Les algorithmes de découplage vitesse-pression du problème de Stokes

Formulation du problème.

Discrétisation temporelle : formulation semi-discrète

Nous allons chercher à découpler la vitesse de la pression en imposant au mieux une vitesse à divergence nulle.

Les différentes familles de solveurs : Découplage Consistance Coût de calcul Div(v)=0 Uzawa Oui Cher Exact Green/Matrice d’influence Oui Cher Exact Time-splitting Non Raisonnable Approché Projection/Diffusion Oui Raisonnable Approché Coût raisonnable : résolution tensorisée des problèmes de Poisson et de Helmholtz .

Algorithme d’Uzawa Le système d’équations est discrétisé en espace : Les composantes de vitesse et la pression sont exprimés en vecteurs colonne. La première équation est écrite pour les nœuds intérieurs mais fait intervenir les valeurs de vitesse et de pression en frontière. H est l’opérateur de Helmholtz discret, écrit aux points intérieurs au domaine. D est l’opérateur gradient (ou divergence) discret.

L’élimination des conditions de frontière conduit à un problème modifié : Les opérateurs H sont les opérateurs de Helmholtz réduits. Les matrices « D » sont les matrices rectangulaires Nint lignes et N colonnes modifiées par l’élimination des conditions aux limites. Les vecteurs « S » sont les second membres modifiés par l’inclusion des conditions aux limites. N: nombre de points total, Nint : nombre de points intérieurs

Les conditions aux limites sont utilisées pour déterminer Sdiv.

On en déduit l’équation à satisfaire pour la pression en prenant la divergence de l’équation précédente : Opérateur d’Uzawa, N lignes, N colonnes. Opérateur à noyau : les modes parasites de pression sont présents. En 3D, 100 points par direction, N=106… Résolution itérative par préconditionnement. Le calcul de la vitesse revient à résoudre des problèmes de Helmholtz classiques pour chaque composante de vitesse.

Méthode de Green, Matrice d’influence. La divergence de la vitesse obéit à une équation de diffusion instationnaire. Si elle est nulle à t=0 partout et si elle est nulle en frontière pour tout t>0, alors elle reste nulle.

On se définit : On se définit de plus : Ces champs de vitesse n’étant pas à divergence nulle, on définit : Ces champs sont calculés une fois pour toutes et stockés.

A chaque pas de temps : On calcule : La solution à divergence nulle aux points de bord est alors :

Cette méthode est coûteuse : Il faut calculer un grand nombre de solutions homogènes des équations (autant que de points de bords). Le calcul de l’inverse de la matrice DIV peut devenir coûteux en 3D

Méthode de splitting temporel

Le calcul de la pression est découplé du calcul de la vitesse au temps n+1. Il est effectué en prenant la divergence de la première équation, et en imposant que le champ intermédiaire soit à divergence nulle (étape dite de projection). Cela amène donc à une équation de Poisson pour la pression (nous discuterons des conditions aux limites à imposer par la suite). Le champ intermédiaire est donc imposé à divergence nulle, quelle que soit la solénoïdalité des champs précédents. Aucune condition aux limites n’est imposée au champ intermédiaire qui est simplement évalué dans l’intérieur du domaine. Il intervient alors comme terme source de la vitesse au temps n+1, lui aussi sinusoïdal, via la seconde équation. La vitesse au temps n+1 est solution d’un problème de Helmholtz.

L’étape de projection : On utilise l’équation de Navier-Stokes projetée en frontière pour assurer les conditions aux limites, de Neumann partout. La valeur de la pression doit donc être imposée en frontière. Le mode constant est le seul mode parasite de pression non filtré par la méthode. Div(V)=0 n’est pas explicitement imposé en frontière et l’information n’est pas redondante avec l’imposition des conditions aux limites.

Dans la condition aux limites, la vitesse au temps n+1 doit être extrapolée : Le coût de la méthode est minimal : un opérateur de poisson pour la pression et un opérateur de Helmholtz pour la vitesse.

Consistance du schéma : en posant f=0, et en laissant de côté les conditions aux limites, on peut considérer le découplage du système comme un étalement sur deux équations du terme de dérivation temporelle. Découpler les équations introduit une équation d’évolution temporelle sur la pression : qui viole l’hypothèse d’incompressibilité.

Méthode de projection-Diffusion Contrairement au schéma de découplage précédent, celui-ci s’introduit sans nécessiter de discrétisation temporelle. Projection CL extrapolée en temps Diffusion

On sépare les termes de l’équation de divergence nulle

On obtient un opérateur « quasi Poisson » pour la pression en remplaçant les composantes de l’accélération à l’intérieur du domaine par les composantes du gradient de pression. Aucune condition aux limites sur la pression n’est imposée ! L’étape de diffusion est classique, mais il faut noter que par troncature, le second membre ne prendra en compte qu’en partie de l’accélération calculée. La divergence de la vitesse ne sera donc pas nulle mais convergera exponentiellement vers 0 avec la discrétisation spatiale.

Problème modèle 1D de l’étape de projection : Problème modèle : g(z)=0 impliquerait une solution triviale. Il faut respecter Ecrire le système d’équations discret et en déduire le système à résoudre pour déterminer la pression.

Ligne ou colonne manquante conduisant à des opérateurs rectangulaires

L’opérateur possède des modes parasites de pression : les filtrer en calculant son inverse. Pour déterminer un cas test : - Choisir une fonction aexacte - En déduire g par dérivation de aexacte Choisir une fonction pour la pression pexacte En déduire f par dérivation de pexacte Rédiger le programme et imposer f et g. Comparer les champs a et p calculés à leur valeurs exactes.

Programme E_9_toy.m

Ce qui n’a pas été abordé En Chebyshev : - la méthode tau - les procédures de décomposition de domaine (domaines en L par exemple) - la résolution par préconditionnement d’opérateurs non tensorisables (passage en géométries non orthogonale, physique complexe …) En Legendre : L’approche éléments spectraux (éléments finis d’ordre élevé), donc en formulation Galerkin Intérêt : décomposition de domaines assurée directement par la méthode gestion naturelle de géométries déformées