1 La matière à l’horizon de Hubble Philippe Magne 2005

2 Introduction Pour que le titre de ce document prenne signification, il faut rappeler ce qu’est l’horizon de Hubble. On l’exprime à l’aide de la constante de Hubble, constante de proportionnalité entre la vitesse de récession et la distance que l’on exprime en kilomètres par seconde et par Mégaparsec. De ce fait, l’inverse de la constante de Hubble est homogène à un temps. La formule qui donne en années cet inverse est la suivante: en GigaAnnées = ( 1 ) La mission WMAP confirme la valeur de 71km / sxMpc au temps présent d’où: La constante de Hubble est vraiment constante dans tout l’espace, mais pas dans le temps, elle croît de concert avec le facteur d’échelle « a ».

3 Précisons maintenant ce qu’est l’horizon de Hubble. En multipliant l’inverse de la constante de Hubble par la vitesse de la lumière on obtient une distance au delà de laquelle la vitesse de récession est supérieure à la vitesse de la lumière, en deça elle est lui est inférieure. Pour l’observateur, cette distance correspond au rayon d’une sphère dont la surface est assimilable à cet horizon. Bien que l’Année Lumière ( AL ) ne soit pas une bonne unité de distance dans un univers en expansion, on peut dire que l’horizon de Hubble est actuellement de GigaAL. But de l’exposé Nous allons mettre en évidence un effet surprenant, à savoir que dans des conditions particulières, la matière, après qu’elle ait émergé de la zone où v > c et séjourné pendant un certain temps dans la zone où v c. Pour étudier ce phénomène, il faut choisir des lignes d’univers très proches de celle correspondant à la distance de Hubble comme nous allons le voir.

4 Après quelques tâtonnements et, compte tenu du modèle d’univers résultant de la mission WMAP, j’ai trouvé que la ligne d’univers d’un astre situé au temps présent à la distance de GigaAL convenait ( il s’agit de la distance de réception telle que définie dans « La Cosmologie baba » ), il y en a certainement d’autres. Calculs Pour simplifier nous avons adopté Comme nous l’avons laissé entendre la constante de Hubble dépend du temps, donc du facteur d’échelle «a» puisque le temps cosmique en dépend aussi. Nous utilisons la formule donnée dans: « Distances et Horizons cosmologiques page 29 » ( 2 ) Avec le logiciel MAPLE saisir: R:=13.77…*((0.27/a^ /a^4)^(-1/2)); subs( a=a e,R);

5 Qant à la ligne d’univers retenue pour la démonstration, on l’obtient en multipliant GAL par « a e », valeur du facteur d’échelle au temps t donné par l’intégrale suivante: ( 3 ) Saisir: evalf(13.77…*Int((0.27/a+0.73*a^ /a^2)^(-1/2),a=0..a e )); Les résultats figurent dans un tableau plus loin page7, dans la deuxième colonne à partir de la gauche, la première est affectée aux valeurs choisies pour « a e », la quatrième pour R SH. Il est également utile de calculer aussi la ligne d’univers empruntée par la lumière pour atteindre l’observateur dont la ligne d’univers est confondue avec l’axe temps, autrement dit son cône de lumière du passé déformé par la gravitation. Tout cela peut être mieux compris à l’aide de la figure 1page 8, on constatera que ce cône de lumière n’est autre que la méridienne du fuseau de lumière déjà souvent évoqué

6 L’abscisse du fuseau se confond avec toutes les distances d’émission puisqu’il n’y a qu’un seul chemin possible pour la lumière pour atteindre l’observateur, elle est égale au produit a e xD R qui n’est autre que la distance d’émission D e, D R étant la distance de réception, ces deux distances sont définies dans « La Cosmologie baba ». La formule ci-dessous est démontrée dans « Distances et Horizons cosmologiques p28 » ( 4 ) Saisir: evalf(13.77…*Int((0.27*a+0.73*a^ )^(-1/2),a=a e..1)); Les valeurs obtenues figurent dans le tableau de la page7 suivante, dans la cinquième et dernière colonne de droite. Les chiffres en rouge correspondent à la région de l’espace où v < c, voir la figure 1 page 8 les points 1 et 2

