Sémantique logique 2- sémantique de Montague Licence MIASS A. Lecomte 2006

1- le -calcul

Toute constante et toute variable sont des -termes, Si M et N sont des -termes, alors (M N) est un -terme Si M est un -terme et si x est une variable, alors x. M est un -terme

-réduction redex : un terme de la forme (x. u) v -réduction (élimination des redex) : (x. u) v  u[x := v] exemple : (x. xy) a  ay Un terme  est dit normal si plus aucune réduction ne peut lui être appliquée Un -terme  est normalisable s’il existe un terme normal  tel que  *  Un -terme  est fortement normalisable si toutes les réductions à partir de  sont finies

Exemples de -termes non normalisables (x.(x x) x.(x x))  (x.(x x) x.(x x)) (x.((x x) x) x.((x x) x))  ((x.((x x) x) x.((x x) x)) x.((x x) x))  etc.

Les entiers de Church n = λfx.f(f(...(f x)...)) = λfx.fnx avec n f. Par exemple 0 = λfx.x, 3 = λfx.f(f(f x)) Fonction « successeur »: nfx. (f ((n f) x)) vérifier: (nfx. (f ((n f) x)) 3)  4

-calcul typé Toute constante et toute variable de type a sont des -termes de type a Si M est un -terme de type <a, b> et N un -terme de type a, alors (M N) est un -terme de type b Si M est un -terme de type b et si x est une variable de type a, alors x. M est un -terme de type <a, b> Permet que tous les -termes soient fortement normalisables

2- Traduire les catégories syntaxiques en types sémantiques a – les types sémantiques

Traduction : les types sémantiques En sémantique deux types de base : e et t (entity, truth-value) L’ensemble de tous les types est défini par: (i) e et t sont des types (ii) si a et b sont des types, alors <a,b> est un type (iii) rien n’est un type hormis par (i) et (ii)

Types et prédicats Les constantes et les variables sont de type e Les lettres de prédicats à une place : de type <e, t> à deux places : de type <e, <e, t>> à n places : de type <e, <…, e, <e, t> …>> Les formules sont de type t

exercice! Déterminer les types de: Connecteur  Connecteurs , ,  Quantificateurs ,  Démontrer que la formule suivante est correctement formée (ie.est bien de type t)

b – les objets sémantiques

Correspondance catégories syntaxiques – types sémantiques 1ère version phrase SV, VI SN, Np VT adverbe de verbe VI/VI N (nom commun) adverbe de phrase préposition verbe propositionnel verbe intentionnel article t <e, t> e <e,<e,t>> <<e,t>, <e, t>> <t, t> < e, <<e,t>, <e, t>>> <t, <e, t>> <<e, t>, e>

Correspondance catégories syntaxiques – types sémantiques 2ème version phrase SV, VI SN, Np VT adverbe de verbe VI/VI N (nom commun) adverbe de phrase préposition verbe propositionnel verbe intentionnel article t <e, t> <<e,t>, t> <<<e,t>,t>,<e,t>> <<e,t>, <e, t>> <t, t> <<<e,t>,t>, <<e,t>, <e, t>>> <t, <e, t>> <<e, t>, <<e,t>, t>>

Sémantique dénotationnelle Qu’est-ce qu’une expression de type <e, <e, t>>? une expression qui représente une fonction de DD dans {vrai, faux} Soit  de type <e, <e, t>>, et  de type e : ||()||M,g = ||||M,g(||||M,g) Exemple : chercher (extensionnel) chercher(pénélope) ----> ?? (chercher(pénélope))(stéphane) ----> chercher(pénélope, stéphane) ou chercher(stéphane, pénélope) ???

