Pour trois points non alignés A, B et C, on a les inégalités triangulaires suivantes: AB < AC+CB AC < AB+BC BC < BA+AC Ces inégalités sont strictes puisqu’il y a égalité que lorsque les trois points sont alignés. Pourtant….

B Prenons un triangle ABC isocèle rectangle. Notons AB = a. a a A C

B D Prenons un triangle ABC isocèle rectangle. Notons AB = a. Construisons le point D de telle sorte que ABDC soit un carré. a a A C

a B D Chaque côté a pour longueur a. a a a A C

B D Transformons la ligne bleue de la manière suivante. a a A C

B D Transformons la ligne bleue de la manière suivante. On coupe les segments [BD] et [DC] en leur milieu. a a A C

B D Transformons la ligne bleue de la manière suivante. On coupe les segments [BD] et [DC] en leur milieu. a a A C

B D Transformons la ligne bleue de la manière suivante. On coupe les segments [BD] et [DC] en leur milieu. a a A C

B D La ligne bleue obtenue par cette construction a même longueur que la première : BD+DC = AB+AC a a A C

B Effectuons maintenant la même construction à chaque triangle formant cette ligne bleue. a a A C

B Effectuons maintenant la même construction à chaque triangle formant cette ligne bleue. a a A C

B Effectuons maintenant la même construction à chaque triangle formant cette ligne bleue. a a A C

B Effectuons maintenant la même construction à chaque triangle formant cette ligne bleue. a a A C

B Effectuons maintenant la même construction à chaque triangle formant cette ligne bleue. a a A C

B Pour les mêmes raisons, la ligne bleue obtenue a pour longueur : AB+AC a a A C

B Continuons cette transformation sur la ligne brisée. a a A C

B Continuons cette transformation sur la ligne brisée. a a A C

B Continuons cette transformation sur la ligne brisée. a a A C

B Continuons cette transformation sur la ligne brisée. a a A C

B Continuons cette transformation sur la ligne brisée. a a A C

B Encore une fois, nous obtenons une nouvelle ligne brisée de même longueur que la précédente : AB+AC a a A C

B Passons à l ’étape suivante. a a A C

B Passons à l ’étape suivante. a a A C

B Passons à l ’étape suivante. a a A C

B Passons à l ’étape suivante. a a A C

B Passons à l ’étape suivante. a a A C

B Passons à l ’étape suivante. a a A C

B Passons à l ’étape suivante. a a A C

B Passons à l ’étape suivante. a a A C

B Passons à l ’étape suivante. a a A C

B Et la ligne brisée bleue mesure toujours: AB+AC a a A C

B Etape suivante: a a A C

B Etape suivante: a a A C

B On obtient toujours une ligne brisée de longueur AB+AC a a A C

B Si on continue, on obtient une ligne qui se superpose au côté [BC]. a a A C

B Si on continue, on obtient une ligne qui se superpose au côté [BC]. On a alors: AB+AC = BC Or AB+AC > BC. a a A C

Quelle est donc cette contradiction ? Conception : Laurent Hennequart