

Que voulons-nous obtenir ? Sous quelle forme sera l’état final recherché ?

Si le problème est de nature contextuelle, il faut le mettre de côté afin de s’approprier et d’intégrer le contexte tout en pensant au but visé.

Il s’agit d’associer tel type de données à tel résultat final.

Étape de remue-méninges pendant laquelle on lance des idées sans risque d’être censuré. L’absence d’idées est la seule difficulté à contourner.

Les idées proposées sont analysées. Est-ce que ces idées peuvent permettre d’atteindre le but recherché ? Quelles sont les données requises pour y parvenir ? Les avons-nous ou pouvons-nous les obtenir ?

Lorsque la solution d’un problème risque de comporter plusieurs étapes, il est possible de prévoir qu’une étape permetttra de trouver un élément nouveau. Il est possible d’estimer l’ordre de grandeur de cet élément.

Il s’agit de dresser un modèle général de solution dans lequel seront ensuite insérées les données du problème.

Des points de vérification ont déjà été précisés. La solution modèle les contient-elle ? Si ce n’est pas le cas, mais si la solution permet d’atteindre l’objectif recherché, quels points de vérification peuvent être insérés dans cette solution modèle ?

L’élaboration de la solution générale a permi de valider les repère de vérification et en a peut-être fait ressortir de nouveaux.

La solution générale constitue un ensemble articulé. En y insérant les données du problème, il est désormais possible de trouver la solution particulière du problème posé.

Cela permet de prendre du recul par rapport aux calculs afin de s’assurer si ce qui a été fait respecte la solution générale mais aussi si l’on se dirige vers une solution qui a du sens.

Certes, il faut tester le résultat de la solution, mais il y a lieu aussi de se demander si une solution plus simple existe.

La première solution est souvent une des plus hardues. En tentant d’en trouver une autre, le problème étant mieux assimilé, on s’attache moins aux détails et on obtient souvent une vue d’ensemble qui fait ressortir une solution plus simple.

Essayons de mettre en œuvre cette démarche de résolution de problème. Quatre associés mettent en commun $. À la fin de l’année, les bénéfices étaient respectivement de 7000$, 8000$, $ et $. Calculer la mise de chacun.

Les données initiales ne permettent pas, telles quelles, de répondre à la question demandée. Il y a donc un obstacle entre ces données et ce qui est recherché. Un problème existe donc.

Il s’agit de connaître la mise initiale de chacun des associés.

C’est un problème contextuel. Il y a lieu de bien comprendre d’abord ce qu’est un investissement, ce qu’est un bénéfice, quel rapport existe entre un bénéfice et un investissement.

C’est un problème dans lequel le concept de rapport entre en jeu.

Si nous réduisons l’investissement initial de la somme des bénéfices autant de fois qu’il le faudra pour que la somme initiale devienne nulle, on pourra trouver le rapport constant entre le bénéfice et la mise initiale.

Nous connaissons la mise initiale et les bénéfices obtenus, donc nous pouvons construire cette solution. Mais elle permet d’établir un rapport et non de préciser le bénéfice de chacun. Cette solution est incomplète. Retour à l’étape 4.

En utilisant le rapport trouvé, il suffira de multiplier ce rapport par le bénéfice obtenu afin de trouver l’investissement initial de chacun.

Le rapport trouvé étant forcément constant, il pourra être utilisé pour chacun des associés dont nous connaissons l’investissement. Nous avons tout ce qu’il faut pour construire cette solution.

Puisque cette solution contiendra deux étapes, à la fin de la première étape, nous devrions avoir trouvé un rapport et non une somme d’argent par exemple.

Si nous représentons dans un diagramme à bandes le bénéfice de chacun et le bénéfice total. Il suffira de prolonger chaque bande de sa longueur initiale, ou d’une fraction de sa longueur initiale, afin de trouver le rapport recherché.

La colonne qui représentera la somme des colonnes qui représente le bénéfice de chacun devra croître jusqu’à ce qu’elle représente l’investissement total.

Le rapport recherché sera égal au nombre de fois que chaque colonne a été prolongée plus un, la colonne initiale. Il restera à multiplier ce rapport par le bénéfice de chacun pour trouver leur investissement initial.

La solution modèle permet effectivement de déterminer l’investissement initial de chacun.

Il faudra s’assurer que les colonnes sont prolongées de façon proportionnelle entre elles et que la colonne qui représente la somme des autres colonnes s’étire jusqu’à atteindre exactement la somme totale investie.

Le bénéfice retiré par chacun est respectivement de : A : 7 000$; B: 8 000$; C: $; D: $. La somme totale investie est de $.

Le bénéfice total représente $.

Doublons le bénéfice de chacun et le bénéfice total.

Cette fois, le total représente $ soit le montant investi.

La somme investie est donc deux fois plus grande que le bénéfice réalisé. Le rapport entre l’investissement et le bénéfice est donc : Bénéfice × 2 = investissement.

Investissement de chacun des associés : A: 7 000$ × 2 = $; B: 8 000$ × 2 = $; C: $ × 2 = $; D: $ × 2 = $.

La somme totale des investissements calculés correspond à la donnée du problème. De plus, les investissements sont proportionnels au bénéfices, ce qui est obligatoire. La solution est bonne.

Bien que la solution graphique soit intéressante, il a fallu l’accompagner de calculs. Une solution seulement numérique est certainement possible.

On pourrait tenter de trouver cette solution numérique.