Quelques éléments finis

Approche EF

Méthode des éléments Finis Concept et organisation 2.1 Recherche d’une solution approchée La solution doit respecter les conditions aux limites en déplacement et minimiser l’énergie potentielle élastique J (Pour les problèmes élastiques linéaires, petites déformations  sinon formulation faible point de départ) On approche la solution en recherchant sur un espace de dimension finie, la solution approchée minimisant J tout en étant cinématiquement admissible

Formulation 3D en statique Exemple : MEF, espace défini par une combinaison linéaire de fonctions simples ui inconnues caractérisant la solution approchée Fi fonctions de base de l’espace choisi Minimisation de J D’où le système matriciel : avec

MEF – Concept et organisation Structure élastique linéaire On a donc

MEF – Concept et organisation Matrices et vecteurs élémentaires: Matrice de raideur élémentaire calculée par élément Cette composante est nulle si i et k ne sont pas des nœuds de l’élément E On utilise en fait une matrice réduite contenant uniquement les lignes et colonnes non nulles de K matrice carrée de dim = (nbre des nœuds de l’élément) x (nbre d’inconnues par nœud)

MEF – Concept et organisation Vecteur force élémentaire calculé par élément Cette composante est nulle si i n’est pas un des nœuds de l’élément E On utilise en fait un vecteur FE réduit contenant uniquement les lignes non nulles de F vecteur de dimension: (nbre des nœuds de l’élément) x (nbre d’inconnues par nœud)

MEF – Concept et organisation Représentation des inconnues sur l’élément m nœuds sur l’élément, p ddl par noeud Inconnue scalaire: Inconnue vectorielle: matrice de dimensions (p, m*p) vecteur de dimension m*p, nombre total des inconnues de l’élément

MEF – Concept et organisation Représentation de la déformation sur l’élément (exemple 2D contrainte ou déformation plane)

MEF – Concept et organisation Expression matricielle de l’énergie de déformation et de la matrice de raideur élémentaire Énergie de déformation élémentaire Matrice de raideur élémentaire (p*m,p*m) en 2D (p*m, 3) (3,3) (3,p*m) en 3D (p*m,6) (6,6) (6,p*m)

MEF – Concept et organisation Expression des efforts élémentaires (termes complémentaires si Ud non nuls) On pose On peut donc exprimer le vecteur force élémentaire par

MEF – Concept et organisation 2.c Eléménts de référence, élements réels Les éléments ont des tailles et des orientations différentes Pour le calcul de Ke et fe, on doit reprendre pour chaque élément, l’expression explicite des Ni, de la matrice B et calculer des intégrales sur des domaines différents => complexe On travaille avec un élément de référence puis on transporte les calculs de l’élément de référence vers l’élément réel

MEF – Concept et organisation Exemple – triangle à 3 nœuds transformation isoparamétrique: mêmes fonctions pour définir les variables et la géométrie 1’ 2’ 3’ a b x y 1’’ 2’’ 3’’ Fonction de forme de l’élément

MEF – Concept et Organisation Calcul des intégrales cas général J jacobien de la transformation ou déterminant de la matrice jacobienne F Expression de F

MEF – Concept et organisation Par comparaison, on obtient l’expression finale de la matrice jacobienne F Produit matriciel de la matrice des coordonnées de l’élément réel par la matrice des dérivés des fonctions de forme de l’élément par rapport au repère de référence (invariant de l’élément de référence) Dernière matrice facile à calculer Ni,a Ni,b … Exemple : triangle 3 nœuds N1,a =-1, N1,b = -1…

MEF – Concept et organisation Dérivées / x,y ou z Souvent F fait intervenir des dérivées / x, y et z. On peut calculer ces dérivées en fonctions des dérivées / a, b et g (matrice B) Cette relation permet d’exprimer les dérivées des fonctions de base/ x y et z en fonction de celles / a, b et g

MEF – Concept et organisation Exemple triangle à 3 nœuds TR3 (contrainte ou déformation plane) de même la matrice jacobienne le jacobien

MEF – Concept et organisation TR3 Particularité, J constant et toujours positif J = 2 * Surface de l’élément réel J > 0, la transformation est une bijection Expression de G (inverse de F) Dérivées des Ni/repère réel Remarque: les Ni,x et Ni,y sont constants

MEF – Concept et organisation TR3 Matrices B et Ke matrice B (ici matrice constante) matrice de rigidité élémentaire

MEF – Concept et organisation Exemple – triangle à 6 nœuds TR6 1’ 2’ 3’ a b 4’ 5’ 6’ x y 1’’ 2’’ 3’’ 4 ’’ 5’’ 6’’

MEF – Concept et organisation TR6 Éléments isoparamétriques, même définition pour la variable et la géométrie Variable de degré 2 sur l’élément de référence Éléments sous paramétriques: géométrie définie par 3 sommets (cas pour les éléments à bord droit) Éléments sur paramétriques: géométrie définie par 6 nœuds et variable par 3 noeuds

