Résistance des structures Chapitre 1 : Équilibre et statique des poutres Chapitre 2 : Contraintes et déformations Chapitre 3 : Théorèmes énergétiques Résistance des structures

Résistance des structures Ch 1 : Équilibre et statique des poutres I. Définition II. Équations d ’équilibre III. Caractérisation géométriques des poutres Résistance des structures

I. Définition I.1. But de la Résistance Des Matériaux Déterminer par le calcul les dimensions éléments d’une machine, d’un édifice… Vérifier la stabilité dans les meilleures conditions de SÉCURITÉ et d’ÉCONOMIE Résistance des structures

Résistance des structures Deux orientations possibles de dimensionnement Hypothèses Inconnues le matériau utilisé les efforts appliqués les dimensions les déformations les efforts internes le matériau les dimensions Résistance des structures

Résistance des structures I.2. Hypothèses de la RDM - dimension longitudinale principale, - matériaux homogènes, isotropes, et linéaires, - classification des solides : poutres élancées (flexion / torsion) poutres courtes (flexion / torsion + cisaillement) barres (traction / compression) câbles ( traction) Résistance des structures

Résistance des structures Exemples concrets de structures poutre Pylône électrique Ressort de suspension Ski Résistance des structures

Résistance des structures - schématisation L section S diam d fibre neutre G ex ez ey ex est un vecteur unitaire tangent à la ligne moyenne ex ey ez où ey et ez sont axes principaux d ’inertie Résistance des structures

Résistance des structures II. Équations d ’équilibre II.1. Sollicitations et conditions d ’appui - les sollicitations Fi G G’ Mj q(x) m(x) pi pj L ez ey ex - efforts et moments ponctuels Fi Mj et - efforts et moments répartis q(x) m(x) et ( TG ) = ( F , GP F ) torseur au point G : Résistance des structures

Résistance des structures - forces intérieures F2 R ex M (2) S S (1) (1) (S) M1 M1 ez F1 F1 ey N effort normal tangent à la ligne moyenne Ty Tz R = efforts tranchants M Mx moment de torsion My Mz moments flechissants Résistance des structures

Résistance des structures - les différentes liaisons 2D Résistance des structures

Résistance des structures II.2. Équations d ’équilibre global ez ey ex A B C D le Principe Fondamental de la Statique donne : Résistance des structures

Résistance des structures - degré d ’hyperstaticité n inconnues de réaction p équations d ’équilibre ( p - n ) est le degré d ’hyperstaticité ( p - n ) > 0 : hypostatique ( p - n ) = 0 : isostatique ( p - n ) < 0 : hyperstatique Exemples F Structure isostatique F Structure hyperstatique q(x) Résistance des structures

Résistance des structures II.3. Équations d ’équilibre local Évaluer le torseur des efforts intérieurs N effort normal Ty Tz R = efforts tranchants M = Mx moment de torsion My Mz moments flechissants Exemple : Cas d’une poutre console ey ex A (L) B P.F.S XA ,YA et MAz Résistance des structures

Résistance des structures On réalise une coupure fictive entre A et B en un point P d’abscisse x : ex A P (x,0) B (TD) - (TD) ey Équilibre de la partie gauche : Équilibre des moments au point P : Résistance des structures

Résistance des structures Méthode de détermination du torseur des efforts intérieurs coupure fictive entre chaque singularité (point d’appui ou point de charge) Rint = somme des efforts extérieurs situés à gauche Mint = somme des moments situés à gauche + la somme des Relation entre les éléments du torseur des efforts intérieurs et Résistance des structures

Résistance des structures III. Caractérisation géométrique des poutres III.1. Moment statique (S) d y M dS X Y Exemples x h b h/2 Résistance des structures

Résistance des structures III.2. Détermination du centre de gravité (S) G X Y XG YG Si (S) est décomposée en nombre fini d ’aires (Si) : å = Gi i G y . S Y x X Résistance des structures

Résistance des structures Exemple G2 G1 x y a b c Calculer la position du centre de gravité A.N a = 7 mm b = 60 mm c = 80 mm XG = 15.45 mm YG = 25.45 mm Résistance des structures

III.3. Moment quadratique - moment produit (S) M dS X Y r - moment quadratique ou moment d ’inertie et - moment d ’inertie polaire Résistance des structures

Résistance des structures Exemples x h b y x y d Résistance des structures

Résistance des structures - théorème de HUYGENS (S) M r’ r G d (D’) (D) (S) G x y XG YG M Résistance des structures

Résistance des structures Ch 2 : Contraintes et déformations I. Notion de contrainte II. Notion de déformation III. Relation contraintes - déformations Résistance des structures

Résistance des structures Position du problème Équilibre interne P.F.S ? Structure poutre Prévoir la rupture - nature du matériau - modèle géométrique : déformation - la loi de comportement : contrainte / déformation Résistance des structures

Résistance des structures I. Notion de contrainte contrainte rapport d ’un effort par une surface unité d ’une pression : Pa, MPa, daN/mm2 Fn F contrainte normale contrainte tangentielle S Ft Résistance des structures

Résistance des structures II. Notion de déformation Solides indéformables Solides DEFORMABLES F l Dl déformation relative Résistance des structures

Résistance des structures III. Relation contraintes - déformations III.1. Hypothèses et principes - équilibre entre contraintes et déformations, - les déformations restent petites, - les matériaux sont homogènes et isotropes. N Principe de Saint - Venant Théorie de l’élasticité Identité de la répartition : - des contraintes - des déformations R.D.M Résistance des structures

Résistance des structures Principe de superposition des états d ’équilibre F1 F2 (1) F1 (2) F2 (3) + En un point donné : Déplacements et Contraintes (1) = Déplacements et Contraintes (2) + Déplacements et Contraintes (3) Résistance des structures

