Théorie algébrique des nombres TAI Nombres et structures Anthony Branca Clément Garnier Antoine Llorca Sébastien Masurel
Grand théorème de Fermat Définition Les nombres algébriques L’anneau de Dedekind La fonction zêta
Des entiers aux polynômes Fermat conjecture qu’il n’y a pas de solution à l’équation xn + yn = zn pour n ≥ 3 avec x, y, z entiers triviaux . En 1994, Andrew Wiles la démontre. Elle deviendra alors théorème de Fermat-Wiles. q(x) ≡ r(x) mod p(x) p(x) divise (q(x) – r(x))
Des entiers aux polynômes Démonstration: - Soit q(x), p(x) et r(x) tel que q(x) ≡r(x)mod p(x). La division euclidienne de q(x) par p(x) est donc q(x)=p(x)*s(x)+r(x) avec s(x) quotient de la division. Alors q(x)-r(x)=p(x)*s(x) et donc p(x) divise (q(x)-r(x)). - Soit q(x), p(x) et r(x) tel que on a p(x) divise (q(x)-r(x)). Il existe donc s(x) tels que q(x)-r(x)=p(x)*s(x) . On a alors : q(x)=p(x)*s(x)+r(x) et donc q(x) ≡r(x)mod p(x). -Donc q(x) ≡ r(x) mod p(x) p(x) divise (q(x) – r(x))
Des polynômes aux nombres idéaux Racines p-ièmes de l’unité démonstration : xp + yp = ? ei2π = 1 αn la racine n-ième de 1 dans ℂ αn = (ei2π)1/n = ei2π/n Avec la formule d’Euler αn = cos(2 / n) + isin(2 / n) Tout les α sont des puissances de l’une d’entre elles Si p est premier, toute racine p-ième sauf 1 est racine primitive
Des polynômes aux nombres idéaux Kummer veut démontrer xp + yp en facteur premiers ou p est premier xp + yp = (x + y)(x + y) … (x + p-1y) Etudes des « entiers complexes » a0 + a1 + a22 + a33 + … + ap-1p-1 Kummer dit décomposition en facteur premier est unique Preuve réfuter par Cauchy pour p=23
Annexes Quelques scripts Python Programme en C La suite de Fibonacci Les nombres premiers Factorisation d’un entier en facteurs premiers Les nombres de Smith Approximation de la racine carrée d’un réel Programme en C Résolution d’équation du quatrième degré