7 Tableau des résultats

8 Figure 1 Voir page 9 comment on obtient cette figure à l’aide du logiciel MAPLE

9 Ce qu’il faut saisir dans MAPLE pour placer les points dont les coordonnées sont dans le Tableau de la page 7

10 Coordonnées des évènements 1et 2 ( figure 1) Il suffit d’écrire que l’abscisse de la ligne d’univers de l’astre est égale à la distance de Hubble, ce sont deux distances que l’on sait exprimer en fonction de « a ». Cela revient à résoudre l’équation: ( 5 ) Saisir dans MAPLE: solve(15.229*a-13.77…*(0.27/a^ /a^4)^(-1/2)=0); Il y a deux racines: a 1 = et a 2 = Il faut maintenant calculer les deux époques qui correspondent à chacune de ces deux racines.

11 On utilise l’intégrale ( 3 ), il faut saisir dans MAPLE: evalf(13.77…Int((0.27/a+0.73*a^ /a^2)^(-1/2),a=0..a 1ou2 )); On trouve t 1 = Giga A et t 2 = Giga A Pour l’abscisse qui est une distance ( voir la figure 1 ) on multiplie la distance de réception ( au temps présent t 0 ) où se trouve l’astre de la figure 1 soit Giga AL par a 1 puis par a 2. On trouve D 1 = Giga AL et D 2 = Giga AL Quant aux red-shifts, on les obtient par la relation z 1 = z 2 = Nota: seul z 1 est mesurable ( voir la figure 1 où l’on peutconstater que seul l’événement 1 se trouve sur le fuseau de lumière)

12 Relativité Générale et invariance locale de la vitesse de la lumière La figure 1 soulève un paradoxe que nous allons tenter d’élucider à l’aide de la figure 2, l’une et l’autre concerne le même espace-temps, avec, en ce qui concerne la figure 2, quelques indications complémentaires. Constatons tout d’abord que l’unité choisie pour la distance ( abscisse), à savoir la Giga Année Lumière, et, l’unité choisie pour le temps (ordonnée), à savoir la Giga Année, ont pour conséquence que si la tangente à une ligne d’univers fait 45°avec l’un ou l’autre axe, alors la vitesse au point de tangence est égale à celle de la lumière par rapport à l’origine de la coordonnée espace. En haut de la figure2, à l’extrémité de l’axe temps, où se trouve l’observateur au temps présent, on constate l’existence d’un angle de 45°, celui que ferait un cône de lumière infinitésimal en ce point ( cl du passé). En remontant le temps cosmique, la tangente au fuseau de lumière subit une rotation.

13 On notera qu’entre les instants t A et t B la distance entre le rayon lumineux solidaire du fuseau de lumière et l’axe temps ne varie pratiquement pas Au point 1, la tangente à cette ligne d’univers devient parallèle à l’axe temps. Il s’ensuit que la vitesse de la lumière, au sens classique, pourrait être considérée comme nulle: Maintenant, examinons ce qu’il en est pour un observateur dont la ligne d’univers serait par exemple celle désignée par le chiffre Constatons, que cette ligne d’univers coupe la courbe « Horizon de Hubble » exactement au point 1. Par suite de la définition de la distance de Hubble, il est clair que cet observateur est animé d’une vitesse de récession égale à celle de la lumière par rapport à l’origine des distances. Par une mesure locale de la vitesse de la lumière qui lui provient du passé il trouverait bien 1, l’angle de 45° le fait comprendre. En généralisant, au voisinage d’une ligne d’univers,on peut toujours définir des cônes de lumière infinitésimaux, une région où la RR s’applique parfaitement ( Enrico Fermi le fit connaître en son temps )

14 Figure 2