Prix Marcel Dassault 2001 *** Prix Marcel Dassault 2001

Optimisation de forme Méthodes et Algorithmes Olivier Pironneau Université Paris VI, INRIA & IUF Olivier Pironneau Conférence dédiée à Jacques-Louis Lions Prix Marcel Dassault 2001

Applications Diminution du poids Amélioration de la solidité Diminution de la trainée Diminution de la visibilité radar Manoeuvrabilité (avion déformable?) Avion, bateau, voiture, moteur, électronique Un nombre très varié d’applications: Simulation => Contrôle Références: G. Allaire, Thèse Baron

Formulation Sd=ensemble des formes admissibles Exemple didactique la forme optimale à très petite vitesse Sd=ensemble des formes admissibles u est la fonction « état »

Historique Hadamard (1907): 1ère variation / forme Ph. Morice Hadamard (1907): 1ère variation / forme NASA: une optimisation de tuyère ~ 1970 Autour de J.L. Lions 1973-1976 T Cea et al Optimization topologique, ‘’ Chenais Existence S/ Lipschitz uniform ‘’ Dervieux… Vitesse de déformation F. Murat et al Transformation de domaine O. Pironneau Variation normale L. Tartar Fonction caractéristique n a x q q+vt Références: OP: Springer 1982 P. Neittaanmakki, J. Cea, P. Zolezio, M. Delfour… .c=1 .c=0

Condition d’optimalité avec n a x Calcul des variations Théorème => algorithme:

Premières solutions Une itération de gradient à la main Etendu au cas laminaire => adjoint Angles (Lighthill) => sensible / C.L. Cas discret (avec A.Marrocco) Références: O. Pironneau JFM(72 & 73) , Glowinski-OPJFM(75), Marrocco-OP(Num Meth eng(77)

Oscillations Le pb du poids minimal est mal posé (L. Tartar) Les itérations de gradient sortent de l’espace des contraintes défini par F. Murat ou D. Chenais Ref. G. Allaire

L’homogénéisation Solution Murat, Tartar, Lurie, Kikuchi, Bensoe Cioranescu, Sverak La difficulté est elle physique ou algorithmique? Sverak: s’il y a un nombre fini de trous alors l’objet de trainée minimale existe Trouver le bon espace et régulariser le critère Solution Références: Bensoussan-Lions-Papanicolaou C. Conca, Y. Achdou (thèse)

Normes / régularisation x Normes / régularisation Le Problème régularisé Le Problème discrétisé FEM (2D) Convergence: h->0 OK car Références: DiCesaré: Thèse (1999) Gradient Conjugué dans H2 smoother

De la théorie aux applications Solveurs Géométries complexes Equations transsoniques => Euler => N.S. Chimie (Desideri-Rostand) Turbulence (Begue-Chacon) Lois de Parois (Mohammadi) Le Cray Références: B. Mohammadi+OP Oxford U. Press 2001

Méthodes variationnelles Navier-Stokes incompressible. Taylor-Hood, par gradient conjugué (+Glowinski), l’élément P1isoP2/P1 (+Bercovier), le décentrage (v.s. R. Lohner, T. Hughes). Euler Compressible Lax-Roe-Van Leer: Vyjayasundaram, Dervieux -Stoufflet v.s. Jameson Navier-Stokes Compressible. Maillage adaptatif (C. Johnson), formulation entropique (T. Hughes, M. Mallet), correction potentielle (+Eldabaghi). Références: OP: Wiley 1989 : Finite element methods for fluids Thanks P. Perrier–J. Periaux

Turbulence Homogénéisation (+Mclaughin, Papanicolaou, Begue, Chacon, Ortegon) K-epsilon (Launder-Spalding): existence de solution (+Bardos-Mohammadi-Lewandowski) Algorithmes positifs (+Coron-Mohammadi) Implémentation implicite des lois de parois (+Mohammadi-Saiac-Hecht) Références: B.Mohammadi ,O.P. Wiley 1997: Analysis of the k-e model

CAO et Maillage La CAO est propriété de l’industriel Le maillage adaptatif est crucial mais module externe => Maillage adaptatif de surfaces par reconstruction de l’objet CAO a partir d’un maillage grossier (Farin) Maillage adaptatif + estimation d’erreur a posteriori Références: M. Gopalsamy, P.L. George, F. Hecht, F. Saltel, P. Frey