MEF – Concept et organisation TR6 matrice jacobienne Pb : les termes de F sont des fonctions affines de a et b. => J fonction parabolique Si éléments trop déformés J(a,b) nul et même négatif en certains points Les composantes de G et donc des Ni,x et Ni,y et B sont des fonctions rationnelles Même chose pour Ke intégration explicite difficile => intégration numérique

Elements de référence TR3 TR6 TR9 Q12 Q4 Q8

Fonction de base

TR3 vs. TR6 U linéaire Contraintes et déformations : Cte x y 1’’ 2’’ 3’’ 4 ’’ 5’’ 6’’ 1’ 2’ 3’ a b 4’ 5’ 6’ 1’ 2’ 3’ a b x y 1’’ 2’’ 3’’ U linéaire Contraintes et déformations : Cte Bord de l’élément droit U quadratique Contraintes et déformations : linéaire Bord de l’élément quadratique

MEF – Concept et organisation Remarques TR6: Si éléments réels avec des bords droits, même transformation que pour un TR3, J = 2 S, composantes de F et G constantes, composantes de B sont des fonctions linéaires composantes de Ke fonctions paraboliques => intégration explicite possible u de degré 2 sur l’élément réel Pour un élément ‘déformé’, si J nul ou négatif, la transformation n’est plus une bijection pas d’unicité M’’ => M’, u de degré >2 sur l’élément réel mais incomplet Erreur de corde: rapport: h/c limité Intérêt des éléments avec des bords courbes ? mieux suivre la géométrie h c

MEF – Concept et organisation 2.d Intégration numérique Exemple à l’ordre 2 Poids des points d’intégration Position des points d’intégration Intégration exacte d’un polynôme de degrés 2r-1

MEF – Concept et organisation 2.d Intégration numérique de f(x,y,z) coordonnées des points d’intégration Npi nombre des points d’intégration wi poids du point d’intégration Choisir un schéma d’intégration => choisir les couples (wi, (xi,yi,zi)) On choisit le nombre des points de façon à intégrer exactement un polynôme de degré n Plus connus Points de Gauss, ligne, carré, parrallépipède rectangle Points de Hammer triangle, tétraèdre

MEF – Concept et organisation Exemple en 2D Points de gauss en 2 D (en 3D) à partir des points de gauss en 1 D élément de référence de taille 2*2 Element TR6 et TR3

MEF – Concept et organisation Hyp Remarques sur l’intégration numérique Si J non constant avec f’ fonction rationnelle => intégration numérique: on approche la valeur exacte en approchant par une fonction polynomiale d’un ordre fonction du nombre des points d’intégration Plus un élément est déformé, plus l’intégration numérique est approchée => éviter des éléments trop déformés (géométrie mieux approchée mais erreur due à l’intégration)

2. e Eléments usuels 2D Déformation plane et contrainte plane TR3, TR6, Q4 et Q8 Q4: fonctions de base variables de degré 2 (polynôme incomplet) (meilleur en flexion que TR3, terme proche de ab) si les angles restent droits => J constant, sinon J polynôme a b 1 2 3 4 1’ 4’ 2’ 3’ x y

MEF – Concept et organisation Q8 (sommets + noeuds milieux) variables de degré 3 (polynôme incomplet) sur le repère de référence si les angles et les bords restent droits => J constant, sinon J polynôme a b 1 2 3 4 8 5 6 7 1’ 4’ 2’ 3’ x y 8’ 5’ 6’ 7’

MEF – Concept et organisation Problèmes axisymétriques: Mêmes éléments (forme) qu’en 2D Mais Différences x y z r

MEF – Eléments 3D Tétraèdre à 4 nœuds N1=1-a-b-g N2=a N3=b g N4=g 4 Élément de degré 1, J,B et Ke constants Tétraèdre à 10 nœuds (+ les milieux des arêtes)  variable de degré 2 Si éléments réels avec des bords droits, même transformation que pour un tétraèdre à 4 noeuds, J, composantes de F et G constantes, composantes de B sont des fonctions linéaires composantes de Ke fonctions paraboliques a b g 1 2 3 4

MEF – Eléments 3D Hexaèdre à 8 nœuds (variable de degré 2, polynôme incomplet) Hexaèdre à 20 nœuds (+ milieux des arêtes), variable de degré 3, polynôme incomplet J constant et les composantes de Ke polynômes si les bords restent droits + Penta H20 Tet10 Tet4 Pent6 H8

MEF – Eléments Plaques Eléments de Plaques, 3 types de déformations Membrane Flexion Cisaillement soit pour la déformation totale Remarque: les déformations de cisaillement et de membrane constantes dans l’épaisseur et celle de flexion varie linéairement