exemples Supposons chercher (extensionnel) de type <e, <e, t>>, nous admettons de plus qu’il est représenté par le -terme : x.y.chercher(x, y) alors: ((x.y.chercher(x, y) pénélope) stéphane) ----> (y.chercher(pénélope, y) stéphane) ----> chercher(pénélope, stéphane)

chaque enfant rigole But : x (enfant(x)  rigole(x)) Identique à : (P.[x (enfant(x)  P(x))] u.rigole(u)) donc : chaque enfant = P.[x (enfant(x)  P(x))] (Q.P.[x (Q(x)  P(x))] v.enfant(v)) donc: chaque = Q.P.[x (Q(x)  P(x))]

au moins, aucun… au moins un = Q.P.[x (Q(x)P(x))] aucun = Q.P.[x (Q(x)P(x))]

3. Assembler les objets au moyen d’une grammaire

Grammaire de constituants (1ère version) S  SN SV SN  Det N SN  Np SV  Vi SV  Vt SN SV  Vp que S SV  Vint SV (S) = ((SV) (SN)) (SN) = ((Det) (N)) (SN) = (Np) (SV) = (Vi) (SV) = ((Vt) (SN)) (SV) = ((Vp) (S)) (SV) = ((Vint)(SN))

exemple Le philosophe dit que Socrate ment Enrichir la grammaire pour avoir: Le philosophe grec dit que Socrate ment Le philosophe grec attaque violemment Socrate

Grammaire de constituants (2ème version) S  SN SV SN  Det N SN  Np SV  Vi SV  Vt SN SV  Vp que S SV  Vint SV (S) = ((SN) (SV)) (SN) = ((Det) (N)) (SN) = (Np) (SV) = (Vi) (SV) = (SN) o (Vt) (SV) = ((Vp) (S)) (SV) = (SV)o(Vint)

Grammaire de constituants Det  chaque | tout Det  un N  enfant | ballon Np  stéphane Vi  rigole Vt  cherche Vp  dit Vint  essaie (tout) = Q.P.[x (Q(x)  P(x))] (un) = Q.P.[x (Q(x)P(x))] (enfant) = x.enfant(x) (stéphane) = P.P(stéphane) (rigole) = x.rigole(x) (cherche) = x.  y.cherche(x, y) (dit) = P. x. dit(x,P) (essaie) = x. P.essaie(x, P)

Exemple : stéphane cherche un ballon (Q.P.x[Q(x)P(x)] x. ballon(x)) P.x[(x. ballon(x) x)P(x)] P.x[ballon(x)P(x)] SN Det N un ballon Q.P.x[Q(x)P(x)] x. ballon(x)

Exemple : stéphane cherche un ballon SV P.x[ballon(x)P(x)] Vt SN x.y. chercher(x,y) Det N un ballon

Exemple : stéphane cherche un ballon z. (P.x[ballon(x)P(x)],(x.y. chercher(x,y) z))  z. (P.x[ballon(x)P(x)], y. chercher(z,y)) z. x[ballon(x) (y. chercher(z,y), x)], z. x[ballon(x) chercher(z,x)] Composition : (x.f(x)) o (y.g(y)) = z. (x.f(x), (y.g(y), z)) SV P.x[ballon(x)P(x)] Vt SN x.y. chercher(x,y) Det N un ballon

Exemple : stéphane cherche un ballon z. x[ballon(x) chercher(z,x)] SV SN P.x[ballon(x)P(x)] Vt SN x.y. chercher(x,y) Det N Np Stéphane P. P(stéphane) un ballon

Exemple : stéphane cherche un ballon (P. P(stéphane) z. x[ballon(x) chercher(z,x)]) (z. x[ballon(x) chercher(z,x)] stéphane) x[ballon(x) chercher(stéphane,x)] z. x[ballon(x) chercher(z,x)] SV SN P.x[ballon(x)P(x)] Vt SN x.y. chercher(x,y) Det N Np Stéphane P. P(stéphane) un ballon

Exemple : stéphane cherche un ballon x[ballon(x) chercher(stéphane,x)] z. x[ballon(x) chercher(z,x)] SV SN P.x[ballon(x)P(x)] Vt SN x.y. chercher(x,y) Det N Np Stéphane P. P(stéphane) un ballon