Differentiation automatique class ddouble { public: float v[2]; ddouble(double a, double b=0){ v[0] = a; v[1]=b;} friend ddouble operator*(const ddouble& a,const ddouble& b) { ddouble c; c.v[1] = a.v[1] * b.v[0] + a.v[0] * b.v[1]; c.v[0] = a.v[0] * b.v[0]; return c;} friend ddouble sin(const ddouble& a) { ddouble c; c.v[1] = cos(a.v[0])*a.v[1]; c.v[0] = sin(a.v[0]); return c;} }; Références: Masmoudi, Thèse Dicésaré, Griewank (academic press), Odyssee (INRIA)

Calcul parallèle Mortar Element Method (Bernardi-Maday-Patera) Solveur iteratif (+ Achdou-Kuznetsov) Navier-Stokes (+ Achdou, Hontand, Prud’homme) Constructive Solid Geometry (+JL Lions-DelPino) Références: Thèses: Hontand, Prud’homme, DelPino. En cours + JL Lions Etudes faites en liaison avec le Pôle Scientifique

Intégration à l’optimum design Euler/N.S.+ k-e+wall laws Différentiation automatique Adaptation de maillage Algorithmique optimisée Choix des bonnes normes Références: Bijan Mohammadi

Optimisation d’un avion d’affaires Références: B. Mohammadi+OP Oxford U. Press 2001

Optimisation d’un ventilateur at given Q, D P, W 3 paramètres par sections cambrure, torsion, aire 3 parameterizations: Camber, sweep, by-section 10% de gain Références: Mohammadi-Bouigt

Evolutions Liens avec la VR Autres Méthodes (domaines fictifs) border d(t=1,0) { x=0; y=t }; border b(t=0,1) { x=1; y=t }; border a(t=0,1) { x=t; y=0 }; border c(t=0,1) { x=1-t; y=1 }; border e(t=0,2*pi) {x=0.7+0.15*cos(t); y=0.5+0.15*sin(t)}; E := 21.5; sigma := 0.29; mu := E/(2*(1+sigma)); lambda := E*sigma/((1+sigma)*(1-2*sigma)); mesh Sh = buildmesh( b(30)+c(20)+d(20)+a(20) + e(-50)); for i:=0 to 250 do{ varsolve(Sh,0) bb(uu,w,vv,s) with { e11 = dx(uu); e22 = dy(vv); e12 = (dx(vv)+dy(uu))/2; w11 = dx(w); w22 = dy(s); w12 = (dx(s)+dy(w))/2; bb = int()( 2*mu*(e11*w11+e12*w12+e22*w22) + lambda*(e11+e22)*(w11+w22)/2 -s ) + on(a,c)(w)(uu=0) + on(a,c)(s)(vv=0) }; sigmanx = (2*mu*e11+lambda*(e11+e22)/2)*nrmlx + mu*e12*nrmly; sigmany = (2*mu*e22+lambda*(e11+e22)/2)*nrmly + mu*e12*nrmlx; surf := int(e)(1); sgx := int(e)(sigmanx)/surf; sgy := int(e)(sigmany)/surf; rho:= 1.5e-6*sqrt(int(e)((sigmanx/sgx-1)^2 + (sigmany/sgy- 1)^2))/surf; solve(u,v){ pde(u) -laplace(u)*0.1- dxx(u)-dxy(v)=0; on(a,b,c,d) u= 0; on(e) u= rho*(sigmanx/sgx-1); pde(v) -laplace(v)*0.1- dyy(v)-dxy(u)=0; on(a,b,c,d) v= 0; on(e) v= rho*(sigmany/sgy-1); }; mesh Sh = movemesh(Sh,x+u,y+v);} Evolutions Liens avec la VR Autres Méthodes (domaines fictifs) Automatisation: le projet freefem Hecht,DelPino Références

Problèmes ouverts Le contrôle actif Estimations a posteriori et optimum design Optimisation global, algorithmes génétiques Boîtes-noires: quasi-gradients/algo génétiques Multi-physique (fluides structures…) Multi-critères: Pareto, Nash… Optimum design avec modélisation LES. Références: Bernardi,Girault,Maday,Hecht, Schoenauer, Periaux, Dervieux, Desideri, Lesieur, Candel, Poinsot, Bercovier, Mohammadi…