MEF – Eléments Plaques Théorie de Kirchoff Love cisaillement nul On peut réécrire les déformations et donc Le problème fonction de u uniquement mais l’énergie de déformation définie => u C1

MEF – Eléments Plaques Théorie de reissner Mindlin Le problème fonction de u et de w mais l’énergie de déformation définie => u et w C0

MEF – Eléments Plaques Energie de déformation après intégration dans l’épaisseur

MEF – Eléments Plaques Eléments plaques Membrane  identique à la contrainte plane, même Ke On ne s’intéresse qu’à la partie de Ke provenant de la flexion et du cisaillement Éléments de Kirchoff -Love , Flexion sans cisaillement pour pouvoir calculer ces dérivées secondes, il faut avoir uz, uz,x et uz,y continus  uz C1 pour un triangle à trois nœuds  3 ddl/nœud uz, uz,x et uz,y uz s’expriment en fonction de ces 9 ddls Problème si uz cubique => 10 coefficients, un coefficient de trop Plusieurs solutions possibles => nombreux éléments => problème convergence => sensibilité à la distorsion

MEF – Eléments Plaques Eléments de Kirchoff discrets Éléments de type Mindlin ou on annule le cisaillement en certains points de l’élément (DKT – DKQ)

MEF – Concept et organisation Eléments de Mindlin (partie flexion + cisaillement) 3 inconnues par nœuds bx , by et uz => C0 Élément le + simple, triangle 3 nœuds 1’ 2’ 3’ a b

MEF – Concept et organisation Matrice de rigidité élémentaire Avec et matrices de rigidité élémentaires: Kf en h3 et Kc en h Problème quand h->0, Kf<<Kc alors que le cisaillement devrait devenir négligeable

MEF – Concept et organisation Blocage en cisaillement (shear locking) Cet élément de Mindlin devient faux pour les plaques minces. Les inconnues servent à résoudre mieux l’équation locale de cisaillement (de faible importance) et il n’y a plus d’inconnue pour résoudre l’équation de flexion. Problème classique des formulations mixtes (exemple matériaux incompressibles) Amélioration: Kc sous intégrée (- de point de gauss que nécessaire) => amélioration du comportement et atténuation de l’effet de shear locking

Ansys Ref.

Elements ? ?? ?? ?? ??

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Discussion … La simulation plante !! Pourquoi ???

Essai de traction Eprouvette injectée thermoplastique renforcé FV orientation 0°

Essai de traction FEM curve Test curve The model is not correct, model results are not matching with the test results WHY ??? …

3ème séance

Rappel Objectif du modèle Simplification de la CAO Poutre, plaque, 2D σ, 2D ε, 3D Choix des éléments Discrétisation Ecriture du pb numérique Résolution Convergence Validation du modèle Conclusion

Simplification de la CAO Pourquoi simplifier la géométrie ?? Que peut-on supprimer dans un modèle géométrique ? Congé, Chamfrein, Dépouille Trous Petites surfaces ou arêtes Comment supprimer ?? Dans l’arbre modèle dans outil CAO Suppression de features Regroupement de surface (virtual topology) Oui …. Mais Quel est l’objectif du modèle ?? Que dit “Saint Venant” Modifie-t-on la rigidité ??

Construction d’un maillage Simplification géom !

Simplification dans l’arbre du modèle

Mailleur Calcul d’erreur Connection de maillage

Maillage 2 types de maillage Réglé “Piloté” maitrise forme des éléments Libre “Automatique”

Maillage réglé Regroupement d’arêtes Partition - Découper la geométrie

Maillage libre Taille global et local (surface, ligne, point) Génération d’un nuage de points Triangulation : Delaunay Assemblage de triangle pour former des Quadrangles 1 10 10

Maillage – 2D  3D Méthode hexa Propagation de maillage surfacique dans le volume Algorithmes: Structuré / Maillage réglé hexa Semi-structuré « extrusion » / « balayage » maillage surfacique (tri/quad) Génération mixte d’hexa ou prisms Maillage libre: Delaunay tetra

Maillage 3D régulier Maillage Hexa: extrusion du maillage surfacique 1/8 de sphere

Maillage 3D Balayage en penta Balayage en hexa maillage tri libre + extrusion Balayage en hexa maillage libre quad + extrusion

Maillage 3D Maillage tétra libre - le plus utilisé car le plus automatisé Attention aux résultats !!

Préparation pour un maillage Hexa Faire des découpes préalables Objectif Décomposer la géométrie en volume et surface simple Méthode Découper les côtés et les surfaces par des plans ou des surfaces On peut ensuite: Utiliser des extrusions de maillage dans certaines parties Améliorer localement la qualité et les caractéristiques du maillage Préparer des zones pour définir les conditions aux limites ou pour post-traiter les résultats ou créer des zones de contact Inconvénients Nécessite une utilisation intelligente pour ne pas dégrader la géométrie Petites surfaces  petits éléments, mauvaises qualités des éléments