Résistance des structures III.2. Loi de comportement de quelques sollicitations simples traction unidirectionnelle compression cisaillement flexion torsion Résistance des structures

- traction unidirectionnelle S0 S N Déformation longitudinale Déformation transverse Contrainte normale Résistance des structures

Résistance des structures Courbe d’évolution contrainte / déformation Loi de HOOKE s e se E : Module de YOUNG Coefficient de POISSON acier aluminium plexiglas 210000 70000 2000 0.30 0.33 0.35 Matériau E (MPa) n E : unité d ’une pression Pa, MPa, daN / mm2 n : sans unité ( < 0.50) Résistance des structures

Concentration de contraintes Variation brusque de section Répartition des contraintes non uniforme (coefficient de concentration de contraintes) Exemples : Résistance des structures

Résistance des structures - compression Hypothèses : L Sa Sb matériau homogène et isotrope, poutre à axe rectiligne vertical, 2 sections droites Sa et Sb parallèles. Condition de compression pure d d a b Résistance des structures

Résistance des structures Courbe d’évolution contrainte / déformation Résultats analogues à une sollicitation de traction - déformation élastique déformation permanente rupture pas de palier plastique pas de striction Modes de rupture Matériaux ductiles Matériaux fragiles Résistance des structures

- cisaillement g contrainte tangentielle moyenne module de COULOMB Configuration initiale Configuration déformée F F g g est l ’angle de glissement contrainte tangentielle moyenne module de COULOMB Résistance des structures

Résistance des structures - sollicitation de flexion On considère une poutre rectiligne de longueur (2a + b) sur 2 appuis simples et soumise à un effort P à chaque extrémité C P A B D a b RC RB x y Calculer l ’effort tranchant et le moment fléchissant le long de la poutre Résistance des structures

diagramme du moment fléchissant et de l ’effort tranchant aP A B C D b Mz P -P Ty x Entre B et C : Ty = 0 Mz = aP = constante Flexion pure sur BC déformée en arc de cercle de courbure constante R (sections planes et normales à la fibre moyenne) Résistance des structures

On considère un tronçon de poutre situé dans la partie BC x dq A1 A A2 y SA SA1 SA2 O G G1 Hypothèses : chaque section tourne d ’un angle dq dx = AA1 et GA = V OG = R rayon de courbure angle dq est petit et négatif déformation longitudinale les contraintes normales et tangentielles la valeur de la flèche Résistance des structures

Déformation longitudinale Loi de HOOKE Équilibre d ’une section V I dx d E M z xx = - s q V I M z xx = s Or, le rayon de courbure R est tel que : Résistance des structures

l Évaluation de la contrainte de cisaillement G V yo ey ez a b c d e f Contrainte tangentielle de cisaillement - Iz le moment quadratique de toute la section droite, Az le moment statique de la section droite limitée par la corde l - l la longueur de la corde de la section droite. Résistance des structures

- sollicitation de torsion uniforme Mx autour de l ’axe porté par ex contraintes tangentielles G r dq ex g dx ey ez les sections restent planes et circulaires Résistance des structures

Résistance des structures Ch 3 : Théorèmes énergétiques I. Définition II. Énergie de déformation III. Théorèmes énergétiques Résistance des structures

Résistance des structures I. Définition F2 F1 état final état initial déformation élastique de la poutre Théorème de l’énergie cinétique + = 0 travail des forces extérieures Wext intérieures Wint Énergie de déformation : Wd = - Wint = Wext Résistance des structures

Exemple : cas d’une sollicitation de traction Hypothèses : effort de traction variable proportionnalité entre l’effort et l’allongement Aire du triangle OAB Travail de l’effort de traction Résistance des structures

- Équilibre d’un tronçon de longueur dx Soit l’allongement du tronçon dx Loi de HOOKE Énergie de déformation élémentaire soit Résistance des structures

II. Énergie de déformation D ’une manière générale Effort normal : traction/compression Effort tranchant : Ty ou Tz Moment de torsion : Mx Moment fléchissant : My ou Mz Résistance des structures

Résistance des structures - Cas général effort normal + effort tranchant + moment fléchissant + moment de torsion Résistance des structures

Résistance des structures III. Théorèmes énergétiques III.1. Théorème de Clapeyron Fi Cj Fi Cj Déplacements Ui Rotations qj Travail des forces extérieures Résistance des structures

= III.2. Théorème de réciprocité de Maxwell - Betti a l S1 S2 Théorème ex ey A B a C l S1 S2 Théorème = Flèche dans la section S1 due à la charge P en S2 Flèche dans la section S2 due à la charge P en S1 Résistance des structures

Résistance des structures III.3. Théorème de Castigliano Théorème : le déplacement du point d’application d’une force dans sa direction (ou la rotation d’un couple) est égale à la dérivée partielle de l’énergie de déformation par rapport à cette force (ou à ce couple) : Fi A B C Résistance des structures

Wd = f(Ri) III.4. Théorème de Ménabréa Structure hyperstatique Théorème : la dérivée partielle de l’énergie de déformation par rapport à chacune des inconnues surabondantes est nulle, à condition que les points d’application des forces ne bougent pas (Ui = 0) ou que les sections ne tournent pas (qi = 0) Structure hyperstatique d ’inconnues surabondantes Ri Wd = f(Ri) Résistance des structures

III.5. Calcul du déplacement d ’un point non chargé B C G Q = 1 ex ey Poutre sur 2 appuis Flèche en G ? - charge fictive unitaire Q travaillant dans le déplacement Uy(G) - détermination de l’équation de la déformée Théorème de CASTIGLIANO Résistance des structures