DU TRAITEMENT DU SIGNAL BASES THEORIQUES DU TRAITEMENT DU SIGNAL ETUDE DES SIGNAUX DETERMINISTES ESINSA3 Thierry PITARQUE Université de Nice - Sophia Antipolis ESINSA I3S pitarque@unice.fr Je vais vous présenter les travaux effectués dans le cadre de ma thèse intitulé … Ces travaux ont été effectués au laboratoire I3S en collaboration avec la DCN ST-Tropez.

Plan du cours I Etude des signaux déterministes continus 1)Notion de signaux et systèmes 2)Energie et puissance 3)Représentation fréquentielle 4)Filtrage II Etude des signaux déterministes discrets 1)L’échantillonnage 2)Signaux déterministes discrets III Le TNS

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique 3.2 Transformée de Fourier des signaux d’énergie finie 3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie 3.4 Transformée de Fourier d’un signal périodique 3.5 Lien avec la Transformée de Laplace

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique Définition : - L’idée de base d’un développement en série de Fourier , est qu’un signal périodique (période T0) peut être décomposé en une somme de signaux dits harmoniques, c’est à dire de signaux périodiques dont la période est multiple de la période T0. - C’est l’Harmonie en Musique ou l’Analyse Harmonique en Mathématiques. - Dans ce cours on privilégiera la décomposition en exponentielles complexes. - Soit s(t) un signal continu réel ou complexe de période T0, on peut le décomposer en une somme infinie d’exponentielles complexes : Les Sk appelés Coefficients de Fourier du signal s(t) sont complexes.

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique - La suite des coefficients complexes Sk constitue le spectre discret de raies du signal périodique s(t). - On peut aussi décomposer le signal périodique (T0) en une somme de sinus et cosinus : A0 est la valeur moyenne du signal sur une période : Attention les coefficients Ak et Bk peuvent être complexes :

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique Propriétés des séries de Fourier - Les 2 décompositions Sk (module et phase) et (Ak, Bk) sont équivalentes. - Il est possible passer de la décomposition en sinus et cosinus à la décomposition en exponentielles complexes et réciproquement, grâce aux formules de passage : Pour k>0 (démonstration) - de même réciproquement : Pour k>0 :

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique Propriétés des séries de Fourier - Le coefficient A0 ou S0 est appelé composante continue du signal s(t). C’est la valeur moyenne sur une période T0. - La fréquence F=1/T0 est appelée fréquence fondamentale du signal périodique s(t). - Les coefficients A1 et B1 constituent l’amplitude du fondamental. - les signaux complexes constituent le fondamental de s(t). - Les fréquences avec k >1, constituent les fréquences harmoniques du signal s(t). - ATTENTION, le premier harmonique a une fréquence - Les fréquences négatives n’ont pas de signification “physique” dans la décomposition en exponentielles complexes

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique Propriétés des séries de Fourier - si s(t) est complexe, Ak et Bk sont complexes. - si s(t) est réel, Ak et Bk sont réels car intégrales d’une fonction réelle et les coefficients Sk sont à symétrie hermitienne : - si s(t) est pair, Bk =0 , k>1 car Bk est l’intégrale d’une fonction impaire. - si s(t) est impair, A0=0 et Ak =0 , k>1 car les Ak sont les intégrales d’une fonction impaire - si s(t) est réel et pair, Sk est réel : d’où - si s(t) est réel et impair, Sk est imaginaire pur : d’où

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique Propriétés des séries de Fourier - La puissance moyenne d’un signal périodique peut s’exprimer aussi spectralement en fonction des coefficients Sk (c’est l’égalité de Parseval) : - Chaque terme représente la puissance moyenne apportée par chacun des harmoniques.

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique Propriétés des séries de Fourier - Le décalage en temps se traduit sur les coefficients de Fourier Sk par une multiplication complexe : d’où - Attention , chaque coefficient Sk est multiplié par une exponentielle complexe qui dépend de k. - Rappel, si t0 > 0 le signal s(t) est retardé et si t0 < 0 le signal s(t) est avancé.

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal - Soit le signal réel périodique s(t) qui est une porte de période T et d’amplitude A : - Donner les coefficients Sk - Donner les Ak et les Bk - Que se passe-t-il si on avance le signal de q/2 ?

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal - On pose par définition que le sinus cardinal - ATTENTION, la fonction sinc est paire et

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal passage des Sk aux Ak, Bk : Pour k>0 : - Dans le cas A=1 et q=T/2 : A0=1/2, Ak=0, B1=2/p, B2=0, B3= 2/3p, B4=0, B5=2/5p, …

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal Que se passe-t-il si on avance le signal de q/2 ? Le signal obtenu est réel et pair, les coefficients Sk sont réels, les coefficients Bk sont nuls, A0=S0=A/2 et les Ak=2*Sk

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal Tracé des Sk, des Bk et du signal reconstruit : A0=1/2, Ak=0, B1=2/p, B2=0, B3= 2/3p, B4=0, B5=2/5p, … k>0, Sk=-jBk /2, S1=-j/p, S2=0, S3= -j/3p, S4=0, S5=-j/5p, … k<0, Sk=jB-k /2, S-1=j/p, S-2=0, S-3= j/3p, S-4=0, S-5=j/5p, …

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal Tracé des Sk, des Bk et du signal reconstruit :

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal Signal triangulaire périodique, tracé des Ak et du signal reconstruit :

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal Signal sinusoidal redressé double alternance, tracé des Ak et du signal reconstruit :

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal Signal sinusoidal redressé monoalternance, tracé des Ak, Bk et du signal reconstruit :

I Etude des signaux déterministes continus 3) Représentation fréquentielle 3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal Signal sinusoidal redressé monoalternance, augmentation du nombre de coefficients tracé des Ak, Bk et du signal reconstruit :